人教版高一数学必修一A版第一章

定义法

集合法

大范围与小范围

此类题，要理清楚谁是谁的充分条件或必要条件

【条件 的一个必要不充分条件 】可以转化为 【“选项”推不出“条件”，并且 “条件”可以推出选项】

【条件 的一个充分不必要条件 】可以转化为 【“选项”可以推出“条件”，并且 “条件”不可以推出选项】

1）定义法

2）等价法

3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.

参变分离总结

参变分离实例1

参变分离实例2

对于熟悉函数图像的函数

函数单调性

定义域内值域的最大值最小值

典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．
（1）小于5的自然数；
（2）某班所有个子高的同学；
（3）不等式2x+1＞7的整数解．
分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．
解答：（1）小于5的自然数为0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．
（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．
（3）由2x+1＞7得x＞3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．

典例2：下列集合中表示同一集合的是（  ）
A．M={（3，2）}N={3，2}       B．M={（x，y）|x+y=1}N={y|x+y=1}
C．M={（4，5）}N={（5，4）}   D．M={2，1}N={1，2}
分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．

典例1：已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；    
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2∉A．

典例2：已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a=3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．

集合A={0,1,2}

集合M={x|x>1}

数轴表示法

韦恩图法

A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

①A∩B=B∩A．

②A∩∅=∅．

③A∩A=A．

④A∩B⊆A，A∩B⊆B．

⑤A∩B=A⇔A⊆B．

⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．

⑦A∩（）=∅．

⑧

解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素

①A∪B=B∪A．

②A∪∅=A．

③A∪A=A．

④A∪B⊇A，A∪B⊇B．

⑤A∪B=B⇔A⊆B．

⑥A∪B=∅，两个集合都是空集．

⑦A∪（）=U．

⑧=

解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．

自然语言：对于一个集合A，由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于集合U的补集，记作

符号语言：=

图形语言：

补集的性质

解题方法