理论力学A
2021-09-10 08:33:57 0 举报AI智能生成
22考研、理论力学、思维导图，有缘拿走
作者其他创作
大纲/内容
静力学
静力学公理和物体的受力分析
静力学公理
公理1（力的平行四边形法则）：合力矢等于这两个力矢的几何和。
公理2（二力平衡条件）： 作用在物体上的两个力使得物体保持平衡的充要条件是两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
公理3（加减平衡力系原理）： 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推理1（力的可传性）： 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
推理2（三力平衡汇交定理）： 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则三力共面，且三力汇交。
公理4（作用和反作用定理）： 作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
公理5（刚化原理）： 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
公理2（二力平衡条件）： 作用在物体上的两个力使得物体保持平衡的充要条件是两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
公理3（加减平衡力系原理）： 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推理1（力的可传性）： 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
推理2（三力平衡汇交定理）： 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则三力共面，且三力汇交。
公理4（作用和反作用定理）： 作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
公理5（刚化原理）： 变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
约束和约束力
自由体：位移不受限制的物体。
非自由体：位移受到限制的物体。
约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
约束力：约束对物体的作用。
约束力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反。应用该准则可以确定约束力的方向或作用线的位置。
在静力学问题中，约束力和物体受的其他已知力（称主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
非自由体：位移受到限制的物体。
约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
约束力：约束对物体的作用。
约束力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反。应用该准则可以确定约束力的方向或作用线的位置。
在静力学问题中，约束力和物体受的其他已知力（称主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
1. 具有光滑接触表面的约束；
2. 由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束；
3. 光滑铰链约束：向心轴承（径向轴承）、圆柱铰链（铰链）和固定铰链支座（固定铰支）；
4. 其他约束：滚动支座（辊轴支座）、球铰链、止推轴承、固定端（插入端支座）
2. 由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束；
3. 光滑铰链约束：向心轴承（径向轴承）、圆柱铰链（铰链）和固定铰链支座（固定铰支）；
4. 其他约束：滚动支座（辊轴支座）、球铰链、止推轴承、固定端（插入端支座）
空间约束的类型及其约束力举例
（1）：光滑表面、滑动支座、绳索、二力杆；
（2）：径向轴承、圆柱铰链、铁轨、螺铰链；
（3）：球形铰链、止推轴承；
（4）：导向轴承；
（5）：万向接头；
（6）：带有销子的夹板；
（7）：导轨；
（8）：空间的固定端支座。
（1）：光滑表面、滑动支座、绳索、二力杆；
（2）：径向轴承、圆柱铰链、铁轨、螺铰链；
（3）：球形铰链、止推轴承；
（4）：导向轴承；
（5）：万向接头；
（6）：带有销子的夹板；
（7）：导轨；
（8）：空间的固定端支座。
物体的受力分析和受力图
物体的受力分析、主动力、被动力、受力体、施力体、研究对象、分离体。
正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意以下几点：
1. 必须明确研究对象；
2. 正确确定研究对象受力的数目；
3. 正确画出约束力；
4. 当分析两物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用关系。
正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意以下几点：
1. 必须明确研究对象；
2. 正确确定研究对象受力的数目；
3. 正确画出约束力；
4. 当分析两物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用关系。
力系
平面
汇交力系
1. 力的合成与合力：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
2. 平面汇交力系平衡的充要条件：
（1）几何法：该力系的合力为零（几何条件：该力系的力多边形自行封闭）；
（2）解析法：该力系的合力等于零（各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零）。
3. 平面汇交力系的平衡方程：
2. 平面汇交力系平衡的充要条件：
（1）几何法：该力系的合力为零（几何条件：该力系的力多边形自行封闭）；
（2）解析法：该力系的合力等于零（各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零）。
3. 平面汇交力系的平衡方程：
力偶系
力对点之距
矩心O，力臂h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
力矩的解析表达式：
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
力矩的解析表达式：
平面力偶
1. 力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
2. 力偶臂：力偶的两力之间的垂直距离d。
3. 力偶的作用面：力偶所在的平面。
4. 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，逆时针转向为正，反之为负。
5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
力偶矩是平面力偶作用的唯一量度。力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。
只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
6. 平面力偶系的合成：合力偶矩等于各个力偶矩的代数和
7. 平面力偶系的平衡条件：所有力偶矩的代数和为0，即
2. 力偶臂：力偶的两力之间的垂直距离d。
