概率论与数理统计
2021-09-28 16:29:29 217 举报AI智能生成
走过路过不要错过，最全面的概率论笔记总结！！！
作者其他创作
大纲/内容
数字特征
数学期望
定义
离散型随机变量期望
连续型随机变量期望
收敛，记为 或
函数期望
一维随机变量
复合离散随机变量
sp：
复合连续型随机变量 【f(x)为X的密度函数】
sp：、|X|
二维随机变量
离散
sp: ;
连续
性质
线性运算可拆性
一般情况
独立随机变量【充分条件】
一般情况
加权平均不等式
方差
定义
定义【前提D(X)存在】
计算公式
推理记忆
1. E(X) 是一个数
2. 利用期望线性运算
1. E(X) 是一个数
2. 利用期望线性运算
随机变量平方的期望=原方差+原期望的平方
性质
常数方差为 0
多维变量方程
协方差
随机变量 X,Y 独立
常见分布的期望/方差
一维离散型随机变量
0-1分布
公式
证明
证明
二项分布
证明
二项式定理
泊松分布
期望公式
证明
级数公式
方差公式
E(X^2)
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
几何分布
公式
证明
级数公式
1/(1-x) (-1<x<1) 【高等数学幂级数公式来源】
E(X^2) 【中间证明又涉及级数，此次省略】
一维连续型随机变量
均匀分布
E(X^2)
指数分布
期望公式
证明
方差公式
正态分布
期望公式
证明
方差公式
证明
性质
标准正态分布随机变量关系
独立正态的线性组合仍时正态分布【μ和σ^2同时线性组合】
二维正态分布
定义
随机变量函数
求解期望
求解方差
求解协方差
协方差
定义
利用期望求解
证明
利用 相关系数/方差 求解
性质
相关系数
定义
性质
范围绝对值为1
X 与 Y 不相关 ≠ 独立
相关系数 |ρ| = 1 充要条件
(X,Y）服从正态分布，此时等价
矩
k阶原点矩
k阶中心矩
k+l 阶混合矩
随机变量标准化
数字特征与独立性
独立，则协方差 = 0
大数定理和中心极限定理
依概率收敛与大数定律
依概率收敛
定义
记为
大数定理【条件不背】
切比雪夫大数定理
两两不相关随机变量序列，均存在，存在常数C,
伯努利大数定理
随机变量
辛钦大数定理
独立同分布
中心极限定理
独立同分布
列维 —— 林格伯格定理
列维 —— 林格伯格定理
正态分布为极限分布
棣莫弗 —— 拉普拉斯极限中心定理
棣莫弗 —— 拉普拉斯极限中心定理
切比雪夫不等式
公式
形象记忆
数理统计的基本概念
总体
样本
定义
样本值 / 观察值
为观察值【抽样后】
为观察值【抽样后】
样本 / 简单随机变量
为n维随机变量【抽样前】
为n维随机变量【抽样前】
前提条件
相互独立且与总体同分布
相互独立且与总体同分布
样本数字特征性质
Xi 与 X同分布
统计量
定义
不含任何未知数
样本不含任何参数的函数
样本不含任何参数的函数
数字特征
样本均值
样本方差
样本标准差
样本 k 阶原点矩
样本 k 阶中心矩
顺序统计量
结论
正态分布方差
上侧分位点
定义
理解
分布
卡方分布
定义
条件【独立变量必须服从标准正态分布】
自由度为n的卡方分布
性质
期望、方差
可加性
证明
方差
上侧 α 分位点
t 分布【student分布】
条件
定义
性质
分布具有对称性
上侧 α 分位点
F 分布
定义
n_1第一自由度，n_2第二自由度的 F分布
性质
当 n1,n2 为 1 时
上侧 α 分位点
单正态总体的抽样分布
前提
结论
证明
结论2
双正态总体的抽样分布
前提
参数估计
基本概念
点估计
定义
点估计定义
构造一个统计量 用来估计总体X分布中含有的未知数
构造一个统计量 用来估计总体X分布中含有的未知数
总体未知参数
统计量
无偏性
无偏估计
定义
设为的估计量,若,则称 的无偏估计.,称为渐近
设为的估计量,若,则称 的无偏估计.,称为渐近
结论
样本与总体
的无偏估计
的无偏估计
的无偏估计，
估计量均为 的无偏估计，则其线性组合任为无偏估计
更有效估计
有两个无偏估计量 和 ， 当 比 更有效
一致估计
其中 依概率收敛于 则称其为 的一致估计量
估计量/值
估计量
随机变量
