LA-3-向量与线性方程组
2021-08-14 14:53:30 0 举报AI智能生成
线性代数 第三章 向量 第四章 线性方程组 知识点梳理
作者其他创作
大纲/内容
线性方程组
齐次方程组Ax=0
基础解系
若是方程组的解，则Ax=0的通解为：
也就是基础解系，且必须满足：
方程组基础解系有n-r(A)个解
有解判定
有非零解
n>r(A)
A的列向量组线性相关
无关无解有关有解
扁方阵
（方阵时）|A|=0
只有0解
n=r(A)
A的列向量组线性无关
（方阵时）|A|0
n>r(A)
考察
基础解系
求基础解系
做初等行变换，整理成行最简矩阵
自由变量逐个令1(其余0)，得基础解系
自由变量分别令t、u、v...，得基础解系
有不止1种不等效的形式结果不同。
但此类“准行最简”亦可求解
但此类“准行最简”亦可求解
去掉第几列形成单位矩阵，去掉的就是自由变量
由基础解系求方程组
由解求未知数个数，结合解的个数求A的秩
例：求一个齐次线性方程组，使其基础解系为
if: r(A)<n方程有n-r个线性无关的解
例：若都
是Ax=0的解，则A可以是？
是Ax=0的解，则A可以是？
Note：由题至少有两个线性无关的解，即n-r(A)≥2→r(A)≤1，A又不能是0，所以r(A)=1
对于，若是Ax=0的基础解系，则r()?
转置矩阵的定理：r()=r(A)
对于是的基础解系，求r(A)
抽象系数矩阵方程通解
活用AA*=A*A=|A|E直接得到一系列解
注意|A|=0
n-r(A)确定线性无关解的个数
给不满秩系数矩阵求基础解系
非齐次方程组Ax=b
有解判定
有解：r(A)=r()
唯一解：r(A)=r()=n
无穷多解：r(A)=r()<n
无解：r(A)r()
实际求解过程中，出现A全零且不全零行秩必不等，不一定在最下
可能全0是取特值才会出现的情况，注意讨论。
克拉默法则
有唯一解
det(A)0
解的结构
设是Ax=b的解，是方程组Ax=0的基础解系，则Ax=b的通解为：
其中可以令自由变量全为0，直接通过原方程组解得
拓展(3(6))
特例：
考察
求解AX=b
讨论r(A)和r()所有可能的情况
例
求解方程
注意讨论无解
含多参方程组A(a,b...)X=b
不同解的情况下参数的取值
不同解的情况下参数的取值
按唯一解、无穷解、
无解的顺序讨论
无解的顺序讨论
例
讨论方程解的情况
给出对应的a、b取值，并求出解的表示。
给出对应的a、b取值，并求出解的表示。
公共解、同解
同解方程组
方程组具有相同的解的集合
方程组解集之联系
考察
抽象方程组解集之联系
设三阶矩阵，其中
可由线性表出。则（）
A. AX=0的解均为BX=0的解
B. AX=0的解均为BX=0的解
C. BX=0的解均为AX=0的解
D. BX=0的解均为AX=0的解
可由线性表出。则（）
A. AX=0的解均为BX=0的解
B. AX=0的解均为BX=0的解
C. BX=0的解均为AX=0的解
D. BX=0的解均为AX=0的解
显而易见，可得
即：A=BC，A=CB
即：A=BC，A=CB
对于任意X满足AX=0↔BCX=0,但不能推出BX=0→A错误
对于任意X满足BX=0，不能推出BCX=0，从而不能得到AX=0→C错误
对于任意X满足AX=0↔CBX=0，但不能推出BX=0→B错误
对于任意X满足BX=0，必有AX=CBX=C0=0，从而AX=0→D正确
考察方式
向量
基本概念
n个数构成的有序数组称为n维向量
行向量，列向量，0向量
向量相等
加减法，数乘，点乘，叉乘
解方程组
写出增广矩阵
初等行变换，化成阶梯型，再化成行最简矩阵
得到的矩阵对应的方程组称为同解方程组
解的结构
线性表出
有m个向量,称为向量的一个线性组合
可表示为
这是一个方程组的形式。是解向量
这是一个方程组的形式。是解向量
若向量能表示为的线性组合
则称向量可由线性表出
则称向量可由线性表出
能，唯一
能，无数种
不能
若可由向量组线性表出，
且可由向量组线性表出，
则可由向量组线性表出
且可由向量组线性表出，
则可由向量组线性表出
例：设
问当t取何值时，不能由线性表出？
问当t取何值时，不能由线性表出？
例：设
问当取何值时，不能由线性表出？若要使可以
由线性表出，给出的表达式
问当取何值时，不能由线性表出？若要使可以
由线性表出，给出的表达式
例：设
问当取何值时，不能由线性
表出且可以由线性表出？
问当取何值时，不能由线性
表出且可以由线性表出？
不宜分开求解，可以合并矩阵进行分析
线性相关性
有m个向量,若不全为0的实数使，
则称向量组线性相关，否则称线性无关(存在相关，不存在无关)
则称向量组线性相关，否则称线性无关(存在相关，不存在无关)
不要求向量组不含0向量
含0向量的向量组必然线性相关
可表示为
是否线性无关/相关：列方程组，求是否有非零解
系数矩阵秩<m↔有非零解→线性相关
n个n维向量线性相关↔det()=0
n+1个n维向量必然线性相关
无→线性无关
例
设线性相关,求a
设是否线性相关？
设是否线性相关？
向量组
秩
Rank
Rank
所谓Rank即为行
向量组的秩就是其最大无关组所含的向量个数
正交矩阵
职业：暂无
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