3. 力偶的作用面：力偶所在的平面。
4. 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，逆时针转向为正，反之为负。
5. 同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
力偶矩是平面力偶作用的唯一量度。力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。
只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
6. 平面力偶系的合成：合力偶矩等于各个力偶矩的代数和
7. 平面力偶系的平衡条件：所有力偶矩的代数和为0，即
任意力系
向作用面内一点的简化
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对点B的矩。
力系的主矢：平面任意力系中所有各力的矢量和；
力系的主矩：平面任意力系中所有各力对简化中心O的矩的代数和；
平面任意力系向作用面内一点简化，得到一个力和一个力偶。
力等于该力系的主矢，作用线同通过简化中心O，力偶矩等于该力系对于点O的主矩。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
力系的主矢：平面任意力系中所有各力的矢量和；
力系的主矩：平面任意力系中所有各力对简化中心O的矩的代数和；
平面任意力系向作用面内一点简化，得到一个力和一个力偶。
力等于该力系的主矢，作用线同通过简化中心O，力偶矩等于该力系对于点O的主矩。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
简化结果：
（1）主矢和主矩：
（2）主矢和主矩：
（3）主矢和主矩：（平衡）
（4）主矢和主矩：（合力作用线距离简化中心）
（1）主矢和主矩：
（2）主矢和主矩：
（3）主矢和主矩：（平衡）
（4）主矢和主矩：（合力作用线距离简化中心）
平衡条件和平衡方程
平衡的充要条件：主矢和对于任一点的主矩都等于0，即
平衡的充要条件（解析条件）：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意点的矩的代数和也等于零。
平衡方程：
平衡的充要条件（解析条件）：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意点的矩的代数和也等于零。
平衡方程：
实际应用问题
物体系的平衡问题
静定问题：系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出。
超静定问题：系统中的未知量数目大于独立平衡方程的数目时，未知量不能全部由平衡方程求出。
应该考虑物体因受力作用而产生的变形，加列某些补充方程（材料力学和结构力学）后，才可解。
超静定问题：系统中的未知量数目大于独立平衡方程的数目时，未知量不能全部由平衡方程求出。
应该考虑物体因受力作用而产生的变形，加列某些补充方程（材料力学和结构力学）后，才可解。
平面简单衔架内力计算问题
衔架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。衔架中杆件的铰链接头称为节点。
衔架的优点：杆件主要承受拉力和压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构重量。
理想衔架：
（1）衔架的杆件都是直的；
（2）杆件用光滑的铰链连接；
（3）衔架所受的力（载荷）都作用在节点上，在衔架平面内；
（4）衔架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。
平面简单衔架：静定的，以三角形框架为基础，没增加一个节点需增加两根杆件。
衔架的优点：杆件主要承受拉力和压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构重量。
理想衔架：
（1）衔架的杆件都是直的；
（2）杆件用光滑的铰链连接；
（3）衔架所受的力（载荷）都作用在节点上，在衔架平面内；
（4）衔架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。
平面简单衔架：静定的，以三角形框架为基础，没增加一个节点需增加两根杆件。
节点法：逐个考虑衔架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。
截面法：截断待求内力的杆件，将衔架截割为两部分，取其中一部分为研究对象，应用平面任意力系的平面方程求出被截断各杆件的内力。
截面法：截断待求内力的杆件，将衔架截割为两部分，取其中一部分为研究对象，应用平面任意力系的平面方程求出被截断各杆件的内力。
空间
汇交力系
1. 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
2. 空间汇交力系平衡的充要条件：
（1）该力系的合力等于0，即；
（2）该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于0，即得到平衡方程；
力在直角坐标轴上的投影：
3. 空间汇交力系的平衡方程：
2. 空间汇交力系平衡的充要条件：
（1）该力系的合力等于0，即；
（2）该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于0，即得到平衡方程；
力在直角坐标轴上的投影：
3. 空间汇交力系的平衡方程：
力偶系
力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩
（1）矢量表达式：，即力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
（2）定位矢量：矢量的始端必须在矩心，不可任意挪动，如力矩矢。
2. 力对轴的矩
（1）定义：力使刚体绕轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩；
（2）方向判断：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动则取正，否则取负。右手螺旋法则；
（3）为0的情形：力与轴共面时；
（1）矢量表达式：，即力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
（2）定位矢量：矢量的始端必须在矩心，不可任意挪动，如力矩矢。
2. 力对轴的矩
（1）定义：力使刚体绕轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩；
（2）方向判断：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动则取正，否则取负。右手螺旋法则；
（3）为0的情形：力与轴共面时；
力对点的矩和力对轴的矩的关系
力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。即：
空间力偶
1. 力偶矩矢量表示（力偶矩矢）：，无需确定矢的始端位置，这样的矢量称为自由矢量。
2. 空间力偶等效定理：作用在同一物体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。
3. 空间力偶系的合成：任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，
即；合力偶矩矢的解析表达式为
4. 空间力偶系平衡的充要条件：
（1）该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即；
