LA-6-二次型
2021-08-19 17:01:10 12 举报AI智能生成
线性代数 第六章 二次型 知识点梳理
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大纲/内容
基本概念
二次型
一个多元函数，每一项都是二次的
拆解
二次型的矩阵表述
记为，，称二次型的矩阵
二次型的秩即矩阵的秩，ie. r(f)=r(A)
与特征值的联系
正交变换法得到的标准型系数等于A的特征值
标准型
只有平方项，没有混合项的二次型
二次型矩阵为对角矩阵
规范型
平方项的系数仅为的标准型
正负惯性指数的来源
一种特殊的标准型
正负惯性指数
所有二次型均有惯性指数
必须化成标准型才能确定具体值
坐标变换不改变惯性指数(惯性定理)
标准型正系数平方项、负系数平方项的个数
p、q分别指正负惯性指数
r(A)=p+q
0系数平方项既不计入p，也不计入q
惯性定理：
二次型经过坐标变换，其正负惯性指数是唯一确定不变的。
二次型经过坐标变换，其正负惯性指数是唯一确定不变的。
坐标变换
x=Cy，若|C|≠0，称此变换为一个坐标变换
C必须可逆↔|C|≠0
是x=Cy,而非y=Cx
C不可逆就不是坐标变换
合同
对一个对称矩阵A，若存在可逆矩阵C，
使得CAC=B，称A与B合同，记为AB
使得CAC=B，称A与B合同，记为AB
比较
对称的合同矩阵对称
B=(CAC)=CA(C)=CAC=B
B=(CAC)=CA(C)=CAC=B
合同矩阵对应
二次型的基变换
二次型的基变换
基变换C是可逆的
性质
反身性：
对称性：
传递性：
判定
充要条件：合同矩阵的正负惯性指数相同(惯性定理)
合同矩阵的行列式同号
|CAC|=|B|→|C||A||C|=|B|→|C||A|=|B|
该条件必要不充分，满足也不一定合同
考察
证明合同
与是否相似？是否合同？
配方法必须检验|C|是否=0
区别合同、等价、相似
例：给出两个特征值相同而不相似的二阶矩阵。
标准型
基本定理
n元二次型f，必然可逆C
使f经x=Cy变换化为标准型
使f经x=Cy变换化为标准型
推论：也必然存在C可将f化为规范型
该标准型和A只有合同关系
若C是正交矩阵，则标准型矩阵与A相似
更严格
配方法得到的标准型系数与A的特征值无关
正交变换法得到的标准型系数等于A的特征值
正交变换法得到的标准型系数等于A的特征值
配方法
对于平方项全齐的二次型，采取主元逐个配方很合适
对于只含混合项的二次型，需要两轮配方
配方
对系数项为0的平方项，不能丢弃，必须令与对位元素相等
配方法结果不唯一
必须检验|C|是否=0
正交变换法
对于任意n元二次型f=xAx，
必有正交变换x=Qy，
使f化为标准型yy
必有正交变换x=Qy，
使f化为标准型yy
注意是x=Qy，而非y=Qx
A
注意考率相似矩阵的性质
避免暴力求解特征值
例：已知二次型经过
正交变换x=Py化为标准型。求a,b
正交变换x=Py化为标准型。求a,b
A是实对称矩阵，必可由QAQ相似对角化，
对角矩阵Q的列向量是A单位化的特征向量
对角矩阵Q的列向量是A单位化的特征向量
正交矩阵Q性质：Q=Q
正交矩阵不一定是对称矩阵！
实对称矩阵A不同特征值
的特征向量两两正交
的特征向量两两正交
由正交矩阵性质，正交变换后的二次型必然是：
考察
用正交变换标准化给定二次型
写出原始二次型的A矩阵
求特征值、求特征向量
改造特征向量
由于不同特征值的特征向量相互正交
只需正交化重根的特征向量
只需正交化重根的特征向量
经过正交化，特征值不变
仅重根特征向量需正交化，重根
特征向量线性组合仍是特征向量
特征向量线性组合仍是特征向量
构造正交矩阵Q
写出坐标变换x=Qy和标准型
规范型
给出一个待定二次型f的规范型
求f的待定参数
求f的待定参数
法1：正负惯性指数(的定义)
整理出f的标准型，根据标准型系
数的大小排序和规范型正负号确定参数
整理出f的标准型，根据标准型系
数的大小排序和规范型正负号确定参数
法2：A的特征值即为标准型平方项系数
注意0系数
正定矩阵
正定二次型
正定二次型
若x≠0，f=xAx>0，称f为
正定二次型，A称正定矩阵
正定二次型，A称正定矩阵
正定：positive definite
即必是对称矩阵
同理有：<0负定、≥0半正定、≤0半负定
几何意义：正定二次型的图形是n维空间的一族超椭球(椭球、椭圆)
惯性定理：
二次型经过坐标变换，其正负惯性指数是唯一确定不变的。
二次型经过坐标变换，其正负惯性指数是唯一确定不变的。
性质/充要条件
标准型的系数全为正
规范型的系数全为1
正惯性系数=n
负惯性系数的数量不能约束A是否正定
正定矩阵和单位矩阵合同()
推论/充要条件
A的特征值全为正
必要条件
平方项系数()>0
有负项必不可能正定
有0项必不可能正定
赫尔维茨定理
A正定的充要条件是各阶顺序主子式>0
A负定的充要条件是奇数阶顺序主子式<0
偶数阶顺序主子式>0
偶数阶顺序主子式>0
可以用于小题快速判断
是否正定
已知正定求参数
考察
证明正定
必须先检验对称
定义
特征值>0
p=n
AE
已知A正定，求证A正定
已知A正定，B反对称，求证A-B可逆
职业：暂无
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