线性代数
2021-08-24 11:51:02 69 举报AI智能生成
线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性变换和它们之间的联系。线性代数的核心内容是矩阵和线性方程组的理论，以及它们的应用。线性代数在许多领域都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。它是理解和解决实际问题的重要工具。线性代数的基本概念包括向量、向量空间、基、维数、线性变换、特征值和特征向量等。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和掌握这些概念，从而更好地解决实际问题。
作者其他创作
大纲/内容
行列式
行列式概念
排列
逆序数
偶排列
n阶行列式
行列式性质
行列式经过转置值不变，即
令行列式A的元素和的位置互换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式，记作
两行（或列）互换位置，行列式的值变号
用数k乘行列式，等于用数k乘它的某行（或列）
若两行（或列）的元素对应成比例，则行列式的值为0
把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不变
若行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把该行列式，拆成两个行列式之和
行列式按行(列)展开公式
余子式
代数余子式
任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积的和为0
主对角线上下三角形行列式的值等于主对角线元素乘积
副对角线上下三角形行列式的值为
拉普拉斯展开式
范德蒙行列式
克拉默法则
对于n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组，若系数行列式
则方程有唯一解，且
其中是中第i列元素替换成方程组右端的常数项所构成的行列式
则方程有唯一解，且
其中是中第i列元素替换成方程组右端的常数项所构成的行列式
对于齐次线性方程组，若系数行列式，则方程有唯一零解
反之，若有非零解，则充要条件是其系数行列式
反之，若有非零解，则充要条件是其系数行列式
小记
一般思路，将一行或列尽可能多的化为0，然后用展开式
有时可以对展开式得到的余子式继续展开
爪型处理
除主对角线外，每列的元素都相等，即可处理为爪型
将行列式化到除了第一行、第一列及主对角线外，其余位置都是0，即为爪型（有四种）
此时通过加减，使得除了a11外第一列的元素全为0，此时行列式化为上三角行列式（同理也可以化为下三角）
此时通过加减，使得除了a11外第一列的元素全为0，此时行列式化为上三角行列式（同理也可以化为下三角）
加边法
将所求n阶行列式看作某个n+1阶行列式的余子式
例
例
求三次方程观察除主对角线以外的元素，是否能通过行列式的恒等变形化为0，并且还能提取出的因式
矩阵
概念、运算
概念
零矩阵：元素都是0
同型矩阵：两个矩阵行列数相等，则称它们俩是同型矩阵
n阶方阵A的行列式：由方阵A的所有元素构成的行列式
运算
加法：两矩阵行列数相等才能进行相加
数乘：一个数k乘一个矩阵A，得到的矩阵为A的每个元素都乘k
乘法：当A的列数=B的行数时，可以进行AB的运算
新矩阵里元素ij等于A的第i行乘B的第j列
新矩阵里元素ij等于A的第i行乘B的第j列
注意：
1.一般情况下无交换律，即
2.无消去律，即
3.当时，有可能
或者说当时或
1.一般情况下无交换律，即
2.无消去律，即
3.当时，有可能
或者说当时或
单位矩阵
对角矩阵
当都是n维列向量时，看到，要注意观察哪些是数，哪些是矩阵
转置矩阵
伴随矩阵、可逆矩阵
伴随矩阵
二阶矩阵求伴随矩阵，主对角线互换，副对角线变号
可逆矩阵
定理
若A可逆，则A的逆矩阵唯一
若A和B都是n阶矩阵且AB=E，则BA=E，B是A的逆矩阵
