《高等数学》读书笔记
2021-08-16 09:45:01 0 举报AI智能生成
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数学二考研高数部分知识框架
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大纲/内容
第1讲 函数极限与连续
第2讲 数列极限
第3讲 一元函数微分学的概念
一、基本求导公式
二、符号写法
三、复合函数求导
设函数是由方程span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
例4.5
四、隐函数求导
五、反函数求导
六、分段函数求导(含绝对值)
七、多项乘除、开方、乘方(对数求导法)
八、幂指函数求导法
九、参数方程确定的函数求导
十、高阶导数
第4讲 一元函数微分学的计算
1.\"祖孙三代\"
2.分段函数(含绝对值)
3.参数方程
一、研究对象
1.切线、法线、截距
2.极值、单调性
3.拐点、凹凸性
1）铅锤渐近线若，则(一般为函数的无定义点)为一条铅锤渐近线
2）水平渐近线若，则为一条水平渐近线；若，则为一条水平渐近线；若，则为一条水平渐进线
3）斜渐近线若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
例5.17、例5.18
4.渐近线
5.最值(值域)
6.曲率与曲率半径
7.相关变化率
二、研究内容
第5讲 一元函数微分学的应用(一)——几何应用
定理3 平均值定理：当span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"ax_1x_2…x_n时，span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
定理4 零点定理：当f(a)·f(b)<0时，span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
※定理5 费马定理(区分度最高)：若f(x)在点处满足①可导，②取极值，则
带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：设f(x)在点的某个邻域内n＋1阶导数存在，则对该邻域内的任一点x，有其中介于span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"3\" data-equation=\
带佩亚诺余项的n阶泰勒公式：设f(x)在点处n阶可导，则存在的一个邻域，对该邻域内的任一点x，有
定理9 泰勒公式：
十大定理
例6.2习题6.5
①乘积求导公式的逆用见到令F(x)=f^2(x)\" contenteditable=\"false\"见到令F(x)=f(x)f^\\prime(x)\" contenteditable=\"false\"见到令F(x)=f(x)e^{\\phi(x)}\" contenteditable=\"false\"
例6.30
②商的求导公式的逆用a.见到span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
例6.5
见到F(x)=\\int_a^xf(t)\\ \\mathrm{d}t\"
例6.15
题目中给出\"F(x)\"或\"F(a)\"，可令F(x)做辅助函数
辅助函数：(除2016年都是简单辅助函数f(x))
中值定理
零点定理：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
1.零点定理及其推广
2.用导数工具研究函数性态
3.罗尔定理的推论若 至多有k个根，则至多有k＋n个根
4.实系数奇次方程至少有一个实根
理论依据
例6.19
1.证明恒等式
例6.20
例6.21、习题6.7
导数中不含参数
例6.22
导数中含参数
※2.函数的零点个数(方程根的个数、曲线交点的个数)
例2.15
3.方程(列)问题(见第2讲)
例2.16
4.区间(列)问题(见第2讲).