（2）该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零，即空间力偶系的平衡方程。
5. 空间力偶系的平衡方程：
2. 空间力偶等效定理：作用在同一物体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。
3. 空间力偶系的合成：任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，
即；合力偶矩矢的解析表达式为
4. 空间力偶系平衡的充要条件：
（1）该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即；
（2）该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零，即空间力偶系的平衡方程。
5. 空间力偶系的平衡方程：
任意力系
向空间内一点的简化
空间任意力系向任一点O简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；该力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。
简化结果：
（1）主矢和主矩：（合力矩）
（2）主矢和主矩：（合力）
（3）主矢和主矩：（平衡）
（4）主矢和主矩：（合力或力螺旋）
（4.1）（合力）时，合成两者得到的合力作用线距离简化中心。）
（4.2）（力螺旋）时，力偶的转向和力的指向符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的称为左螺旋。
力螺旋的力的作用线称为该力螺旋的中心轴。）
（4.3）（可化为力螺旋）夹角为θ，则可化为O'点的一个力螺旋，且。
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。
（1）主矢和主矩：（合力矩）
（2）主矢和主矩：（合力）
（3）主矢和主矩：（平衡）
（4）主矢和主矩：（合力或力螺旋）
（4.1）（合力）时，合成两者得到的合力作用线距离简化中心。）
（4.2）（力螺旋）时，力偶的转向和力的指向符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的称为左螺旋。
力螺旋的力的作用线称为该力螺旋的中心轴。）
（4.3）（可化为力螺旋）夹角为θ，则可化为O'点的一个力螺旋，且。
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。
平衡条件和平衡方程
1. 空间任意力系处于平衡的充要条件：
（1）该力系的主矢和对于任一点的主矩都等于0，即；
（2）所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于0，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于0。
2. 空间任意力系的平衡方程：
（1）该力系的主矢和对于任一点的主矩都等于0，即；
（2）所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于0，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于0。
2. 空间任意力系的平衡方程：
重心
1. 平行力系的中心：平行力系合力通过的一点。
（1）平行力系合力作用点的位置（平行力系的中心）仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。
（2）平行力系合力作用点的矢径：
（3）平行力系合力作用点的坐标：
（1）平行力系合力作用点的位置（平行力系的中心）仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。
（2）平行力系合力作用点的矢径：
（3）平行力系合力作用点的坐标：
2. 重心：地表面物体的重力可以看作平行力系，此平行力系的中心即为重心。
（1）物体由若干部分组成，第i部分重为，则重心为
（2）物体是均质的，则其重心就是几何中心（形心），即重心为
（1）物体由若干部分组成，第i部分重为，则重心为
（2）物体是均质的，则其重心就是几何中心（形心），即重心为
3. 确定物体重心的方法
（1）简单几何形状物体的重心：简单形体重心表
（2）用组合法求重心：分割法、负面积法（负体积法）
（3）用实验方法测定重心的位置
（1）简单几何形状物体的重心：简单形体重心表
（2）用组合法求重心：分割法、负面积法（负体积法）
（3）用实验方法测定重心的位置
摩擦
滑动摩擦
静滑动摩擦
静滑动摩擦力与最大静摩擦力
（1）物体处于平衡的临界状态时的静摩擦力即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，表示为Fmax。
（2）摩擦力介于0和最大静摩擦力之间，即0≤Fx≤Fmax。
（3）静摩擦定理（库仑摩擦定理）：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向约束力）成正比，即。
fs时比例常数，称为静摩擦因数。
（1）物体处于平衡的临界状态时的静摩擦力即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，表示为Fmax。
（2）摩擦力介于0和最大静摩擦力之间，即0≤Fx≤Fmax。
（3）静摩擦定理（库仑摩擦定理）：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向约束力）成正比，即。
fs时比例常数，称为静摩擦因数。
摩擦角：
（1）全约束力：法向约束力和切向约束力（静摩擦力）之矢量和。
（2）摩擦角：全约束力与法线间的夹角的最大值，即（摩擦角的正切等于静摩擦因数）
（3）摩擦锥：物体滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位随之改变，临界状态下，全约束力作用线画出的一个以接触点A为顶点的锥面。
物体与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥是一个顶角为2φf的圆锥。
（1）全约束力：法向约束力和切向约束力（静摩擦力）之矢量和。
（2）摩擦角：全约束力与法线间的夹角的最大值，即（摩擦角的正切等于静摩擦因数）
（3）摩擦锥：物体滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位随之改变，临界状态下，全约束力作用线画出的一个以接触点A为顶点的锥面。
物体与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥是一个顶角为2φf的圆锥。
自锁现象
（1）全约束力与法线之间的夹角φ在零与摩擦角φf之间变化，即全约束力必在摩擦角内。
（2）自锁现象：如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线在摩擦角φf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。
（3）如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线在摩擦角φf之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。
（4）斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件：
（1）全约束力与法线之间的夹角φ在零与摩擦角φf之间变化，即全约束力必在摩擦角内。
