概率论与数理统计
2022-03-11 16:21:42 39 举报AI智能生成
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作者其他创作
大纲/内容
数学
排列和组合
排列数公式
组合数公式
特别的，0!= 1，任何数的0次方= 1
极限
特别的
导数
基本公式
导数的四则运算
积分
微分
df(x) = f'(x)dx
不定积分
性质
公式
定积分
例题
公式
变上限积分
公式
第一章
随机事件
和事件P(A∪B)
表示A和B其中有一个发生
A⊂A∪B B⊂A∪B
若A⊂B 则 A∪B = B
P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
当AB互不相容时: P(A∪B) = P(A) + P(B)
当AB相互独立时: P(A∪B) = 1-P(非A)P(非B)
积事件 P(A∩B) 也可以写作P(AB)
表示A和B同时发生,
AB⊂A , AB⊂B
若A⊂B 则 AB = A
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
P(A!B) = P(A) - P(AB)
AB相互独立的情况下: P(AB) = P(A)P(B)
差事件 P(A-B)
表示A发生且B不发生d
A-B⊂A
若A⊂B 则 A-B = Ø
P(A - B) = P(A) - P(AB)
当B⊂A时 P（A -B） = P(A) - P(B)
互不相容
表示事件A和事件B不能同时发生
P(AB)= Ø
对立事件
称事件"A不发生"为事件A的对立事件 记作!A
!Ω = Ø
A-B = A!B = A-AB
若A和B为对立事件,则A和B互不相容。但A和B互不相容不一定是对立事件
运算
交换律
A∪B = B∪A
A∩B = B∩A
结合律
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
分配律
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
对偶律
!(A∪B) = !A!B
!(AB) = !A∪!B
概率
古典概型
基本事件的总数是有限的，每个事件发生的概率相同
P(A) = A包含的基本事件的个数/基本事件的总数
条件概率
条件概率
求B发生的情况下，A发生的概率 记作 P(A|B）
P (A|B)=P(AB) / P(B)
A,B相互独立的情况下，P (A|B) = P(A)，P (B|A) = P(B)
全概率公式
例如：走A路到公司迟到的概率是0.1，走B路到公司迟到的概率是0.2 求迟到的概率，此时可以使用全概率公式
全概率公式
贝叶斯公式
贝叶斯公式用于解决,根据已经发生的概率求前面发生的概率
已知B的概率求A发生的概率, P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
例题
事件的独立性
独立事件
若ABC独立，必有ABC两两独立
若ABC两两独立,不一定有ABC独立
伯努利概型
求n次独立实验中重复发生了k次的概率
公式
第二章
随机变量
随机变量的概念:设某个事件发生的概率为X，例如摇骰子在不使用随机变量的情况下,需要记为事件A,事件B,事件C.....,在引用随机变量以后可以表示为x1,x2,x3,x4,x5,x6
离散型随机变量
概念：可以在某一个点取固定值的变量可记为离散型随机变量
离散型随机变量的分布律
分布律用于表示变量X在每一个点的概率，所有X概率之和为1
分布律的表示法
离散型随机变量的分布函数
设X为随机变量, 称函数F(x) = P(X<=x) 为X的分布函数
注意小于等于在左边,从0开始到1结束
0-1分布
一个事件只有2种结果,如扔硬币,随机变量只有2个取值称之为0-1分布
二项分布 X~B(n,p)
二项分布X取值为0到N,记为X~B(n,p)
二项分布
例题
泊松分布 X~p(入)
定义 如果二项分布的K很大,P很小,则可以使用泊松分布
二维随机变量
分布函数
F(x,y) = p{X<=x,Y<=y}
分布律
例题
例题
例题
例题
边缘分布律
边缘分布律的含义和计算
x的边缘分布律写作,P(x=n),y的边缘分布律写作p(y=n)
独立性
例题
例题
函数的分布
离散型随机变量的期望
公式
期望的公式2
期望的公式
例题
边缘分布律期望例题
离散型随机变量函数的期望例题
离散型随机变量的方差
方差公式
方差公式
协方差和相关系数
公式
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Pxy = Cov(X,Y)/ 根号D(X) 根号D(Y)
性质
连续型随机变量
概率密度和分布函数
正态分布
公式
一般形式
标准形式
转换
例题
例题
例题2
均匀分布
X~U(a,b)
公式
例题
指数分布
公式
数理统计
中心极限定理
x-μ/ σ = n~(0,1)
X~N(E(X),D(X))
Φ(-x) = 1-Φ(x)
E(S^) = σ^
X逆 ~ (μ,σ^/n ) ~ N(0,1)
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