随机变量
估计值
所取的具体值
所取的具体值
点估计
估计量的值估计未知参数
估计量的值估计未知参数
估计方法
矩估计
总体矩
一阶原点矩=期望 ，二中心阶矩=方差
样本矩
均值，和样本方差
关系 / 定义
基于 大数定律 利用 样本矩 估计 总体矩
1) 对于总体 的分布含有, 有 存在，则显然为关于 的函数
2) 则样本k阶原点矩为
矩估计量表示
最大(极大)似然估计
似然函数
样本取得观察值的概率
离散型
连续型
求解
思路】
在未知参数 取值范围求，
简言之就是求函数的最大值点 , 使得值最小，成为最有效估计量
在未知参数 取值范围求，
简言之就是求函数的最大值点 , 使得值最小，成为最有效估计量
步骤
写出对应函数,取对数【对数求导法】
求出唯一驻点，
若方差无解，则取端点或边界，需要根据具体情况分析
区间估计
置信区间
定义
设 是总体 的未知参数， 是来自总体 的样本，
对于给定的 , 如果两个统计量满足
则称随机区间为的置信水平(置信度)为 的置信区间(区间估计)，
简称为 的 置信区间，分别成为置信下限和置信上限
对于给定的 , 如果两个统计量满足
则称随机区间为的置信水平(置信度)为 的置信区间(区间估计)，
简称为 的 置信区间，分别成为置信下限和置信上限
正态总体参数的区间估计
假设检验
假设检验
假设检验
小概率原理
原假设与备择假设
两类错误
第一类：弃真错误
第二类：存伪错误
显著性检验
拒绝域
正态分布
t 分布
分布
分布
检验水平
在假设检验中允许犯第一类错误的概率，记为称 为检验水平
其表示对 弃真的程度，一般 取 等
其表示对 弃真的程度，一般 取 等
显著性检验
只控制第一类错误概率 的统计检验
一般步骤
根据问题提出原假设
给出显著性水平
确定检验统计量以及拒绝域形式
按犯第一类错误的概率等于 求出拒绝域
根据样本值计算检验统计量 的观测值 当 时，拒绝原假设 成立；否则，接受原假设
前置
条件关系
充要条件
充要条件
集合关系
二项式性质
随机事件及概率
概念
随机实验
相同条件，实验可重复进行
所有可能结果已知
实验具体结果未知
样本点
样本空间
事件
类型
随机事件
必然事件
不可能事件
事件关系
子事件
子集合关系【吸收律】
子事件
相等
并事件
交事件
差事件
互斥事件
对立事件
事件运算
交换律
结合律
吸收率
分配律
德摩根定理【对偶率】
事件表示
假设表示
设事件A表示为...
设事件A表示为...
表示事件/表示变量
设A某某事件"由i次发生",【条件概率】记某某事件A发生次数为X【概型】
设A某某事件"由i次发生",【条件概率】记某某事件A发生次数为X【概型】
集合表示某事件
概率
公理
非负性
规范性
可列可加性
性质/公式
规范性/非负性
两两互不相容事件可加【可列可加性】
求逆公式【对立事件】
减法公式【差事件】
加法公式【容斥定义】
三事件加法【三容斥】
吸收率
德摩根定律
概率不等式
概率与事件关系
概型
古典概型
定义
有限样本点，且样本点发生可能性相同
有限样本点，且样本点发生可能性相同
公式
推论【N件产品有M件次品，取n件，恰有k件次品概率】
加法/乘法原理
加法即独立方法
乘法即步骤顺序
排列/组和
排列
组合
阶乘
几何概型
定义
样本空间中无限样本点构成的几何区域(长度、面积、体积等)，且样本点等可能发生
样本空间中无限样本点构成的几何区域(长度、面积、体积等)，且样本点等可能发生
公式
条件概率/乘法公式
定义
已知A发生条件下B发生的概率，记为P(B|A)
已知A发生条件下B发生的概率，记为P(B|A)
公式
常用性质【前提P(B)>0】
[0,1]范围
规范性
求逆
注意: 不是
加法公式【容斥性】
减法公式
如果A,B独立
可列可加性
乘法公式
全概率公式/贝叶斯公式
全概率公式【无数现实之和=真理】
贝叶斯公式【已知结果求路径概率】
结论【抓阄原理】
完备事件组
伯努利概型
定义
n重伯努利实验
事件独立性
定义
独立定义
互斥定义
重要结论
与 独立，则 与 对立， 与 对立， 与 ，均相互独立
概率为 0 的事件以及概率为 1 的事件与任一事件均相互独立
独立条件下，条件概率只与子事件有关
A,B,C 两两独立