（2）自锁现象：如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线在摩擦角φf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。
（3）如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线在摩擦角φf之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。
（4）斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件：
动滑动摩擦
1. 定义：物体相对滑动时，接触物体之间仍作用由阻碍相对滑动的阻力，称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用F表示。
2. 动摩擦力的大小与接触物体间的正压力成正比，即，式中f时动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关。
3. 一般情况下动摩擦因数小于静摩擦因数，即。
4. 实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦因数随相对滑动的速度变化规律也不同。
多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度的增大而稍减少。
2. 动摩擦力的大小与接触物体间的正压力成正比，即，式中f时动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关。
3. 一般情况下动摩擦因数小于静摩擦因数，即。
4. 实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦因数随相对滑动的速度变化规律也不同。
多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度的增大而稍减少。
滚动摩阻
1. 滚动摩阻力偶、临界平衡时滚子受到的滚动摩阻力偶达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，用Mmax表示。
2. 滚动摩阻力偶矩Mf的大小介于0与最大值之间，即。
3. 滚动摩阻定律：最大滚动摩阻力偶矩与滚子的半径无关，而与支承面的正压力（法向约束力）的大小成正比，即。
其中，δ是滚动摩阻系数，简称滚阻系数，其一般有长度的量纲，单位一般用mm。
4. 滚阻系数的物理意义：滚子在即将滚动的临界平衡状态时，法向约束力F'N离中心线的最远距离，也就是最大滚阻力偶（F'N，P）的臂。
2. 滚动摩阻力偶矩Mf的大小介于0与最大值之间，即。
3. 滚动摩阻定律：最大滚动摩阻力偶矩与滚子的半径无关，而与支承面的正压力（法向约束力）的大小成正比，即。
其中，δ是滚动摩阻系数，简称滚阻系数，其一般有长度的量纲，单位一般用mm。
4. 滚阻系数的物理意义：滚子在即将滚动的临界平衡状态时，法向约束力F'N离中心线的最远距离，也就是最大滚阻力偶（F'N，P）的臂。
考虑滑动摩擦时
物体的平衡问题
物体的平衡问题
（1）分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数目；
（2）为确定某些新增加的未知量，还需列出补充方程，即，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；
（3）由于物体平衡时摩擦力有一定的范围（即0≤Fs≤fsFN）所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。
（2）为确定某些新增加的未知量，还需列出补充方程，即，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；
（3）由于物体平衡时摩擦力有一定的范围（即0≤Fs≤fsFN）所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。
运动学
点
运动学
矢量法
1. 位置矢量（矢径），矢径r(t)的矢端曲线就是动点M的运动轨迹。
2. 以矢量表示的点的运动方程：r=r(t)
3. 动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即；
4. 动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即；
5. 速度矢端曲线：将动点M不同瞬时的速度矢都平行地移动到点O，连接各矢量的端点构成的连续曲线。
2. 以矢量表示的点的运动方程：r=r(t)
3. 动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即；
4. 动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即；
5. 速度矢端曲线：将动点M不同瞬时的速度矢都平行地移动到点O，连接各矢量的端点构成的连续曲线。
直角坐标法
1. 以直角坐标表示的点的运动方程：；
2. 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数，即
3. 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各坐标对时间的二阶导数，即
2. 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数，即
3. 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各坐标对时间的二阶导数，即
点的速度和加速度的投影
柱坐标系
速度投影：
加速度投影：
加速度投影：
球坐标系
速度投影：
加速度投影：
加速度投影：
自然法
自然法与弧坐标
自然法定义：利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法。
弧坐标：动点在轨迹上的位置由弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。
点沿轨迹的运动方程（以弧坐标表示的点的运动方程）：s=f(t)。
弧坐标：动点在轨迹上的位置由弧长确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。
点沿轨迹的运动方程（以弧坐标表示的点的运动方程）：s=f(t)。
自然轴系
讨论M点，则主要概念有：
（1）切线：单位矢量为；
（2）密切面：设极接近M点的点M'，与两点的切线的单位矢量共面且经过点M的平面，在M'趋于M时的极限平面，称为密切面；
（3）法平面：经过M点且垂直于切线的平面；
（4）主法线：法平面与密切面的交线，其单位矢量指向曲线凹的一侧，单位矢量为；
（5）副法线：经过M点且垂直于切线及主法线的直线称为副法线，单位矢量为。
（6）、、构成右手系，即；
（6）自然坐标系：以切线、主法线、副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。
（7）自然坐标系是沿着曲线而变动的游动坐标系。
（1）切线：单位矢量为；
（2）密切面：设极接近M点的点M'，与两点的切线的单位矢量共面且经过点M的平面，在M'趋于M时的极限平面，称为密切面；
（3）法平面：经过M点且垂直于切线的平面；
（4）主法线：法平面与密切面的交线，其单位矢量指向曲线凹的一侧，单位矢量为；
（5）副法线：经过M点且垂直于切线及主法线的直线称为副法线，单位矢量为。
（6）、、构成右手系，即；
（6）自然坐标系：以切线、主法线、副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。
（7）自然坐标系是沿着曲线而变动的游动坐标系。
