数学文化
2021-12-02 21:16:35 19 举报AI智能生成
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大纲/内容
关于“数学文化”课
“数学文化”一词的使用
在2003年中华人民共和国教育部颁布的《普通高中数学课程标准》（实验）官方文件中使用
“数学文化”课的内涵
简单说，指的是数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成与发展；广泛些说，除上述内涵以外，还包括数学家、数学史、数学美、数学发展的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。
重视与提高数学素养
“数学”定位和认识
数学方式的理性思维模式、数学文化和数学素养
数学素养
主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质
熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想方法
具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法
对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法
善于对现实世界中的现象和过程进行合理地简化和量化，建立数学模型
用人单位对“数学素养”的重视
在工作中、面试的时候，都很重视数学素养
着力提高数学素养
在学习和实践中培养，注重掌握数学定理、数学公式及具体的解题方法
如何学习“数学文化”课
1.内容和预备知识 2.与其他数学课的区别 3.课程中收获 4.读书报告 5.课堂演讲
概述
数学是什么
定义
没有达成共识的说法，恩格斯曾说:“数学是研究数量关系与空间形式的一门科学”
特点
抽象性、精确性和应用的广泛性
学科联系
教育、文学、史学、哲学、经济、社会学
数学发展简史
数学起源时期 - 初等数学时期 - 近代数学时期 - 现代数学时期
数学的魅力
渔网的几何规律
欧拉公式在二维时即V+F-E=1，结点数+网眼数-边数=1；把混乱的事物理出规律
任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多
利用纯存在性证明方法进行逻辑推理
圆的魅力
世界上不同地方的人都相继发明了车轮以及发现了圆周率，魅力体现在许许多多的方面
“三角形三内角之和等于180度，这个命题不好”
陈省身先生将其改为“n边形n内角之和等于360度，利用了“变中有不变”的稳定性
四色问题
由1852年英国大学生古色利提出，直到1972年美国的哈肯和阿佩尔通过3台IBM360型超高速电子计算机才证明
素数的奥秘
关于素数的规律，有些既没有被证明，也没有被否定，例如梅森素数以及一些关于素数的未解之谜
“蒲丰投针”的故事
通过偶然性问题的概率论与确定性问题的平面几何，来求圆周率π，并且是可以证明出来是正确的
体会e^iπ+1=0中的数学美
连接了数学中常用的5个重要的常数，反应各个部分很强的联系，体现了数学的“统一美”
数学的语言
及数学的应用
及数学的应用
语言
自然语言与数学语言：自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言；数学语言使科学精确化
数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言：采用相同的数学符号、共同发展的文明
特点：明晰、严谨、简洁、规范
“ε-δ”语言、集合论语言、公理化语言：在数学发展史上都发挥了很大的作用
重视数学语言的训练：重视口头表达和书面表达两种形式
应用
功利主义与实用主义的教训与经验：数学是解决实际问题的工具
数学在其他领域：数学在自然科学高技术、社会科学多方面的渗透和应用
数学的应用常常是难以预料的：如早在三、四百年研究的素数，到了20世纪以后才应用到密码学
若干数学问题
中的数学文化
中的数学文化
斐波那契数列与
黄金分割
黄金分割
兔子问题与斐波那契数列
由兔子问题推出斐波那契数列的递推公式和数列
相关的问题
跳格游戏、连分数、黄金矩形（都与斐波那契数列有关）
黄金分割
定义
把任一线段分割成两段，使大段除于全段=小段除于大段√
求此黄金比（证明）、黄金分割的尺规作图（作图）、黄金分割、黄金比的美（人体、胡夫金字塔、国旗等）
优选法
华罗庚的优选法