A,B,C 相互独立
设有 n(n>=2) 个随机事件 A1,...,Am ,如果对其中任 k 个，均有
事件独立性标志
"互不干扰"，"互不影响","有放回取球"
"互不干扰"，"互不影响","有放回取球"
独立互斥关系
没有直接联系
独立重复实验
独立重复实验，"第n次实验刚好是事件第k次发生"
一维随机变量及其分布
随机变量
定义
事件表示
分布函数
定义
性质
域 / 规范性
单增
右连续
计算
基本公式
反函数
复合运算
分布函数的线性组合仍为分布函数【系数和为1，保证概率规范性】
分布函数的乘积
密度函数的复合运算
经典错误
离散型随机变量
定义
概率分布 / 分布律
表格形式
公式形式
分布律性质
常见类型
0-1分布
二项分布 Binomial Distribution
泊松分布 Poisson Distribution
泊松定理
条件
推理记忆
级数
期望
高数结论【级数】
几何分布
超几何分布
连续型随机变量
定义
连续性
分布函数不连续的随机变量，一定不是连续性随机变量
分布函数不连续的随机变量，一定不是连续性随机变量
概率密度性质
非负性
规范性
概率密度为偶函数
f(x)连续点处
分布函数
概率为0【极限】事件未必为不可能事件，但不可能事件概率必定为0
事件端点不会影响区间概率【注意与离散型随机变量之间的区分】
常见类型
均匀分布 Uniform Distribution
概率密度
分布函数
对称轴
区间概率
指数分布 Exponential Distribution
概率密度
分布函数
证明:
假设分布函数
化简为
求解
无记忆性【区间长度相等概率相同】
正态分布 normal distribution
密度函数
分布函数
性质
标准态分布
概率密度
分布函数
分布函数关于X=0对称
利用标准正态分布求解
概率区间标准化求解
图形性质
对称轴
对称性
离散程度
越小，分布越集中，图越高越瘦，反之越分散，又矮又胖
越小，分布越集中，图越高越瘦，反之越分散，又矮又胖
标准正态
即位于U_α 右侧概率面积为 α
复合变量【原理：方差和均值公式】
高数结论
随机变量函数分布
离散型
利用分布律求解
连续型
公式法
定义法
通用型
分布函数的线性组合仍为分布函数【系数和为1，保证概率规范性】
分布函数的乘积
密度函数的复合运算
常见题型
练习
分布函数/概率密度基本概念
分布中待定参数求解
一维连续型随机变量
常见分布
函数的分布
真题
二维随机变量及其分布
定义
n 维随机向量
【(X,Y)的联合分布函数】
边缘分布
条件分布
性质
边界 / 规范性
单调性
右连续
面积差分公式
离散型随机变量
概率(联合)分布律
性质
书写格式
矩阵法
枚举法
边缘分布律
性质
条件分布律
连续性随机变量
联合分布函数
联合概率密度
非负性
规范性
连续点处概率密度 = 分布函数二阶混合偏导
计算
设 D 为 xOy 平面区域，则点 (X,Y) 落在点 D 内的概率
边缘密度函数
求X边缘密度，把X=x，对于的 y 积分成一根线的密度
求Y边缘密度，把Y=y，对于的 x 积分成一根线的密度
条件概率密度
性质
非负性
规范性
随机变量独立性
定义
结论
判断
求出对应X,Y的边缘分布，再通过定义【充要条件】，进行判断
二维均匀分布
概率密度
二维正态分布
公式不需要记，但是要知道其对应的 期望/方差性质
正态分布
（X，Y）的正态分布性质
（X,Y）二维正态则X,Y均正态
(X,Y) 正态，当,则 (aX+bY,cX+dY) 也正态
(X,Y) 正态 ，对任意常数 a 与 b, 时，aX+bY 必正态
X,Y均正态且独立，则
简单函数分布
二维离散型
泊松分布
二项分布
二维连续型
分布函数法
分布函数
概率密度
公式法
当 X,Y 独立时
独立同分布
多维独立随机变量
X,Y 独立同分布时
指数独立同分布 X,Y ~ E(λ)
多维独立随机变量
指数分布
X 和 Y 相互独立时【卷积公式】
正态分布
随机变量相互独立
题型
练习
求分布函数的参数
已知X,Y的分布律，以及某关系，求其联合分布律
真题
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