概率论与数理统计
2021-09-10 08:30:43 0 举报AI智能生成
研、数一、概率论与数理统计、详细整理
作者其他创作
大纲/内容
形式：和（并），积（交），差，逆
法则：交换、结合、分配、对偶、吸收、分解
运算
独立重复实验
相互独立
包含、相等、互不相容、对立、完备事件组
关系
一种度量。公理化定义：非负性、规范性、可列可加性
非负性、有界性、有限可加性
加法公式、减法公式、求逆公式
性质：
定义与性质
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式
条件概率
古典概型
几何概型
等可能概型
n重伯努利概型
概形
概率
随机事件
取值依赖于某个随机试验的结果，并随试验结果的不同而不同的变量
连续型随机变量、离散型随机变量、组合型随机变量
定义与分类
F(x) = P{X≤x} (-∞<x<+∞)
概率分布是随机变量取值与对应的概率的总称【离散型】；而【连续型】不能直接得到这种“对应”的分布，故类比定义了“概率密度的概念”；而分布函数与这两个概念（概率分布和概率密度）不存在并列关系，是对随机变量取值与对应概率的另外一种表达形式。
分布函数
离散型的概率分布（或分布律）
连续型的概率密度
概率分布与概率密度
0-1分布
二项分布
几何分布
超几何分布
泊松分布
离散型
均匀分布
一般正态分布
标准正态分布
正态分布
连续型
常见分布
随机变量的分布
Y=g(X)的分布：F_Y(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}
随机变量函数的分布
一维随机变量
联合分布函数
边缘分布函数
联合概率分布、边缘概率分布、条件概率分布
联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度
概率分布和概率密度
二维均匀分布
二维正态分布
二维随机变量的分布
概念
充分必要条件
1. m个随机变量独立，则k(2<=k<=m)个随机变量也相互独立；2. m个随机变量独立，则他们的函数也相互独立；3. 若两个随机变量独立，则一个关于另一个的条件分布就是其无条件分布
性质
随机变量的独立性
Z=X+Y
Z=X-Y(Y-X)
Z=XY
常见的二维连续型随机变量函数的分布
二维随机变量函数的分布
多维随机变量
数学期望、方差、协方差、相关系数
数学期望EX是X的一阶原点矩
k阶原点矩：E(X^k)
方差DX是X的二阶中心矩
k阶中心矩：E(X-EX)^k
一维
k+l阶混合原点矩：E(X^kY^l)
k+l阶混合中心距：E[ (X-EX)^k (Y-EY)^l) ]
二维
矩
随机变量的数字特征
随机变量
n→∞lim P{ |Yn - a| < ε } = 1，对任意ε>0，a为常数；随机变量序列依概率收敛于a，记为Yn—P—>a；
依概率收敛（P - 收敛）
X的期望和方差均存在，对于任意ε > 0，有P{ |X - EX| ≥ ε } ≤ DX/ε^2，或P{ |X - EX| ≤ ε } ≥ 1 - DX/ε^2
切比雪夫不等式一个重要的不等式，一个引理
n个相互独立的随机变量，数学期望和方差均存在，且方差有公共上界，则均值依概率收敛于期望的均值
切比雪夫大数定律
伯努利大数定律
n个随机变量独立同分布，期望存在，则均值依概率收敛于期望
幸钦大数定律
大数定理
列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）
棣莫夫-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布）
中心极限定理是概率论中一切关于“随机变量之和在一定条件下的极限分布是正态分布”的总称
大数定理和中心极限定理
概率论
1. 所研究对象的某项数量指标X取值的全体称为总体；2. 随机变量X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征；3. 总体中的每个元素称为个体。
总体与个体
1. n个相互独立且与总体X（设X分布函数为F）同分布的随机变量称为来自总体X或分布函数F的简单随机样本，简称样本;2. n为样本容量；3. 随机变量的观测值称为样本值，又称为总体X的n个独立的观测值；（样本指一组随机变量，样本值指一组具体的统计数据，样本容量指观测值的个数）
1. 联合分布函数为单个分布函数的乘积；2. 联合概率密度为单个概率密度的乘积；3. 联合概率分布为单个概率分布的乘积；
样本的概率分布（即简单随机样本）
样本、样本值与样本容量
抽样分布(统计量的分布)
1. 统计量的分布称为抽样分布；2. 抽样分布可能含有未知参数；3. 有时（当样本的函数含有未知参数但其分布不依赖于未知参数时）将含有未知参数的样本的函数的分布也称为抽样分布。
1. 典型模式：随机变量平方的和服从自由度为n的卡方分布，即χ^2~χ^2(n)；2. 性质：期望和方差为n和2n；可加性；3. 分位点：上α分位点即，随机变量取到大于该值的概率为α；
χ^2分布
t分布
F分布
来自正态总体的三个常用统计量的分布(独立同标准正态分布的n个随机变量)
样本均值和样本方差的独立性以及分布
单个正态总体
样本均值差与样本方差比的抽样分布
两个正态总体
正态总体的样本均值和样本方差的分布
样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶原点矩，样本k阶中心距
1. 样本均值的期望等于总体的期望；2. 样本均值的方差等于总体的方差除以样本容量；3. 样本方差的均值等于总体的方差；
常用统计量（样本矩）
统计量(样本的函数)
基本概念
估计量、估计值
1. 矩估计法：样本矩=总体矩求解2. 极大似然估计法：样本似然函数求极大值（具有不变性）
方法
1. 无偏性：估计值的期望等于真值；2. 有效性：估计值的方差更小，更有效；3. 一致性（相合性）：估计值依概率收敛于真值，称为一致估计量（相合估计量）；
评选标准
点估计（求估计量）
置信水平1-α，显著性水平α，单（双）侧置信区间
构造含样本以及未知参数的分布已知的随机变量
基本步骤
确定合适的枢纽量
正态总体均值(或均值差)、方差(或方差比)及与其相联系的数字特征的置信区间
区间估计（求置信区间）
参数估计
假设检验问题与检验法、原假设与备择假设、检验统计量、拒绝域和临界点
显著性水平：α；只控制犯第一类错误，而不考虑犯第二类错误的概率的检验法，称为显著性检验。
检验的基本思想和原理
去真（第一类错误），取伪（第二类错误）
两类错误
1. 提出H0，H1；2. 选择统计量，在H0成立下求出分布；3. 给定α，在H0成立下确定临界值和否定域；4. 由样本值计算统计量的值，若落入否定域，则拒绝，反之接受。
检验的一般步骤
期望μ、方差σ^2的检验
期望μ1，μ2、方差σ1^2，σ2^2的检验
参数检验
假设检验
数理统计
概率论与数理统计
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