又称“0.618法”，用最少的实验次数找到“最佳试验点”的方法，也与斐波那契数列有关
黄金分割点的再生性和“折纸法”
已知一个黄金分割点，其余的黄金分割点也会出现，并且华罗庚先生由此设计了“折纸法”
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契协会和“斐波那契季刊”
1963年成立斐波那契协会以及出版了季刊
斐波那契生平
除了《算盘书》还有《实用几何》等四本著作
自然界中的斐波那契数
花瓣数、树杈数目
推广的斐波那契数列，卢卡斯数列
即由此构成的无穷数列
斐波那契数列的一些更深刻的性质
通项公式、分数数列
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
欧拉将哥尼斯堡七桥问题抽象为一笔画问题：笔尖不离开纸面，一笔画出给定的点线图
一笔画
“网络”和“一笔画问题”
对“网络”以及与之相关的“一笔画问题”概念的定义的阐述
网络的“连通”及“奇、偶结点”
“连通”指的是网络首先是连成一片的，且“一笔画问题”与网络结点处弧的个数有关
“一个网络是一笔画”的充分必要条件
由三条定理推出一笔画定理
多笔画定理、最短邮递路线问题
同样可抽象为一笔画问题
拓扑学
什么是拓扑学
研究图形的时候，只研究图形各部分位置的相对关系，而不考虑它们的大小和角度的几何学
欧拉公式
平面上的欧拉公式和空间中的欧拉公式、欧拉公式的证明
数学中的弱抽象与强抽象
弱抽象（又称扩张性抽象，如：正方形到菱形）、强抽象（又称强化结构式抽象，如：四边形到平行四边形）、举例
有限和无限的问题
芝诺饽论
什么是悖论
从“正确”的前提出发，经过“正确”的推理，得出矛盾或荒谬的结论
芝诺悖论
四个芝诺悖论之一：阿基米德追不上乌龟（路程是有限的，不可能是无限的）
悖论的症结：有限与无限的矛盾
芝诺悖论的意义：1.促进了精确、求证数学的发展2.较早的“反证法”及“无限”的思想3.尖锐地指出离散和连续的矛盾
“有无限个房间”的旅馆
本节就“有无限个房间”的旅馆分为三个层次提出问题并逐渐深入，“无限”均指“可数无限”，即正整数集合的无限
无线和有限的区别和联系
区别
1.在无限集中，“部分可以等于整体”2.“有限”情况下成立的许多命题，对“无限”情况不再成立
联系
1.科学归纳法 2.极限 3.无穷极数 4.递推公式（有限的表达式或步骤，表达出无限）
“无限”在生活中的反映
1.烟囱是圆的，砖是直的2.锉刀挫光滑零件，一挫挫下去是直的3.求不规则图形的面积
潜无限与实无限
潜无限与实无限简史
从古希腊到康托尔以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点，康托尔则相反
无限集合也有“大小”
凡是不能建立一一对应关系的两个集合，就认为这两个集合的“势”不相等，例如整数集和正整数集
关于“无限”的思考
哲学和数学对“无限”的思考，哲学则提高了世界一般规律的认识，数学则大大提高了人们认识无限的能力
有理数集合是可数无限集合
对遗留问题的回答、有理数集合是可数无限集、一个有趣的问题（运动员赛跑的问题）
海岸线长度的问题
问题的产生
英国的海岸线有多长？
英国科学家理查森发现许多两个相邻的国家对公共边界的测量出入很大，且出入最多达20％
科赫曲线
1904年，瑞典数学家科赫就从理论上阐述了类似的问题，他构造的曲线，叫科赫曲线，也叫雪花曲线
“自相似性”的特点
科赫曲线自身的任何一个局部，放大后都与整体非常相似
分形
客观世界的“分形”
即用于描述那种不规则的、破碎的、琐屑的特征
例子
芒德布罗集（在复平面构造出来）、康托尔三分集（奇异集合）、谢尔品斯基地毯（垫片）、佩亚诺曲线（曲线）
混沌
洛伦茨的天气预报
洛伦茨发现在用计算机模拟天气状况时，很细微的差别引起结果很大的不同
树叶在小溪中的漂流
将近乎一样的树叶放在近乎一样的溪流位置上，最后漂流的位置与方位却会有很大的不同
逻辑斯谛映射
1.生物种群数量的数学模型2.逻辑斯谛映射的定义3.初步试验的结果4.进一步思考5.结果不完全是随机的（由图）
关于混沌与分形的一些思考
混沌的特点
1.混沌是决定论系统的内在随机性2.混沌对初值的敏感依赖性
混沌的意义
1.混沌与数学危机是有区别的2.混沌是比有序更为普遍的现象（客观世界）
混沌与分形学的应用
癫痫病的治疗、对于远期天气预报的再认识、通讯中的保密
交通管理上的应用、经济理论上的应用、分形在服装设计中的应用（图案）
若干数学典故
中的数学文化
中的数学文化