考法
微分等式问题(方程的根、函数的零点)
例6.23、例6.24、例6.33习题6.9、习题6.10
单调性
例6.25、例6.27
最值
例6.30、习题6.10
凹凸性
例6.26、例6.28、例6.31、习题6.10
拉格朗日中值定理
例6.7
柯西中值定理
例6.29、例6.30、例6.32
能推出与0的关系，在适当的处展开span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\
带拉格朗日余项的泰勒公式
微分不等式问题
第6讲 一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式
以A对B的变化率为核心，写出的表达式
物理应用(数一、数二)
经济应用(数三)
第7讲 一元函数微分学的应用(三)——物理应用与经济应用
例8.1、例8.4
奇偶性：①②
例8.2、例8.3
周期性：①②
\"祖孙三代\"的奇偶性、周期性
例8.4、例8.5习题8.1
几何意义①※②(注意物理应用为速度则为位移)③
例8.6、例8.7
保号性①推出正负，如|x|≥0；当span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
积分比大小
例8.8、例8.9习题8.2
若数列通项中以下形式①; ②;③； ④；可直接写定积分定义(，)，或
基本型(能凑成)
夹逼准则：如通项中含 ，则凑不成，考虑放缩用夹逼准则(见第2讲)
习题8.3
放缩后再凑:如通项中含 ，虽凑不成，但放缩：span class=\"equation-text\" data-index=\"3\" data-equation=\"(\\frac{i}{n})^2\\frac{i^2+1}{n^2}，则可凑成
放缩型(凑不成)
例8.10
若通项中含，则考虑以下式子：
变量型
定积分定义
无穷区间上的反常积分：
无界函数的反常积分：，且，即a为瑕点
奇点：统称为奇点
概念
判别时要求每个积分有且仅有一个奇点
例8.11、例8.12、例8.13、例8.14、例8.15习题8.4
①span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\int_{0}^{c}\\frac{1}{x^{p}} \\ \\mathrm{d}x\\{_{p≥1时，发散}^{0p
②1时，收敛}\"
例8.13、例8.14
③广义P积分：1时，收敛}\"
习题8.4
④1且0b
尺度
判别
※反常积分的判敛(比阶的问题)
第8讲 一元函数积分学的概念与性质
④
⑤0)\"
⑥0)\"
⑦|a|)\"
⑧
※⑨|x|≥0)\"
例9.3
⑩
基本积分公式
思想：
简单情形：常用的凑微分公式
复杂情形：找
凑微分法
思想：当被积函数不容易积分(比如含有根式，含有反三角函数)时，可以通过换元的方法从d后面拿出一部分放到前面来注：必须是单调可导函数，计算完后要用回代
三角函数代换——被积函数含有如下根式(a>0)①②③0，则0t\\frac{\\pi}{2} }_{若x＜0，则\\frac{\\pi}{2}t
恒等变形后作三角函数代换——当被积函数中含有根式时，可化为以下三种形式，再作三角函数代换.
根式代换——当被积函数中含有根式等时一般令根式(因为根式内难以凑成平方，根号无法去掉)，对既含有，也含有的函数，一般取m，n的最小公倍数，令
倒代换——当被积函数分母的幂次比分子高两次及两次以上时，可作倒代换，如令
复杂函数的直接代换——当被积函数中含有span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方法
※换元法
思想：，这个方法主要适用于求比较困难，而比较容易的情形
u，v选取原则：反、对、幂、指、三
推广公式 (表格法)
例9.6
可能会创造出积分再现或者积分抵消的情形
分部积分法
例9.6、例9.7
定义：形如span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\int\\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\\ \\mathrm{d}x(n的积分称为有理函数的积分，其中span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
思想：先将因式分解，再把拆分成若干项最简有理分式之和
①的一次单因式产生一项
例9.7
②的k重一次因式产生k项，分别为span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\
③的二次单因式产生一项
④的k重二次因式产生k项，分别为
有理函数的积分
不定积分的计算
例9.8、例9.9、例9.10
1.区间再现公式——(被积函数中出现三角函数考虑区间再现公式)①②两边等式相加再除以2有： ③令，则，故以为对称轴，故又有
①span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
②
③span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
子主题
2.华里士公式(点火公式)
例9.16
①0)\"
例9.17
②(9)
例9.18
③(10)
其他
3.诱导公式
例9.22
①将变为令，有
例9.23
②将变为令，有
4.区间简化公式
例9.24、例9.25
对于span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
5.对称性下的积分问题
例9.26、例9.27、例9.28
对其积分，谓之降阶；对其求导，谓之升阶
6.定积分分部积分法中的\"升阶\"\"降阶\"问题
例9.29
7.分段函数的定积分
定积分的计算
例9.30、例9.31
1.分段函数的变限积分
例9.32、例9.33
Ⅰ)Ⅱ)
2.直接求导型
例9.34、例9.35
3.换元求导型
例9.36、例9.37
被积函数中含有绝对值如等，需先拆分区间化成若干个积分
4.拆分求导型
后交先定限，线内画条线先交写下限，后交写上限
5.换序型
变限积分的计算
例9.39
①，其中
例9.40
②若a为瑕玷，则，其中
③换元后，可能可以化成定积分
反常积分的计算
第9讲 一元函数积分学的计算
例10.1~例10.12
直角坐标系下的面积公式：
阿氏螺线，取
对数螺线，如
双曲螺线，如
螺线
极坐标系下的面积公式：
1)面积
例10.13~例10.17
①绕x轴：.
