概率论与数理统计
2021-09-28 16:29:29 216 举报AI智能生成
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大纲/内容
离散型随机变量期望span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续型随机变量期望span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
收敛，记为 或
定义
sp：
复合离散随机变量
sp：、|X|
复合连续型随机变量 【f(x)为X的密度函数】
一维随机变量
sp: ;
离散span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二维随机变量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
函数期望
一般情况
线性运算可拆性
独立随机变量【充分条件】
加权平均不等式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
性质
线性运算
数学期望
定义【前提D(X)存在】
推理记忆 1. E(X) 是一个数 2. 利用期望线性运算
随机变量平方的期望=原方差+原期望的平方
计算公式
常数方差为 0
协方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
多维变量方程span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
方差
证明
公式
0-1分布
二项式定理
二项分布
级数公式
期望公式
E(X^2)
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
方差公式
泊松分布
1/(1-x) (-1<x<1) 【高等数学幂级数公式来源】
E(X^2) 【中间证明又涉及级数，此次省略】
几何分布
一维离散型随机变量
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
均匀分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
指数分布
期望公式
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
标准正态分布随机变量关系span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
独立正态的线性组合仍时正态分布【μ和σ^2同时线性组合】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
正态分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
一维连续型随机变量
定义span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
求解期望
求解方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
求解协方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
随机变量函数
二维正态分布
常见分布的期望/方差
利用期望求解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
利用 相关系数/方差 求解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
协方差
范围绝对值为1span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
X 与 Y 不相关 ≠ 独立
相关系数 |ρ| = 1 充要条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
相关系数
k阶原点矩
k阶中心矩
k+l 阶混合矩
矩
随机变量标准化
独立，则协方差 = 0
数字特征与独立性
数字特征
定义span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"\\lim_{n\ightarrow \\infty}P\\{|Y_n-a|
记为
依概率收敛
切比雪夫大数定理
随机变量 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
伯努利大数定理
辛钦大数定理
大数定理【条件不背】
随机变量平均 依概率收敛于 总体期望
概要
依概率收敛与大数定律
独立同分布列维 —— 林格伯格定理
正态分布为极限分布棣莫弗 —— 拉普拉斯极限中心定理
中心极限定理
大量随机变量的和服从或近似服从正态分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
形象记忆
切比雪夫不等式
大数定理和中心极限定理
总体
样本值 / 观察值span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
样本 / 简单随机变量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
前提条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
Xi 与 X同分布
样本数字特征性质
样本
不含任何未知数样本不含任何参数的函数 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
样本均值
样本方差
样本标准差
样本 k 阶原点矩
样本 k 阶中心矩
顺序统计量
正态分布方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
结论
统计量
理解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
上侧分位点
条件【独立变量必须服从标准正态分布】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
自由度为n的卡方分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
期望、方差
可加性
方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
证明
\\chi_\\alpha^2 (n)\\}=\\alpha\" contenteditable=\"false\"
上侧 α 分位点
卡方分布
条件
分布具有对称性
t 分布【student分布】
n_1第一自由度，n_2第二自由度的 F分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
F 分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
前提
注意区别
结论2
单正态总体的抽样分布
前提span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
双正态总体的抽样分布
分布
数理统计的基本概念
点估计定义构造一个统计量 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
总体未知参数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
统计量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
定义设为span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\"\\theta\
无偏估计
样本与总体 的无偏估计span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
的无偏估计，
估计量均为 的无偏估计，则其线性组合任为无偏估计
无偏性
有两个无偏估计量 和 ， 当 span class=\"equation-text\" data-index=\"3\" data-equation=\
更有效估计
一致估计
点估计
估计量随机变量
估计值所取的具体值
点估计估计量的值估计未知参数
估计量/值
基本概念
一阶原点矩=期望 ，二中心阶矩=方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
总体矩
均值，和样本方差span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
样本矩
基于 大数定律 利用 样本矩 估计 总体矩
1) 对于总体 的分布含有span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
2) 则样本k阶原点矩为
关系 / 定义
矩估计量表示
矩估计
样本取得观察值span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
离散型
连续型
似然函数
思路】在未知参数 取值范围求span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
写出对应函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"L(\\theta)\" contenteditable=\"false\
求出唯一驻点，span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
若方差无解，则取端点或边界，需要根据具体情况分析
步骤
求解
最大(极大)似然估计
设 是总体 的未知参数，span class=\"equation-text\" data-index=\"2\" data-equation=\
置信区间
正态总体参数的区间估计
区间估计
估计方法
参数估计
小概率原理
原假设与备择假设
假设检验
第一类：弃真错误
第二类：存伪错误
两类错误
正态分布
t 分布
分布
拒绝域
在假设检验中允许犯第一类错误的概率，记为span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
检验水平
只控制第一类错误概率 的统计检验
显著性检验
根据问题提出原假设
给出显著性水平
确定检验统计量以及拒绝域形式
按犯第一类错误的概率等于 求出拒绝域
根据样本值计算检验统计量 的观测值 span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
一般步骤
充要条件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
条件关系
集合关系
二项式性质
前置
相同条件，实验可重复进行
所有可能结果已知
实验具体结果未知
随机实验
样本点
样本空间
概念
随机事件
必然事件
不可能事件
类型
子集合关系【吸收律】
子事件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
子事件
相等
并事件
交事件
差事件
互斥事件
对立事件span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
事件关系
交换律span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
结合律span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
吸收率span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分配律
德摩根定理【对偶率】
事件运算
假设表示设事件A表示为...