历史上的三次数学危机
第一次数学危机
毕达哥拉斯学派和
他们的“万物皆数”学说
他们的“万物皆数”学说
古代希腊的数学（公元前6世纪，爱奥尼亚学派）、毕达哥拉斯（公元前500多年前的数学家）
贡献（1.数学证明的起始 2.数学抽象的提出 3.毕达哥拉斯定理）
“万物皆数”学说：1.数是世界的法则，一切可归结为整数比 2.任意两条线段a,b都是“可公度的”
√2与第一次数学危机
√2的发现和危机的产生：不能表示整数比的数、不可公度的线段、无理数
“两个量的比相等”的新定义部分地消除了危机：避开了“可公度”的新定义
数系的扩张-危机的彻底解决（两千多年后，人们发现了实数系）
第二次数学危机
危机的引发
牛顿的“无穷小量”（推导上不严谨）、贝克莱的发难、时间是检验真理的唯一标准
危机的实质
极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固
危机的解决
必要性（历史要求为微积分学说奠基）
严格的极限、实数理论的建立（19世纪，逐步建立了严格的极限理论；对以往理论的再认识）
极限的“ε-δ”定义及“贝克莱悖论”的消除（极限的“ε-δ”定义以及证明）
第三次数学危机
“数学基础”的曙光-集合论
集合论的出现使得一劳永逸地解除“数学基础”的危机
算术的集合论基础
人们按下列逻辑将全部数学的基础归结为算数，即归结为非负整数，亦即自然数集合加上0
弗雷格的《算数基础》，将全部数学建立在集合论的基础上
罗素的“集合论悖论”引发危机
悖论引起震撼和危机：罗素的集合论悖论证明，集合论存在逻辑上的矛盾
罗素悖论：“异常集合”和“正常集合”
危机的解除
分析悖论产生的原因，改造集合论，探究消除悖论的可能，将朴素集合论发展为公理集合论
三次数学危机与“无穷”的联系
人们习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时要格外地小心
田忌赛马与运筹学
中国古代的运筹典故
田忌与齐王赛马
善利用局部的牺牲去换取全局的胜利，是一个典型的博弈问题
围魏救赵、减灶之法
筹划兵力，善于集中兵力以弱胜强的运筹思想
丁谓修皇宫
是我国古代大规模工程施工组织方面运筹应用的典型例子
沈括运粮、“运筹帷幄中，决胜千里外”
分析计算以及谋略才能都是很重要的
近代运筹学的起源
军事
中国古代已有体现了丰富的运筹思想，第一次到第二次世界大战期间运筹学得到很大的发展并逐渐形成一个学科
管理
第一次世界大战就已经发展成熟的古典管理学派，对运筹学的产生和影响很大
经济学
经济学理论对运筹学的影响是与数理经济学学派紧密相联的，如魁奈、瓦尔拉斯
运筹学的性质和特点
性质
1.运筹学是普遍的科学 2.强调以量化为基础 3.依靠多学科的交叉 4.强调“整体最优”
特点
1.目的性 2.系统性 3.有效性 4.科学性 5.参谋性
运筹学在管理领域的应用范围
生产计划、市场营销、库存管理、运输问题、人事管理、财务与会计、其他
运筹学的分支
线性规划、非线性计划、图论
线性计划最成熟的、非线性计划不能用一次函数简单表示、图论则是古老又活跃
决策论、博弈论、排队论
决策是选择最优、博弈则是在竞争中找合理、排队论则是研究系统随机聚散现象的理论
可靠性理论、搜索论
可靠性理论是研究系统故障以提高系统可靠性、搜索即是如何设计搜索的方案，并加以实施的理论
现代运筹学实例
囚徒困境问题
1.囚徒困境问题（策略的选择）2.类似的问题:商家价格战（垄断行为不会持续太久）3.纳什均衡（零和博弈）
俾斯麦海的海空对抗
1.相关背景资料 2.局势估计 3.数学模型 4.求解分析（从最坏处着想，去争取最好的结果）
中美贸易战
1.相关背景资料 2.数学模型 3.实际结果（非零和博弈）
层次分析法应用实例
市中心商场修街道的问题
韩信点兵与中国剩余定理
“韩信点兵”的故事和
《孙子算经》中的题目
《孙子算经》中的题目
“韩信点兵”的故事
记录最后一排士兵的人数，由此求得总人数
《孙子算经》中的题目
题目给出的条件，是通过给定作除法时的余数，求得总数
问题的解答
从另一个问题入手
利用筛选和公倍数法求得结果
《孙子算经》中“有物不知其数”问题的解答
结合实际问题，解是唯一的
中国剩余定理
18世纪欧洲的数学家高斯和欧拉在《数学九章》中发现“物不知数”的方法，被称为“中国剩余定理”
有趣的应用
利用中国剩余定理可以使得锁和钥匙进行一一相配，算出哪把钥匙配哪把锁
希尔伯特和他的23个问题
希尔伯特的23个问题