合成运动
相对运动 · 牵连运动 · 绝对运动
定参考系（定系）、动参考系（动系）
牵连点：动参考系上与动点相重合的点；
绝对运动：动点相对于定参考系的运动，此时动点的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹、绝对速度va和绝对加速度aa；
相对运动：动点相对于动参考系的运动，此时动点的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹、相对速度vr和相对加速度ar；
牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动，此时牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度ve和牵连加速度ae。
牵连点：动参考系上与动点相重合的点；
绝对运动：动点相对于定参考系的运动，此时动点的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹、绝对速度va和绝对加速度aa；
相对运动：动点相对于动参考系的运动，此时动点的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹、相对速度vr和相对加速度ar；
牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动，此时牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度ve和牵连加速度ae。
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即
点的加速度合成定理
动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，即。其中，
动系以角速度ωe绕定轴转动时，；动系做平移运动时，科氏加速度为0，。
科氏加速度是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。
动系以角速度ωe绕定轴转动时，；动系做平移运动时，科氏加速度为0，。
科氏加速度是由于动系为转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生的。
刚体
简单运动
刚体的平移运动
1. 平移：如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动。
2. 平移的性质：
（1）当刚体平行移动时，其上各点轨迹形状相同；
（2）在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
3. 研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。
2. 平移的性质：
（1）当刚体平行移动时，其上各点轨迹形状相同；
（2）在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
3. 研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。
刚体绕定轴的转动
1. 转动：刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴的转动。
2. 轴（转轴，轴线）：通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴线。
3. 转角：刚体绕轴的转角。
4. 刚体绕定轴转动的运动方程：；
5. 瞬时角速度：转角φ对时间的一阶导数，即；
6. 瞬时角加速度：转角φ对时间的二阶导数，即；α和ω同号，则转动是加速的；如果α和ω异号，则转动是减速的。
2. 轴（转轴，轴线）：通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴线。
3. 转角：刚体绕轴的转角。
4. 刚体绕定轴转动的运动方程：；
5. 瞬时角速度：转角φ对时间的一阶导数，即；
6. 瞬时角加速度：转角φ对时间的二阶导数，即；α和ω同号，则转动是加速的；如果α和ω异号，则转动是减速的。
（1）匀速转动：刚体的角速度不变，即ω=常量；
（2）匀变速转动：刚体的角加速度不变，即α=常量。
（2）匀变速转动：刚体的角加速度不变，即α=常量。
转动刚体内各点的速度和加速度
1. 转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，即。
它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。
2. 转动刚体内任一点的切向加速度（又称转动加速度）的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，即。
它的方向由角加速度的负号决定。
3. 转动刚体内任一点的法向加速度（又称向心加速度）的大小，等于刚体的角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，即。
它的方向与速度垂直并指向轴线。
它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。
2. 转动刚体内任一点的切向加速度（又称转动加速度）的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，即。
它的方向由角加速度的负号决定。
3. 转动刚体内任一点的法向加速度（又称向心加速度）的大小，等于刚体的角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，即。
它的方向与速度垂直并指向轴线。
轮系的传动比
1. 齿轮传动：处于啮合中的两个定轴齿轮的角速度与两齿轮的齿数成反比（或与两轮的啮合圆半径成反比）
即传动比；
2. 带轮转动：皮带的线速度恒定，两轮的角速度与其半径成反比，即传动比。
即传动比；
2. 带轮转动：皮带的线速度恒定，两轮的角速度与其半径成反比，即传动比。
以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
以矢积表示点的速度和加速度
1. 角加速度矢α为角速度矢ω对时间的一阶导数，即；
2. 绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积，即；
3. 转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积，即；
4. 转动刚体内任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积，即；
2. 绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积，即；
3. 转动刚体内任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积，即；
4. 转动刚体内任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度矢的矢积，即；
平面运动
概述和运动分解
1. 平面运动：在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。
2. 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中
（1）平移的速度和加速度与基点的选择有关，
（2）绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。
