线性代数
2022-03-30 19:50:28 27 举报AI智能生成
线性代数
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大纲/内容
行列式
行列式的计算：将某一行或某一列进行变换使得只有一个元素不为零
然后降阶，至于前面的正负号根据（-1）的i+j次方确定
然后降阶，至于前面的正负号根据（-1）的i+j次方确定
克莱姆法则
使用条件：1.未知数个数等于方程个数
系数构成的行列式不为零，也就是只有唯一解
系数构成的行列式不为零，也就是只有唯一解
n维向量
向量组线性相关和线性无关：
如果k1,k2,k3...kn都为零则为线性无关，只要有一个不为零则为线性相关
如果k1,k2,k3...kn都为零则为线性无关，只要有一个不为零则为线性相关
向量组的秩
定义：最大线性无关组中向量的个数
求解：向量组作为列向量构成矩阵，将矩阵进行初等行变换求秩
向量空间
对加法和数乘两种运算封闭
矩阵
矩阵的运算
加法，数乘，
矩阵的乘法
第一个矩阵的行，乘以第二个矩阵的列，对应元素相乘再相加
矩阵乘法不满足交换律，两边也不能抵消，即AB=AC并不能得到B=C
逆矩阵满足A*A逆=E（E为单位矩阵）
存在逆矩阵的充要条件：矩阵的行列式不为零
逆矩阵的求解
法一：求其伴随矩阵，然后伴随矩阵除以原矩阵的行列式
法二：将原矩阵和单位矩阵联合A:E,对矩阵进行矩阵的初等行变换得到单位矩阵的同时，右边单位矩阵
E则变换为其逆矩阵
E则变换为其逆矩阵
分块矩阵
如果两个矩阵原本能相乘，两个矩阵都进行了分块，如果二者的分块方式相同则两个分块矩阵可以相乘
即A的列的分法和B行的分法相同
即A的列的分法和B行的分法相同
矩阵的秩
求法：将矩阵进行初等行变换化成阶梯型矩阵，或者最简形矩阵，行列式不为零的余子式的阶数即为矩阵的秩
矩阵的初等变换
三种：交换两行或者两列
某行（列）乘以个常数
某行（列）乘以一个常数后加到另一行（列）中
某行（列）乘以个常数
某行（列）乘以一个常数后加到另一行（列）中
线性方程组
齐次方程
一定有解，要看是否有非零解或说无穷解看矩阵的秩R<n则无穷解，=n则只有零解
若有·无穷解解向量的个数=n-R
非齐次方程
列出增广矩阵，求增广矩阵的秩R1和系数矩阵的秩R2，如果R1<R2则无解
R1=R2=n，有唯一解
R1=R2<n有无穷解
R1=R2=n，有唯一解
R1=R2<n有无穷解
如果有无穷解：其完整解=齐次解+特解
求解步骤：列出增广矩阵，将增广矩阵进行初等行变换化成最简形矩阵，可以列出同解的方程组，根据方程组可以得到特解，
求解向量，解向量的个数=n-系数矩阵的秩R1，从而得到基础解系，得到齐次解
齐次解+特解
求解向量，解向量的个数=n-系数矩阵的秩R1，从而得到基础解系，得到齐次解
齐次解+特解
相似矩阵及二次型
关于Ax向量=b向量的理解
x向量经过矩阵A的作用变得到了b向量，因此可以看成x向量到b向量是一个映射或者变换
矩阵A相当于一个变换使得向量x映射成b向量
这种变换分为两部分，旋转和拉伸
矩阵A相当于一个变换使得向量x映射成b向量
这种变换分为两部分，旋转和拉伸
特别的，当某些特殊向量经过矩阵A的作用之后，没有旋转，只进行了拉伸λ倍，这样的向量成为特征向量
拉升的倍数即为特征值λ，此时向量b=λx向量
拉升的倍数即为特征值λ，此时向量b=λx向量
特征值和特征向量
求法：|λE-A|，得到λ的方程，解方程得到特征值
将特征值带进去原方程解x即为特征向量
将特征值带进去原方程解x即为特征向量
相似矩阵
相似矩阵具有相同的特征值
矩阵的对角化
充要条件：n阶方阵矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
对角化：先求特征值，再带进去原方程求解特征向量，将则n个特征向量作为列向量组成相似矩阵矩阵p,特征值构成对角矩阵的主对角线的元素
对角化后求解矩阵A的高次幂就好方便，比如求n次幂，P*对角矩阵的n次幂*P的逆矩阵
向量空间与线性变换
向量空间或说线性空间对加法和数乘运算封闭
基
当一组线性无关的向量的个数与线性空间的维数相同，则这组向量组为该线性空间的基
一个线性空间的基不唯一
一个线性空间的基不唯一
由线性空间的基表示这个线性空间，也就可以表示该线性空间的所有向量
将一组基正交化，在单位化就得到了正交规范基
基变换和坐标变换
线性空间在同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的，
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