LA-5-特征值与特征向量
2021-08-14 16:47:39 0 举报AI智能生成
线性代数 第五章 特征值与特征向量 知识点梳理
作者其他创作
大纲/内容
相似矩阵
定义
若可逆矩阵P, PAP=B，称AB
若A，为对角矩阵，称A可相似对角化，
是A的相似标准型
是A的相似标准型
性质
反身性：AA
P=E
对称性：若AB，则BA
PAP=B，PBP=A
传递性：若AB，BC，则AC
PAP=B，PBP=C，
(PP)A(PP)=PAP=C
(PP)A(PP)=PAP=C
运算不变性
当AB
当AB
AB
A+kEB+kE
if A可逆，则AB
推论
AB时
AB时
特征多项式相同，ie.|E-A|=|E-B|
特征值相同，ie.
|A|=|B|=
|B|=|PAP|=|P||A||P|
r(A)=r(B)
r(B)=r(PAP)=r(AP)=r(A)
相似对角化
A??
A??
定义：A，称A可以相似对角化
结论：即P就是A的3个特征向量，对角矩阵的对角线就是3个特征值
没有n个线性无关的特征向量的矩阵B
充分条件：A有n个不同的特征值
充要条件：A有n个线性无关特征向量
证明
将特征向量拼成P，由于线性无关，P可逆。
ie. AP=P，整理得PAP=，即A
ie. AP=P，整理得PAP=，即A
已知A，PAP=，有AP=P
将P列分块为()，显然有
由于P可逆，必有线性无关，即A有
3个特征向量线性无关
将P列分块为()，显然有
由于P可逆，必有线性无关，即A有
3个特征向量线性无关
充要条件2：若A是A的k重特征值，则必有k个线性无关的特征向量
考察
已知待定矩阵相似，求未知数
构造方程
性质：
特征多项式相同
=
|A|=
运算不变性
结论：对角矩阵是A的特征值
例：已知，相似
1.求x,y；2.求可逆矩阵P使PAP=B。
1.求x,y；2.求可逆矩阵P使PAP=B。
把给定矩阵相似对角化
求对角矩阵
求特征值
求可逆矩阵P
求特征向量
构造可逆矩阵P=(...)
写出PAP=
注意细节：特征值和
特征向量位置要匹配
特征向量位置要匹配
证明给定矩阵是否可以相似对角化
使用充要条件2
实对称矩阵
定义
即元素均为实数的对称矩阵
定理
必定可以相似对角化
无论根的情况
不同特征值对应的特征向量相互正交
Cmp：一般矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关
存在正交矩阵，可用来相似对角化
Cmp：一般矩阵只能用可逆矩阵相似对角化
考察
定理应用
实对称矩阵A满足A=A，且r(A-E)=2，求A的特征值
把给定矩阵相似对角化
求对角矩阵
求特征值
求可逆矩阵P
若要求正交矩阵P，特征向量必
须检验，满足相互正交且单位化
须检验，满足相互正交且单位化
特征向量两两正交→单位化
特征向量不正交→施密特正交单位化
令
再令
再令
尤其注意[b,a]为0时可以忽略此项。
视解方程的结果，同一特征值的特征向量可能不同
其中部分实际上满足不同特征值的特征向量两两正
交化，而另一些不满足，严重增加计算量
应尽量避免Schmidt正交化
其中部分实际上满足不同特征值的特征向量两两正
交化，而另一些不满足，严重增加计算量
应尽量避免Schmidt正交化
构造可逆矩阵P=(...)
写出PAP=
注意细节：特征值和
特征向量位置要匹配
特征向量位置要匹配
理论工具
向量内积
定义
性质
[x,y]=[y,x]
[kx,y]=k[x,y]
[x+y,z]=[x,z]+[y,z]
x=0时[x,x]=0,x0时,[x,x]>0
施瓦茨不等式：[x,y][x,x][y,y]
向量长度（范数）
定义
性质
非负性：||x||0
齐次性：||kx||=|k| ||x||
向量的正交性
定义
[x,y]=0时，称x，y正交
两两正交的向量构成正交向量组
n维单位向量若是向量空间V的一个基，
且两两正交，称是V的一个标准正交基
且两两正交，称是V的一个标准正交基
性质
0与任何向量正交
正交向量组中的向量线性无关
计算
n维单位向量若是向量空间V的一个基，
要求V的一个标准正交基，即求一组，
使与等价，此过程称的标准正交化
要求V的一个标准正交基，即求一组，
使与等价，此过程称的标准正交化
施密特
正交化
正交化
令
再令
再令
对于任何，都满足
向量组~与~等价
向量组~与~等价
考察：求与给定向量组正交的向量
正交矩阵
定义
若A满足AA=E，则A是正交矩阵
充要条件：A=A
充要条件：A的列向量(或行向量)都是两两正交的单位向量
性质
若A为正交矩阵，则也是正交阵，且|A|=1
若A，B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵
正交变换
定义
若P为正交阵，则线性变换y=Px称一个正交变换
性质
||y||====||x||
正交变换下，长度不发生变化
特征值与特征向量
定义
A是n阶矩阵。是n维非零列向量。满足A=
称是矩阵A的特征值，是A对应于的特征向量
称是矩阵A的特征值，是A对应于的特征向量
移项，显然有(E-A)=0
|E-A|称为A的特征多项式，|E-A|=0称A的特征方程
性质
if 是的特征向量，则任意不为零
的也是的特征向量
的也是的特征向量
if 分别是的特征向量，
则不是A的特征向量
则不是A的特征向量
三角矩阵特征值是其对角线上的元素
=
ie 矩阵的迹
|A|=
特征值不全为0A可逆
运算性质
设有A=
设有A=
(A+kE)=
A=
A=
==
==
A=
A=
计算
|E-A|=0，可得n个特征值(含重根)。
根重数与线性无关特征向量的数量无关
一重根必定只有一个特征向量吗？
由定义A=
一般用于抽象矩阵
求解齐次方程组(E-A)x=0的非0解
(E-A)x=0基础解系即特征值的
特征向量的极大线性无关组
特征向量的极大线性无关组
方程组非0通解即特征值的全部特征向量
考察
抽象矩阵求特征
考虑特征值、特征向量的内在联系
已知A的特征值为-1,0,4，
且A+B=2E，求B的特征值。
且A+B=2E，求B的特征值。
对于3阶矩阵A，满足A+2A-3E=0
求证A的特征值只能是1或-3.
求证A的特征值只能是1或-3.
不给出额外信息，无法确定具体的根重数以及根组成
一般额外给出秩
具体矩阵求特征值
(使用行列式、基础解系)
求的特征。
对于不含未知数的系数矩阵，求解过程中
行列式既然为0，可以直接消去一与其他行
成比例的行，再加减消元其余，以加快求解
行列式既然为0，可以直接消去一与其他行
成比例的行，再加减消元其余，以加快求解
3阶矩阵就是三次方程，尽量先
得到一个解，避免求解3次方程
得到一个解，避免求解3次方程
可以构造只含1个非零项的行或
列以对行列式降阶
列以对行列式降阶
给出具体特征值/向量
求待定矩阵
求待定矩阵
定义：A=
已知(1,1,-1)^T是矩阵的特征向量，求a,b
给出特征抽象组成，
求待定矩阵
求待定矩阵
职业：暂无
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