LA-5-特征值与特征向量
2021-08-14 16:47:39 0 举报AI智能生成
线性代数 第五章 特征值与特征向量 知识点梳理
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大纲/内容
若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\exists \" contenteditable=\"false\
若A，为对角矩阵，称A可相似对角化，是A的相似标准型
定义
P=E
反身性：AA
PAP=B，PBP=A
对称性：若AB，则BA
PAP=B，PBP=C，(PP)A(PP)=PAP=C
传递性：若AB，BC，则AC
AB
A+kEB+kE
if A可逆，则AB
运算不变性当AB
特征多项式相同，ie.|E-A|=|E-B|
特征值相同，ie.
|B|=|PAP|=|P||A||P|
|A|=|B|=
r(B)=r(PAP)=r(AP)=r(A)
r(A)=r(B)
推论AB时
性质
定义：A，称A可以相似对角化
结论：即P就是A的3个特征向量，对角矩阵的对角线就是3个特征值
没有n个线性无关的特征向量的矩阵B
充分条件：A有n个不同的特征值
将特征向量拼成P，由于线性无关，P可逆。span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
已知A，PAP=，有AP=P将P列分块为(span class=\"equation-text\" data-index=\"5\" data-equation=\
证明
充要条件：A有n个线性无关特征向量
充要条件2：若A是A的k重特征值，则必有k个线性无关的特征向量
相似对角化A??
特征多项式相同
=
|A|=
运算不变性
性质：
结论：对角矩阵是A的特征值
构造方程
例：已知，span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"\\begin{bmatrix}2&0&0\\\\0&y&0\\\\0&0&-1\\end{bmatrix}\" contenteditable=\"false\
已知待定矩阵相似，求未知数
求特征值
求对角矩阵
求特征向量
求可逆矩阵P
构造可逆矩阵P=(span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
注意细节：特征值和特征向量位置要匹配
写出PAP=
把给定矩阵相似对角化
四步法
使用充要条件2
证明给定矩阵是否可以相似对角化
考察
相似矩阵
即元素均为实数的对称矩阵
无论根的情况
必定可以相似对角化
Cmp：一般矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关
不同特征值对应的特征向量相互正交
Cmp：一般矩阵只能用可逆矩阵相似对角化
存在正交矩阵，可用来相似对角化
定理
实对称矩阵A满足A=A，且r(A-E)=2，求A的特征值
定理应用
特征向量两两正交→单位化
令span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
尤其注意[bspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"_i\" contenteditable=\"false\
特征向量不正交→施密特正交单位化
视解方程的结果，同一特征值的特征向量可能不同其中部分实际上满足不同特征值的特征向量两两正交化，而另一些不满足，严重增加计算量应尽量避免Schmidt正交化
若要求正交矩阵P，特征向量必须检验，满足相互正交且单位化
实对称矩阵
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
向量内积
非负性：||x||0
齐次性：||kx||=|k| ||x||
向量长度（范数）
两两正交的向量构成正交向量组
n维单位向量若是向量空间V的一个基，且两两正交，称是V的一个标准正交基
0与任何向量正交
正交向量组中的向量线性无关
n维单位向量若是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基，即求一组，使与等价，此过程称的标准正交化
对于任何，都满足向量组~与~等价
施密特正交化
计算
考察：求与给定向量组正交的向量
向量的正交性
若A满足AA=E，则A是正交矩阵
充要条件：A=A
充要条件：A的列向量(或行向量)都是两两正交的单位向量
若A为正交矩阵，则也是正交阵，且|A|=1
若A，B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵
正交矩阵
若P为正交阵，则线性变换y=Px称一个正交变换
||y||====||x||
正交变换下，长度不发生变化
正交变换
理论工具
移项，显然有(E-A)=0
A是n阶矩阵。是n维非零列向量。满足A=称是矩阵A的特征值，是A对应于的特征向量
|E-A|称为A的特征多项式，|E-A|=0称A的特征方程
if 是的特征向量，则任意不为零的也是的特征向量
if span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
三角矩阵特征值是其对角线上的元素
ie 矩阵的迹
特征值不全为0A可逆
(A+kE)=
A===
A=
外框
运算性质设有A=
A→
几何意义：A特征值对应特征向量长度的逆变化A变换空间大小不变。
特征值相同，对应的特征向量线性相关特征值不同，对应的特征向量线性无关
根重数与线性无关特征向量的数量无关
一重根必定只有一个特征向量吗？
|E-A|=0，可得n个特征值(含重根)。
一般用于抽象矩阵
由定义A=
(E-A)x=0基础解系即特征值的特征向量的极大线性无关组
方程组非0通解即特征值的全部特征向量
求解齐次方程组(E-A)x=0的非0解
对于3阶矩阵A，满足A+2A-3E=0求证A的特征值只能是1或-3.
考虑特征值、特征向量的内在联系
一般额外给出秩
不给出额外信息，无法确定具体的根重数以及根组成
抽象矩阵求特征
求的特征。
对于不含未知数的系数矩阵，求解过程中行列式既然为0，可以直接消去一与其他行成比例的行，再加减消元其余，以加快求解
(使用行列式、基础解系)
可以构造只含1个非零项的行或列以对行列式降阶
3阶矩阵就是三次方程，尽量先得到一个解，避免求解3次方程
具体矩阵求特征值
定义：A=
给出具体特征值/向量求待定矩阵
给出特征抽象组成，求待定矩阵
特征值与特征向量
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