2. 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中
（1）平移的速度和加速度与基点的选择有关，
（2）绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。
求平面图形各点速度
基点法
1. 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和，即；
2. 速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
2. 速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
瞬心法
1. 定理：在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心；
2. 平面图形内各点的速度及其分布：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度；
3. 确定速度瞬心的方法：
（1）平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，则图形与固定面的接触点C称为图形的速度瞬心；
（2）已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上；
（3）已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必在AB与速度矢和端点连线的交点C上；
（4）某一瞬时，图形上A，B两点的速度相等，则图形的速度瞬心在无限远处。该瞬时，图形作瞬时平移。
2. 平面图形内各点的速度及其分布：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度；
3. 确定速度瞬心的方法：
（1）平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，则图形与固定面的接触点C称为图形的速度瞬心；
（2）已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上；
（3）已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必在AB与速度矢和端点连线的交点C上；
（4）某一瞬时，图形上A，B两点的速度相等，则图形的速度瞬心在无限远处。该瞬时，图形作瞬时平移。
平面图形各点的加速度
基点法
1. 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，
即
即
动力学
基本定律与基本方程
1. 动力学的基本定律
（1）惯性定律；
（2）力与加速度之间的关系的定律；
（3）作用与反作用定律；
（2）力与加速度之间的关系的定律；
（3）作用与反作用定律；
2. 质点的运动微分方程
（1）质点运动微分方程在直角坐标轴上投影，即；
（2）质点运动微分方程在自然轴上投影，即，其中，
分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影，ρ为轨迹的曲率半径。
（2）质点运动微分方程在自然轴上投影，即，其中，
分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影，ρ为轨迹的曲率半径。
3. 质点动力学的两类基本问题
（1）已知质点的运动，求作用与质点的力；
（2）已知作用于质点的力，求质点的运动。
（2）已知作用于质点的力，求质点的运动。
常见机械运动
平动运动
1. 动量与冲量
（1）动量：质点（质点系）的质量与速度的乘积，记为；
（2）冲量：力在时间上的累积，即。
（2）冲量：力在时间上的累积，即。
2. 动量定理
（1）质点的动量定理：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量，即；
（2）质点系的动量定理：质点系动量增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和，即；
（3）质点系动量守恒定律：如果作用于质点系的外力主矢恒为零，则质点系的动量保持不变，即；
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒为零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变，即。
（2）质点系的动量定理：质点系动量增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和，即；
（3）质点系动量守恒定律：如果作用于质点系的外力主矢恒为零，则质点系的动量保持不变，即；
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒为零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变，即。
3. 质心运动定理
（1）质量中心的计算，即为；
（2）质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和，即；
（3）质心运动守恒定律：如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；
若开始静止，则质心位置始终保持不变；
如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；
若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
（2）质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和，即；
（3）质心运动守恒定律：如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；
若开始静止，则质心位置始终保持不变；
如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；
若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
转动运动
基本概念
动量矩
（1）质点：质点Q的动量对于点O（z轴）的矩，定义为质点对于点O（z轴）的动量矩，即
，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影等于对z轴的动量矩。
（2）质点系：质点系的动量对于点O（z轴）的矩，定义为质点对于点O（z轴）的动量矩，即
，质点系对点O的动量矩矢在z轴上的投影等于对z轴的动量矩。
，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影等于对z轴的动量矩。
（2）质点系：质点系的动量对于点O（z轴）的矩，定义为质点对于点O（z轴）的动量矩，即
，质点系对点O的动量矩矢在z轴上的投影等于对z轴的动量矩。
绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积，即。
刚体对轴的转动惯量
刚体对任意轴z的转动惯量定义为
简单形状物体的转动惯量计算
（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量；
（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量；
（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量。
（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量；
