高数2-3章
2025-01-11 12:36:25 2 举报AI智能生成
同济版高等数学
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大纲/内容
第一章
Subtopic
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第二章 导数与微分
第一节 导数概念
定义
可导
Δy/Δx当Δx→0时的极限存在
导数
这个极限
导函数
定义式为f '(x)=（h→0）lim
单侧导数
闭区间可导：开区间可导，且左导数右导数均存在
求导数
泰勒公式
巧妙提出
不忘自变量时h
常见等价无穷小
（1+t）ⁿ-1~nt
eⁿ-1~n
ln（1+u）~u
lim有界*无穷小=0
几何意义
切线
法线
可导性与连续性的关系
可导一定连续，连续不一定可导
y=3√￣x在x=0时导数为无穷大即不存在
y=√￣x²在x=0时没有切线
第二节 函数的求导法则
和差积商
乘法时，加一项减一项
反函数
反函数的导函数=原函数导函数的倒数
复合函数
f '(u)g'(x)
常见导数公式
补充三角函数知识
sec x
正割含数的值，其值等于 1/cos x
正割含数的值，其值等于 1/cos x
csc x
余割函数的值，其值等于 1/sin x
余割函数的值，其值等于 1/sin x
cot x
余切函数的值或 cos x/sin x
余切函数的值或 cos x/sin x
公式
tan x
sec ²x
sec x
sec xtan x
cot x
-csc ²x
csc x
-csc xcotx
arcsin x
1/√￣(1-x²)
arccos x
-1/√￣(1-x²)
arctan x
1/(1+x²)
arccot x
-1/(1+x²)
第三节 高阶导数
eᕽ
eᕽ
sin x
sin(x+n•π/2）
cos x
cos(x+n•π/2）
ln（1+x）
规定0！=1
（-1）ⁿ▔¹•（n-1）！/(1+x）ⁿ
幂函数
t>=n
系数t（t-1)…（t-n+1)
指数t-n
t<n
0
加减
加减
乘除
莱布尼兹公式
二项式定理；k次幂换成k阶导数；0阶导数理解为函数本身
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数的导数
隐函数的显化
变为显函数
取对数
指数中有x时
分式上下都有x时
由参数方程所确定的函数的导数
参数方程x=φ(t);y=ψ(t)
一阶导数
ψ'(t)/φ'(t)
二阶导数
（ψ'(t)/φ'(t)）'/φ'(t)
相关变化率
对一个隐函数两边同时对第三个变量求导
第五节 函数的微分
微分的定义
可微
△y=f'(x。）△x+o（△x）可以这样表示时
可微↔可导
微分
dy=f'(x。）△x
当|△x|→0时，△y≈dy
注意
dx是x的微分，Δx是x的改变量。一般两者不等。前者是后者的线性主部。但对自变量而言，因为x对x的导数恒等于1，两者相等。反之，两者相等的也只有自变量。
导数也叫微商
几何意义
PQ=dy；NP=△y
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
后面加上dx
微分在近似计算中的应用
函数 |△x|→0
切线近似代替曲线
近似值
近似公式
和等价无穷小差不多
误差估计
绝对误差/|a|
相对误差
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
罗尔定理
费马引理
x。邻域内f（x。）为最值时，f'(x。）=0
导数=0的点为函数的驻点|稳定点|临界点
罗尔定理
闭区间连续，开区间可导，端点值相等，有ξ使得f'(ξ)=0
拉格朗日中值定理
闭区间连续，开区间可导，有ξ使得f（a）-f（b）=f'(ξ)(b-a)
导出：常数的导数恒为零
逆命题：导数恒为零则为常数
应用：证明不等式
柯西中值定理
f/F
第二节 洛必达法则
0/0和∞/∞
其它的转化成上面
第三节 泰勒公式
n次泰勒多项式
n阶泰勒公式
x。
n阶麦克劳林公式
0
余项
佩亚诺余项
。（（x-x。）ⁿ）
拉格朗日余项
对ξ的n+1阶导数*(x-x。）的n+1次方/(n+1)!
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
单调性
导数与0
凹凸性与拐点
凹凸定义
二阶导数
＞0凹的
＜0凸的
拐点
凹凸性发生改变
第五节 函数的极值与最大值最小值
极值
必要条件
第一充分条件
一阶导正负号
第二充分条件
二阶导与0
最大值与最小值
第六节 函数图形的描绘
确定定义域
导数和二次导数的零点
确定单调性和凹凸性
确定无穷时的极限
确定特殊位置的函数值
第七节 曲率
弧微分公式
平均曲率
曲率
近似计算公式
圆的曲率公式
曲率圆
曲率中心：圆心D（α+β）
在对应点x，y时，D的坐标为
曲率半径：ρ=1/K
第八节 方程的近似解
二分法
取中点
切线法
取区间端点的切线与x轴的交点
割线法
将切线法中的斜率f'(x)换割线
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