人教版高一数学必修一A版第一章
2021-12-16 17:23:09 2 举报
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最新版(2019年)人教版高中数学A版必修一第一章知识点
作者其他创作
大纲/内容
符号含义
概念
要点
的逻辑
一、充分条件与必要条件 充要条件的概念
命题p与命题q的关系
从逻辑推理关系看
集合与集合的关系
从集合与集合间的关系看
充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:
①确定哪是条件,哪是结论;
②尝试用条件推结论,
③再尝试用结论推条件,
④最后判断条件是结论的什么条件.
要点诠释:
做此类题的时候,专注一个逻辑关系,比如,先只看命题p是否是命题q的充分条件,确定之后,再看是否是必要条件。将问题简单化,莫要复杂化。
解题方法:
二、充分条件、必要条件与充要条件的判断
要证明命题的条件是结论的充要条件,既要证明条件的充分性(即证原命题成立),又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)
对于命题“若p,则q”①如果p是q的充分条件,则原命题“若p,则q”与其逆否命题“若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
小范围可以推出大范围
大范围推不出小范围
做题技巧:
三、充要条件的证明
定义法
集合法
大范围与小范围
例题一
此类题,要理清楚谁是谁的充分条件或必要条件
【条件 的一个必要不充分条件 】可以转化为 【“选项”推不出“条件”,并且 “条件”可以推出选项】
【条件 的一个充分不必要条件 】可以转化为 【“选项”可以推出“条件”,并且 “条件”不可以推出选项】
例题二
类型一:充分条件、必要条件、充要条件的判定
与全称量词和存在量词的组合,要将情况考虑全面
例题三
分类讨论,充分性证明,若p是真命题,证明q也是真命题;必要性证明,若q是真命题,证明p也是真命题
1)定义法
对于命题“若p,则q”
①如果p是q的充分条件,则原命题“若p,则q”与其逆否命题“若span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
②如果p是q的必要条件,则其逆命题“若q,则p”与其否命题“若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
③如果p是q的充要条件,则四种命题均为真命题.
例题
2)等价法
3)利用集合间的包含关系判断,若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
判断命题的充要关系有三种方法
类型二:充要条件的探求与证明
解决参数的取值范围问题,应尽量运用集合法求解,即先化简集合A、B,再由它们的因果关系,得到A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,解之即可.
例题1
例题2
类型三:充要条件的应用
四、典型题型
1.4 充分条件与必要条件
全称量词
存在量词
答案为B
全称量词与存在量词
或且非
一、全称命题与存在命题的概念
否定形式
常见量词的否定
命题的否定与否命题
二、全称命题与存在命题的否定形式
有全称量词的命题问题
全称命题:恒成立问题
有存在量词的命题问题
存在命题:存在性问题
参变分离总结
参变分离实例1
参变分离实例2
参变分离
对于熟悉函数图像的函数
图像法
函数单调性
定义域内值域的最大值最小值
最值分析
参数问题的基本方法
三、全称命题与存在命题含参
原命题、逆命题、否命题、逆否命题
四、四种命题及其关系
1.5 全称量词与存在量词
把研究的对象统称为元素
把一些元素组成的总体叫做集合
元素一般用小写字母a,b,c表示,集合一般用大写字母 A,B,C表示
只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。
集合的概念
典例1:下列研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.(1)小于5的自然数;(2)某班所有个子高的同学;(3)不等式2x+1>7的整数解.分析:根据集合元素的确定性,互异性进行判断即可.解答:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合.为{0,1,2,3,4}.(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合.(3)由2x+1>7得x>3,因为x为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x|x>3,且x∈Z}.
典例2:下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)}N={3,2} B.M={(x,y)|x+y=1}N={y|x+y=1}C.M={(4,5)}N={(5,4)} D.M={2,1}N={1,2}分析:利用集合的三个性质及其定义,对A、B、C、D四个选项进行一一判断.
用于判断是否构成集合
集合中的元素具有确定性、互异性、无序性
确定性:集合中的元素是确定的,即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素,两种情况必居其一且仅居其一,不会模棱两可,例如“著名科学家”,“与2接近的数”等都不能组成一个集合.
确定性
互异性:一个给定的集合中,元素互不相同,就是在同一集合中不能出现相同的元素.例如不能写成{1,1,2},应写成{1,2}.
互异性
无序性:集合中的元素,不分先后,没有如何顺序.例如{1,2,3}与{3,2,1}是相同的集合,也是相等的两个集合.