（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量；
（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量。
回转半径（或惯性半径）：或，即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。
平行轴定理：刚体对于任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，
加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即。
加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即。
动量矩定理和动量矩守恒定律
动量矩定理：
（1）质点：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，即，
投影式为；
（2）质点系：质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和，即，
投影式为。
（1）质点：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，即，
投影式为；
（2）质点系：质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和，即，
投影式为。
动量矩守恒定律：
（1）质点：作用于质点的力对某定点O（某定轴z）的矩为零，则质点对该点（该定轴z）的动量矩保持不变，
即；
（2）质点系：当外力对于某定点（或定轴）的主矩为零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。
（1）质点：作用于质点的力对某定点O（某定轴z）的矩为零，则质点对该点（该定轴z）的动量矩保持不变，
即；
（2）质点系：当外力对于某定点（或定轴）的主矩为零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。
刚体绕定轴的转动微分方程
转动惯量是刚体转动惯性的度量。
质点系相对质心的动量矩定理
质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，即
刚体的平面运动微分方程
（1）；
（1）。
（1）。
动力学问题分析方法
能量角度
基本概念
功
（1）定义：力在位移上的累计，即；
（2）重力的功：；
（3）弹性力的功：；
（4）定轴转动刚体上作用力的功：；
（5）平面运动刚体上力系的功：；
（2）重力的功：；
（3）弹性力的功：；
（4）定轴转动刚体上作用力的功：；
（5）平面运动刚体上力系的功：；
动能
（1）质点（质点系）的动能：；
（2）平移刚体的动能：；
（3）定轴转动刚体的动能：；
（4）平面运动刚体的动能：（质心平移的动能与绕质心转动的动能的和）；
（2）平移刚体的动能：；
（3）定轴转动刚体的动能：；
（4）平面运动刚体的动能：（质心平移的动能与绕质心转动的动能的和）；
功率
（1）单位时间内力所作的功，以P表示，即；
（2）切向力于力作用点速度的乘积，即；
（3）作用于转动刚体上力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积，即；
（2）切向力于力作用点速度的乘积，即；
（3）作用于转动刚体上力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积，即；
功率方程
（1）功率方程：质点系动能对时间的一阶导数等于作用于质点系的所有力的功率的代数和，即；
（2）输入功率：输入电场力的功率；
（3）无用功率（损耗功率）：摩擦力作负功、零件碰撞使得一部分机械能转化为热能的功率；
（4）有用功率（输出功率）：车床加工零件时必须付出的功率；
（5）功率方程的另一种形式：
（2）输入功率：输入电场力的功率；
（3）无用功率（损耗功率）：摩擦力作负功、零件碰撞使得一部分机械能转化为热能的功率；
（4）有用功率（输出功率）：车床加工零件时必须付出的功率；
（5）功率方程的另一种形式：
机械效率
（1）有效功率与输入功率的比值，记为η，即有
势力场
（1）力场：如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，
则这部分空间称为力场，如重力场、太阳引力场；
（2）势力场（保守力场）：物体在力场中运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的开始位置和终了位置有关，
而与轨迹形状无关，则该力场为势力场；
（3）保守力（有势力）：物体在势力场中受到的力。
则这部分空间称为力场，如重力场、太阳引力场；
（2）势力场（保守力场）：物体在力场中运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的开始位置和终了位置有关，
而与轨迹形状无关，则该力场为势力场；
（3）保守力（有势力）：物体在势力场中受到的力。
势力场的其他性质：
（1）有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号；
（2）在势力场中，势能相等的各点构成等势能面，势能为零的等势能面称为零势能面；
（3）有势力的方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。
（1）有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号；
（2）在势力场中，势能相等的各点构成等势能面，势能为零的等势能面称为零势能面；
（3）有势力的方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。
势能
（1）在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能，
；
（2）重力场的势能：；
（3）弹性力场的势能：；
（4）万有引力场的势能：；
（5）质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能；
（6）有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。
；
（2）重力场的势能：；
（3）弹性力场的势能：；
（4）万有引力场的势能：；
（5）质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能；
（6）有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。
动能定理
1. 质点的动能定理
（1）微分形式：质点动能的增量等于作用在质点上力的元功，即；
（2）积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能改变量等于作用于质点的力作的功，
即。
（2）积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能改变量等于作用于质点的力作的功，
即。
2. 质点系的动能定理
（1）微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作元功的和，即；
（2）积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和，
即。
（2）积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和，
即。
3. 理想约束及内力做功