②绕y轴：.(柱壳法)
2)旋转体体积
例10.18
公式：.
3)平均值
例10.19~例10.25
直角坐标方程：.
参数方程：.
极坐标方程：
4)平面曲线的弧长
曲率
例10.26、例10.27
曲线span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
5)旋转曲面的面积(侧面积)
例10.28、例10.29
设span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
质量均匀分布时：质心=形心
6)\"平面上的曲边梯形\"的形心坐标公式
例10.30
7)平行截面面积为已知的立体体积
研究内容
第10讲 一元函数积分学的应用(一)——几何应用
常用积分等式(见第9讲\"三、定积分的计算\").
例11.1、例11.2
通过证明某特殊积分等式求某特殊积分
例11.3、例11.4、例11.5
积分形式的中值定理
积分等式
例11.6、例11.7
※1)用函数的单调性(主流考点)：首先将某一限(上限或下限)变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证明不等式。此方法多用于所给条件为\
例11.8
①用积分保号性已知f(x)≤g(x)，用积分保号性证得span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
例11.9
②用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理处理被积函数f(x)，再做不等式，进一步，用积分保号性此方法多用于所给条件为\"f(x)一阶可导\
例11.10
③用泰勒公式将f(x)展开成泰勒公式，再做不等式，进一步，用积分保号性。此方法多用于所给条件为\"f(x)二阶(或更高阶)可导\
例11.11
④用放缩法利用常见不等关系处理被积函数，进一步用积分保号性常见不等关系：，闭区间上连续函数f(x)有span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
例11.12
⑤用分部积分法利用分部积分法处理被积函数，再利用已知条件进一步推证
例11.13
⑥用换元法见到复合函数的积分，可考虑换元法
2)处理被积函数
例11.14
3)用夹逼准则求解一类积分的极限问题
例11.15
4)曲边梯形面积的连续化与离散化问题
积分不等式
第11讲 一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式
例12.1
1.总路程：其中v(t)为时间到上的速度函数，积分即得总位移(路程)S
例12.2
2.变力沿直线做功设方向沿x轴正向的力函数F(x)(a≤x≤b)，则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为，功的元素
例12.3~例12.6
3.提取物体做功将容器中的水全部抽出所做的功为，其中为水的密度，g为重力加速度功的元素为位于x处厚度为dx，水平截面面积为A(x)的一层水被抽出(路程为x)所做的功
例12.7
4.静水压力垂直浸没在水中的平板ABCD的一侧受到水压力为，其中为水的密度，g为重力加速度压力元素是图中矩形条所受到的压力，x是水深，f(x)-h(x)是矩形条的宽度，dx是矩形条的高度
例12.8
5.细杆质心设直线段上的线密度为的细直杆，则其质心为
例12.9
6.其他重要应用(微元法总结)
物理应用(微元法)(仅数一、数二)
第12讲 一元函数积分学的应用(三)——物理应用与经济应用
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
例13.1、例13.2
1.极限：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
例13.3、例13.4
2.连续：若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二阶偏导数： 如果函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
3.偏导数：
例13.3、例13.5、例13.6
全微分：
例13.4、例13.7、例13.8
判断函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
★4.可微：
例13.7
※(考研重点)5.偏导连续：对于span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一、概念
例13.9、例13.10、例13.11
1.链式求导规则
例13.3
2.全导数
例13.4、例13.5
3.全微分形式不变性
二、复合函数求导法
例13.12、例13.14、例13.16、例13.17
1.一个方程的情形设span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
2.方程组的情形
三、隐函数求导法
1.多元函数的泰勒公式(仅数学一)
1）取极值的必要条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
2）取极值的充分条件
2.无条件极值
3.条件极值与拉氏乘除法
四、多元函数的极值、最值
五、偏导微分方程
第13讲 多元函数微分学
第14讲 二重积分
第15讲 微分方程
高数部分
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