无序性
集合的特征
典例1:已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}.求证:(1)3∈A; (2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.分析:(1)根据集合中元素的特性,判断3是否满足即可;(2)用反证法,假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数;两奇数的积仍为奇数得出矛盾,从而证明要证的结论.解答:解:(1)∵3=22-12,3∈A;(2)设4k-2∈A,则存在m,n∈Z,使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)成立,1、当m,n同奇或同偶时,m-n,m+n均为偶数,∴(m-n)(m+n)为4的倍数,与4k-2不是4的倍数矛盾.2、当m,n一奇,一偶时,m-n,m+n均为奇数,∴(m-n)(m+n)为奇数,与4k-2是偶数矛盾.综上4k-2∉A.
题型一:验证元素是否是集合的元素
典例2:已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求实数a的值.分析:通过3是集合A的元素,直接利用a+2与2a2+a=3,求出a的值,验证集合A中元素不重复即可.
题型二:已知元素是集合的元素,根据集合的属性求出相关的参数.
对象a与集合M的关系是,两者必居其一.
集合与元素的关系
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合
常用于表示有限集合
列举法
集合M={x|x>1}
{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.
常用于表示无限集合
描述法
span style=\
韦恩图法
为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合.
图示法
区间法
典例:下面三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},请说说它们各自代表的含义.分析:根据集合的代表元素,确定集合元素的性质,A为数集,B为数集,C为点集.解答:A是数集,是以函数的定义域构成集合,且A=R;B是数集,是由函数的值域构成,且B={y|y≥1};C为点集,是由抛物线y=x2+1上的点构成.
{x|2x-1>0}表示实数x的范围;{(x,y)|y-2x=0}表示方程的解或点的坐标.
题型:集合表示的含义,主要是数集与点集的区别
集合的表示方法:
有理数集合:Q
实数集合:R
整数集合:Z
自然数集:N
正整数集合:
常见集合
含有有限个数元素的集合
有限集
含有无限个数元素的集合
无限集
定义:不含任何元素的集合称为空集.记作∅.
空集不是没有;它是内部没有元素的集合,而集合是存在的.将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助;袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的.
性质:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
在解答与空集有关的问题时,遵循”空集优先的原则”
空集
集合的分类
1.1 集合的概念
子集定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集(subset)。
子集
记作:A⊆B(或B⊇A)
反身性:A⊆A
传递性:如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C
关于子集有两个性质
真子集定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且元素x不属于集合A,我们称集合A是集合B的真子集
真子集
记作:A⫋B(或B⫌A)
注:①空集是所有集合的子集;②所有集合都是其本身的子集; ③空集是任何非空集合的真子集
注意真子集和子集的区别
若集合A有个元素,则集合A的子集个数为,且有个真子集,个非空真子集。
子集个数的求法,空集与自身是不可忽视的
集合相等
A⊆B,并且B⊆A时,有A=B
1.2 集合间的基本关系
自然语言:由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集,记作A∩B
符号语言:A∩B={x|x∈A,且x∈B}
图形语言:
A∩B实际理解为:x是A且是B中的相同的所有元素
当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集
理解
①A∩B=B∩A.
②A∩∅=∅.
③A∩A=A.
④A∩B⊆A,A∩B⊆B.
⑤A∩B=A⇔A⊆B.
⑥A∩B=∅,两个集合没有相同元素.
⑦A∩()=∅.
⑧
交集的性质
解答交集问题,需要注意交集中:“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;求交集的方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、韦恩图.
解题方法
交集
自然语言:由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集,记作A∪B
符号语言:A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∪B实际理解为:①x仅是A中元素;②x仅是B中的元素;③x是A且是B中的元素
理解:
①A∪B=B∪A.
②A∪∅=A.
③A∪A=A.
④A∪B⊇A,A∪B⊇B.
⑤A∪B=B⇔A⊆B.
⑥A∪B=∅,两个集合都是空集.
⑦A∪()=U.
⑧=
并集的性质
解答并集问题,需要注意并集中:“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;注意并集中元素的互异性.不能重复
并集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.(通常把给定的集合作为全集).全集是相对概念,元素个数可以是有限的,也可以是无限的.例如{1,2};R;Q等等.
全集的概念
自然语言:对于一个集合A,由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于集合U的补集,记作
符号语言:=
补集
补集的性质
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答,补集常用于对立事件,否命题,反证法.
补集的概念
交集并集补集
集合交换律 A∩B=B∩A,A∪B=B∪A.
集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C).
集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
集合的摩根律 .
集合吸收律 A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A.
集合求补律 .
交并补混合运算
表格
1.3 集合的基本运算
第一章 集合与常用逻辑用语
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