函数与极限
2022-02-25 11:44:45 20 举报AI智能生成
高等数学第一章知识结构
作者其他创作
大纲/内容
无穷大与无穷小
无穷小
定义
函数极限为0
无穷小与函数极限的关系（充要条件）
无穷大
特点
极限的特殊情况
定义
类型
正无穷
负无穷
无穷大与无穷小关系
倒数关系
无穷小比较
无穷小阶数
高阶
0
低阶
无穷大
同阶
a(常数）
等价
1
度量高阶无穷小：k阶
无穷小替换
定理
常用等价无穷小
x
sin x
定理2（除法替换定律）
极限类型
0/0类型
证明提示
单位圆
其他知识
算数平均值
几何平均值
函数连续性与间断点
连续性定义
函数连续性证明
方法1
证明函数左连续且右连续
连续的意义：
f(x)在x0处有定义
f(x)在x0处极限存在
极限=f(x0)
间断点
讨论前提
f(x)在x0的去心邻域内有定义
产生原因
f(x)在x0该点无定义
分类
第一类间断点
左，右极限存在
可去间断点（左右极限相等）
跳跃间断点（左右极限不相等）
第二类间断点
震荡间断点
无穷间断点
连续函数的运算和初等函数的连续性
基本初等函数
对数函数
幂函数：
三角函数
反三角函数
定理
复合函数连续性定理
基本初等函数在定义域内连续
初等函数在定义区间内连续
反函数连续性定理
闭区间上连续函数性质
f(x)在闭区间[a,b]上连续
边界
f(x)有最大值和最小值
f(x)有界
中值
h<f(x)<g,u属于[g,h],则必存在一点c,使f(c)=u
函数极限
定义
性质
函数的唯一性
函数的局部有界性
局部保号性
函数极限与数列极限的关系
极限运算法则
四则混合运算
无穷小
推论
推论1
常数和无穷小的积是无穷小
推论2
有限个无穷小的乘积是无穷小
有界函数和无穷小的积是无穷小
两个无穷小的和是无穷小
函数
函数极限的加减乘除法则
推论
推论1
推论2
函数复合运算
复合函数的极限运算法则
数列
数列极限的加减乘除法则
比较运算
如果
极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
单增有上界
单减有下界
极限
定义
性质
运算
四则+复合
特殊极限类型
特殊
无穷大
无穷小
证明存在
连续
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