概率论与数理统计思维导图
2021-11-29 14:07:37 0 举报AI智能生成
概率论与数理统计前两章思维导图
作者其他创作
大纲/内容
随机事件及概率
随机事件及其运算
样本空间Ω：一切可能的结果组成的集合
离散型样本空间：个数有限、可列个
连续性样本空间：个数不可列、无限个
随机事件：Ω的子集：某些结果的集合
∅：不可能事件
Ω：必然事件
基本事件：事件的结果不可再分
事件间的关系及运算
包含关系：事件A发生,事件B必然发生,记作A ⊆B
相等关系,记作A=B
互不相容：事件A与B不可能同时发生
事件的并(和)：事件A与B至少有一个发生,记住A∪B
事件的交(积)：事件A与B同时发生,记住A∩B、AB
事件的差：事件A发生而B不发生的概率，记住A-B
对立事件：事件A的对立事件，A与B互为对立事件的充要条件A∩B=∅，A∪B=Ω
交换律
A∪B=B∪A
A ∩B=B ∩A
结合律
A ∩(B∩C)=(A ∩B)∩C
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配律
A∪BC=(A∪B)∩(A∪C)
A(B∪C)=AB∪AC
对偶律
概率及运算
概率的公理化定义
非负性：P(A)>0
正则性：P(Ω)=1
可列可加性
排列与组合
排列
组合
古典概率
有限个样本
等可能性(每个样本点发生的可能性相等)
公式：p(A)=
几何概率
公式：P(A)=
样本空间无限
运算
P(∅)=0
有限可加性
若A⊇B，则P(A-B)=P(A)-P(B)推论：若A⊇B，则P(A)＞P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)推论：P(A∪B)≤P(A)+P(B)
条件概率
在条件B下A发生的概率
乘法公式：若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)
全概率公式 B1,B2....Bn互不相容
贝叶斯公式
独立性
独立事件：事件A事件B发生互不影响。P(A|B)=P(A) P(AB)=P(A)P(B)
互斥事件：P(A|B)=0 P(AB)=0
随机变量及其分布
随机变量及其分布
数学期望
离散随机变量
E(X)=
连续随机变量
E(X)=
E(aX)=aE(X)
E[g(X)]=, 在离散场合
，在连续场合
，在连续场合
E(c)=c
E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]
方差与标准差
离散随机变量
连续随机变量
离散随机变量的概率分布列
表格形式
非负性：每个概率都大于等于0
正则性：概率之和为1
连续随机变量的概率密度函数
f(x)是非负可积函数，x∈(-∞，+∞)
P(a＜X≤b)=∫(a,b)f(x)dx，记作x~f(x)
非负性：f(x)＞0，正则性：f(x)在-∞到+∞上的积分等于1
,且
P(a≤x≤b)=P(a＜x＜b)=P(a≤x＜b)=P(a＜x≤b)
离散随机变量及其分布
X~,则F(X)=
X~,则F(X)=
定义：随机变量仅可能取有限个或可列个值
0-1分布
P(X=x)=(1-)，x=0，1
二项分布
P(X=k)=
X~B(n,p)
X~B(n,p)
E(X)=np
Var(X)=np(1-p)
泊松分布
P(X=k)=,k=0,1,2,……，λ＞0，记为：X~P(λ)
E(X)=λ
Var(X)=λ
超几何分布
P(X=k)=,k=0,1,2……，r
E(X)=n
Var(X)=
几何分布
P(X=k)= ，k=1，2……
E(X)=
Var(X)=
无记忆性
连续随机变量及其分布
X~，则F(X)=
X~，则F(X)=
定义：随机变量的可能取值充满数轴上一个区间(a,b)
均匀分布
X~U(a,b)
X~U(a,b)
E(X)=
Var(X)=
正态分布
X~(μ，)
X~(μ，)
E(X)=μ
Var(X)=
指数分布
X~(λ)
X~(λ)
E(X)=
Var(X)=
无记忆性
伽马分布
贝塔分布
分布函数
概念：F(x)=P(X≤x)，记为X~F(x)，也可表示FX(x) 把X写成F的下标,x∈(-∞，+∞)
F(x)是分布函数，是累计概率，是事件{X≤x}的所有概率之和
单调性：单调递增
有界性：0≤F(x)≤1且F(-∞)=0，F(+∞)=1
右连续性：F(a+0)=F(a)
计算分布函数
离散型
“符合范围，直接相加”(0-1分布，二项分布，泊松分布)
连续型
分支主题
P(x＞b)=1-F(b)
P(a＜x≤b)=F(b)-F(a)
二维随机变量及其分布
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