（1）理想约束：约束力做功等于0的约束；
（2）在某些情形下，质点系的内力虽然等值反向，但所作的功的和并不等于0，需要从功的定义出发分析；
（3）刚体所有内力做功的和等于0。
（2）在某些情形下，质点系的内力虽然等值反向，但所作的功的和并不等于0，需要从功的定义出发分析；
（3）刚体所有内力做功的和等于0。
机械能守恒定理
（1）机械能：质点系在某瞬时的动能与势能的代数和；
（2）机械能守恒定律：质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变，即，此类质点系称为保守系统；
（3）非保守系统：质点系还受到非保守力的作用，其机械能是不守恒的；
（4）机械能耗散：当质点系受到摩擦阻力等力作用时，质点系在运动过程中机械能减少。
（2）机械能守恒定律：质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变，即，此类质点系称为保守系统；
（3）非保守系统：质点系还受到非保守力的作用，其机械能是不守恒的；
（4）机械能耗散：当质点系受到摩擦阻力等力作用时，质点系在运动过程中机械能减少。
用静力学中
研究平衡问题的方法
来研究动力学问题
研究平衡问题的方法
来研究动力学问题
达朗贝尔原理
基本概念
（1）惯性力：大小等于质点的质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。
达朗贝尔原理
质点
（1）作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系，即；
质点系
（1）质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，即；
（2）作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，即
（2）作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，即
刚体惯性力系的简化
刚体作平移
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，
合力的方向与加速度方向相反，数学表达为；
合力的方向与加速度方向相反，数学表达为；
刚体作定轴转动
惯性力系向转轴上一点O简化，主矢与主矩为，
其中
当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。
这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴。
这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反，
数学表达式为
其中
当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。
这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴。
这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反，
数学表达式为
刚体作平面运动
（平行于质量对称平面）
（平行于质量对称平面）
有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量于角加速度的乘积，转向与角加速度相反，数学表达式为。
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
基本概念
（1）惯性主轴：刚体对于通过某点的z轴的惯性积等于零；
（2）中心惯性主轴：通过质心的惯性主轴
（3）静平衡：刚体的转轴通过质心，刚体除重力外没有受到其他主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动；
（4）动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承动约束力；
（2）中心惯性主轴：通过质心的惯性主轴
（3）静平衡：刚体的转轴通过质心，刚体除重力外没有受到其他主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动；
（4）动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承动约束力；
刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件
（1）转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零；
（2）刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴
（2）刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴
能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡，但能够动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。
虚位移原理
基本概念
约束及其分类
1. 定义：限制质点或质点系运动的条件称为约束；
2. 分类：
（1）几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件；
（2）运动约束：限制质点系运动情况的运动学条件；
（3）定常约束：不随时间变化的约束；
（4）非定常约束：约束条件随时间变化；
（5）非完整约束：约束方程中包含坐标对时间的导数，且方程不可能积分为有限形式；
（6）完整约束：约束方程中不包含坐标对时间的导数，或方程可以积分为有限形式；
（7）双侧约束（固执约束）、单侧约束（非固执约束）
2. 分类：
（1）几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件；
（2）运动约束：限制质点系运动情况的运动学条件；
（3）定常约束：不随时间变化的约束；
（4）非定常约束：约束条件随时间变化；
（5）非完整约束：约束方程中包含坐标对时间的导数，且方程不可能积分为有限形式；
（6）完整约束：约束方程中不包含坐标对时间的导数，或方程可以积分为有限形式；
（7）双侧约束（固执约束）、单侧约束（非固执约束）
虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移，用变分符号δ表示。
虚功
力在虚位移上做的功称为虚功，表示为，虚功是假想的，是虚的。
理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束
数学公式表示为
数学公式表示为
虚位移原理
虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是作用于质点系的所有主动力在任意虚位移中所作虚功的和等于零；
虚功方程：，或解析表达式为
虚功方程：，或解析表达式为
考纲内容
静力学
静力学基本概念，物体和物体系进行受力分析的方法
平面任意力系简化，求解物体系统平衡问题的方法
力在空间坐标系中的投影，空间力对轴之矩的计算，空间力系的简化
涉及摩擦的平衡问题求解
运动学
运动学基本概念，质点和刚体简单运动的特点和基本分析方法
点的合成运动基本概念，合成运动中速度和加速度的分析方法
刚体平面运动的基本概念，刚体平面运动中速度和加速度的分析方法
动力学
动力学基本概念，质点动力学基本方程
动量定理、动量矩定理和动能定理以及综合运用
达朗贝尔原理和虚位移原理的应用
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