表示事件/表示变量设A某某事件\"由i次发生\
集合表示某事件span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
事件表示
事件
非负性
规范性
可列可加性
公理
规范性/非负性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
两两互不相容事件可加【可列可加性】
求逆公式【对立事件】
减法公式【差事件】
三事件加法【三容斥】
加法公式【容斥定义】
吸收率
德摩根定律
概率不等式
性质/公式
内部可进行事件运算
概率与事件关系
概率
定义有限样本点，且样本点发生可能性相同
推论【N件产品有M件次品，取n件，恰有k件次品概率】
加法即独立方法
乘法即步骤顺序
加法/乘法原理
排列span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
组合span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
阶乘
排列/组和
古典概型
定义样本空间中无限样本点构成的几何区域(长度、面积、体积等)，且样本点等可能发生
几何概型
定义已知A发生条件下B发生的概率，记为P(B|A)
规范性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
注意: 不是
求逆
加法公式【容斥性】
减法公式
常用性质【前提P(B)>0】
0}【P(A)P(B|A)】\\underrightarrow{P(B)0}【P(B)P(A|B)】\" contenteditable=\"false\"
乘法公式
条件概率/乘法公式
全概率公式【无数现实之和=真理】
贝叶斯公式【已知结果求路径概率】
结论【抓阄原理】
完备事件组span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
全概率公式/贝叶斯公式
n重伯努利实验span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
伯努利概型
概型
独立定义
互斥定义span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
与 独立，则 与 对立， 与 对立， 与 ，均相互独立
概率为 0 的事件以及概率为 1 的事件与任一事件均相互独立
独立条件下，条件概率只与子事件有关
事件独立性标志\"互不干扰\"，\"互不影响\
重要结论
没有直接联系
独立互斥关系
独立重复实验，\"第n次实验刚好是事件第k次发生\"
独立重复实验
事件独立性
随机事件及概率
事件表示span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
随机变量
域 / 规范性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
单增span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
右连续span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
x\\}=1-F(x)\" contenteditable=\"false\"
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"P\\{a
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"=P\\{a
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"P\\{aX
基本公式
反函数
分布函数的线性组合仍为分布函数【系数和为1，保证概率规范性】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分布函数的乘积
密度函数的复合运算span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
复合运算
计算
经典错误
分布函数
表格形式
公式形式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
概率分布 / 分布律
分布律性质
0-1分布 span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二项分布 Binomial Distributionspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
条件
泊松定理
级数
期望
高数结论【级数】
推理记忆
泊松分布 Poisson Distribution
几何分布
超几何分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
常见类型
离散型随机变量
连续性分布函数不连续的随机变量，一定不是连续性随机变量
非负性
规范性
概率密度为偶函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
f(x)连续点处
概率密度性质
概率为0【极限】事件未必为不可能事件，但不可能事件概率必定为0span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
事件端点不会影响区间概率【注意与离散型随机变量之间的区分】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"P\\{aX\\leq b\\}=P\\{a\\leq X\\leq b\\}=P\\{a\\leq X b\\}=P\\{aX
概率密度span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
分布函数span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
对称轴\\frac{a+b}{2}\\}=P\\{X
区间概率span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
均匀分布 Uniform Distributionspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
证明:x\\}/h=\\lambda\" contenteditable=\"false\"
假设分布函数
化简为
求解
无记忆性【区间长度相等概率相同】s+t|Xs\\}=P\\{Xt\\}=e^{-\\lambda t}\" contenteditable=\"false\"
指数分布 Exponential Distribution
密度函数
分布函数
概率密度
分布函数关于X=0对称
概率区间标准化求解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"P\\{aX\\leq b\\}=P\\{\\frac{a-\\mu}{\\sigma}
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\"P\\{X\\leq x\\}=P\\{\\frac{X-\\mu}{\\sigma}
利用标准正态分布求解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
标准态分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
对称性\\mu\\}=P\\{X
对称轴
离散程度 越小，分布越集中，图越高越瘦，反之越分散，又矮又胖
即位于U_α 右侧概率面积为 αspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
标准正态span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
复合变量【原理：方差和均值公式】span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
高数结论span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
图形性质
正态分布 normal distributionspan class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续型随机变量
利用分布律求解span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
公式法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
定义法
分布函数的乘积span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
通用型
随机变量函数分布
分布函数/概率密度基本概念
分布中待定参数求解
常见分布
函数的分布
练习
真题
常见题型
一维随机变量及其分布
n 维随机向量span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
边缘分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
条件分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
边界 / 规范性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
单调性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
面积差分公式span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
矩阵法
枚举法
书写格式
概率(联合)分布律
性质span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
边缘分布律
条件分布律
联合分布函数
非负性span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
连续点处概率密度 = 分布函数二阶混合偏导span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
联合概率密度
求X边缘密度，把X=x，对于的 y 积分成一根线的密度span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
求Y边缘密度，把Y=y，对于的 x 积分成一根线的密度span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
边缘密度函数
条件概率密度
连续性随机变量
判断
随机变量独立性
二维均匀分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
公式不需要记，但是要知道其对应的 期望/方差性质span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
（X，Y）的正态分布性质
二维正态分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
泊松分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二项分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
二维离散型
分布函数法span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
独立同分布
多维独立随机变量
指数分布span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
X 和 Y 相互独立时【卷积公式】
公式法
二维连续型
随机变量相互独立
简单函数分布
求分布函数的参数
题型
二维随机变量及其分布
概率论与数理统计
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