运算性质
若A,B可逆，则
特别地
特别地
若可逆，则
求得方法
初等变换法
用公式
用定义AB=E
用分块矩阵，设B,C都是可逆矩阵，则
初等变换、初等矩阵
初等变换
倍乘
互换
倍加
初等矩阵
由单位矩阵经过1次初等变换得到的矩阵
等价矩阵
性质
初等矩阵转置仍是初等矩阵
初等矩阵均是可逆矩阵
互换初等矩阵的逆矩阵是它本身；
倍乘初等矩阵的逆矩阵是主对角线倒数（对角矩阵）；
倍加初等矩阵的逆矩阵
互换初等矩阵的逆矩阵是它本身；
倍乘初等矩阵的逆矩阵是主对角线倒数（对角矩阵）；
倍加初等矩阵的逆矩阵
行阶梯矩阵
零行在矩阵最底部
每个非零行的主元(即该行最左边非0的元素)下方的元素都是0
行最简矩阵
非零行主元都为1，且主元上下方的元素(即所在列的其他元素)都为0
分块矩阵
按行分，按列分，按块分
运算法则
5条
计算AB时
若A很多0，则可将B按行分块
若B很多0，则可将A按列分块
若A很多0，则可将B按行分块
若B很多0，则可将A按列分块
方阵的行列式
计算公式
6条
向量
线性表出、线性相关
线性表出（示）
非齐次线性方程组有解
线性相关
齐次线性方程组有非零解
两个向量线性相关，其坐标成比例
个数多的向量组a中的向量都可由个数少的向量组b线性表出，则个数多的向量组a必线性相关
向量组a线性无关，且其中的向量都可被向量组b线性表出，则向量组a的个数少于向量组b的个数
向量组a线性无关，且其中的向量都可被向量组b线性表出，则向量组a的个数少于向量组b的个数
向量组的秩、矩阵的秩
向量组的秩
极大线性无关组
向量组的极大线性无关组一般不唯一，但极大无关组的向量个数都相同
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身
矩阵的秩
经初等行变化，矩阵的秩不变
线性方程组
齐次线性方程组
基础解系
化为行最简
自由变量分辨赋值为1，0，0来求解
分别令自由变量为t、u、v来求解
n-r(A)=基础解系向量的个数=自由变量的个数
有非零解=秩小于未知量个数=方程数少于未知量个数
方程数m=未知数n时有非零解的充要条件是｜A｜=0（克拉默法则）
非齐次线性方程组
有解判断
有唯一解：
无解：
∞多个解：
解的结构
先算Ax=b的一个特解
再算Ax=0的基础解系
则Ax=b的通解为特解+基础解系
1.Ax=b中令自由变量为0得到通解，Ax=0中令自由变量分别为1，0得到基础解系
2.Ax=b中直接令自由变量为tuv，则可直接得到通解
1.Ax=b中令自由变量为0得到通解，Ax=0中令自由变量分别为1，0得到基础解系
2.Ax=b中直接令自由变量为tuv，则可直接得到通解
不一定必须化为行最简，只要出现了单位矩阵即可
故当计算复杂涉及分数时可不用化为行最简，检查是否有其他方法
故当计算复杂涉及分数时可不用化为行最简，检查是否有其他方法
特征值和特征向量
同一个特征值的特征向量加加减减仍然是A的特征向量
不同特征值的特征向量加加减减不是A的特征向量
不同特征值的特征向量加加减减不是A的特征向量
不同特征值对应的特征向量必线性无关
所有特征值的和为矩阵主对角线的和（迹）
所有特征值的乘积为矩阵行列式｜A｜的值
求特征向量时的小技巧：
因为特征向量是齐次方程组的非零解
所以该方程组秩r小于n
则找该方程组中r个线性无关的向量，组成为极大线性无关组
其余向量一定能由该组线性表出
即能将其余向量直接写为0，简化了运算过程
因为特征向量是齐次方程组的非零解
所以该方程组秩r小于n
则找该方程组中r个线性无关的向量，组成为极大线性无关组
其余向量一定能由该组线性表出
即能将其余向量直接写为0，简化了运算过程
相似矩阵
实对称矩阵
二次型
基础概念
二次型的矩阵A
标准形
规范形
合同
坐标变换
二次型化标准形
配方法
正交变换
所得标准形二次项系数为特征值
正交矩阵为特征向量
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