1900年在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特提出了23个问题
适当的问题对科学发展的价值
1.有问题的学科才有生命力 2.提出一个“好的问题”是不容易的（长达8个月的思考）
3.“好的问题”的标准（清晰易懂、难而又可解决、对学科发展有重大推动意义） 4.好的问题举例
“希尔伯特问题”解决的现状
极大推动了许多数学分支的发展：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论等等
希尔伯特的人品
第一次世界大战拒绝在“宣言”上签字、为法国数学家达布写悼念文章、对女数学家诺特的支持
对康托尔集合论的支持、攻克戈丹问题中的表现
哥根廷数学的兴衰
在19世纪80年代，在希尔伯特和克莱因的影响下成为了国际数学中心，后来在法西斯的浩劫下毁于一旦
若干数学观点
中的数学文化
中的数学文化
“类比”的观点
什么是类比
类比是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在某些方面也可能相似或相同的推理方法，也是一种观点
插值问题中的类比
1.插值问题 2.类比（对每个要素分别做出一个构件，把它们凑到一起解决问题） 3.插值问题的解法
分割问题中的类比
1.问题 2.问题一般化 3.问题特殊化 4.类比3条直线分割平面的情形 5.类比得到F(4) 6.类比一般化
7.(用类比的观点)猜想 8.分析、推理 9.再类别得一般情形的公式 10.推出两个显式 11.另法：用数学归纳法证明显式
“对称”的观点
身边的对称
火车、黑板、人体、数学公式、文学、碳富勒烯等
平面图形的对称
1.在运动中看“对称” 2.从不变性看“对称” 3.抽象观点与具体例子的对照(正方形和圆)
子集的对称
1.集合上的可逆变换，子集的对称变换 2.子集的对称 3.小结
对称变换群
N的对称集S(N)叫作“N的对称变换群，由此进一步体会到“对称即群”的含义
群的定义
设G是一个带有运算“。”的非空集合，且其中的运算满足封闭率、结合律、幺元率、逆元率，则称{G;。}是一个群
“数理统计”的观点
什么是统计
统计是关于数据的科学，数据不仅限于数字，它也可能是图像或者是文字。实际上，任何信息都可以称为数据
统计与数学的区别
统计学的出发点、研究方法、评价方法是数据，归纳和好与坏；数学则是定理和公式、演绎、对与错
统计的应用
工业、经济、军事
“数学机械化”的观点
吴文俊与“数学机械化”
吴文俊因为数学机械化方面的出色工作获得邵逸夫数学科学奖
“数学机械化”就是对需要解决的问题有一个算法，按照这个算法一步步做下去，直到有限步后得到结果
数学机械化从设想到实现的历程
笛卡儿的设想、莱布尼茨的“推理机器”、希尔伯特的“机械化判定”构想
哥德尔的反面结果、塔斯基的判定法、王浩的《迈向数学机械化》、吴文俊的“几何定理机器证明”
对“吴方法”的国际评价
获两项国际大奖、“吴方法”没有走国际通用的“逻辑方法”的老路
几何定理的代数证明距离
“三角形三条高线交于一点”的证明、“莫利定理”的定理
“吴方法”的简单介绍
“吴方法”概要（代数化、机械化）、用例子解释“吴方法”
中国古代数学对数学机械化的贡献
中国传统数学的特色是构造性和算法化、机械化思想是中国古代数学的精髓
数学机械化的广泛应用
从开普勒定律推导牛顿定律、机械人与连杆机构的运动分析、曲面连接问题
数学机械化的意义和前景
脑力劳动的机械化、数学机械化促进数学的发展、数学机械化前途无量
“相容性、独立性和完全性”的观点
相容性、独立性和完全性
相容性：不允许从公理系统中推出矛盾 独立性：每一个公理不可由其他公理推出 完全性：该形式系统中所有命题都能判定“真伪”
哥德尔的不完全性定理
关于数学证明与科学证明的再认识、哥德尔第一、二定理、问题的症结仍是“自我称谓”、哥德尔的重大贡献
对数学如何“补救”
“算术相容性”被证明的启示、扩大形式系统性去“补救”、用非形式的数学方法去“补救”、数学家并未失去信心，也未停止工作
《数学：确定性的丧失》
克莱因的一本材料丰富的书、确定性并未丧失、新境界的开辟（新学科体系、新的逻辑体系的诞生）
几点反思
是否有：现有条件下不可解决的问题、对一个哲学观点的印证、数学文化的地位（认识宇宙和人类自身、没有现代数学就没有现代文化）
附录 趣味游戏
“抓三堆”游戏
“找次品”游戏
“填骨牌”游戏
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