浙江省专升本考试-函数、极限与连续性
2022-04-18 19:54:32 0 举报AI智能生成
浙江省专升本考试-函数、极限与连续性
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大纲/内容
求定义域
根据函数式确定定义域所满足的不等式，然后直接通过不等式解出x的范围或根据图像求出x的范围
题型一：具体函数
1.分式分母不为零
2.偶次根下大于等于零
3.对数的真数大于零
4.任何非零实数的0次幂都为1
5.三角函数tanx,cot的定义域
6.反三角函数arcsinx，arccosx的定义域
题型二：抽象函数
方法总结：同等地位替换
1.已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域
2.已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域
注
1.不要化简函数
2.定义域结果表示成区间或集合的形式
相同函数判断
定义域（不化简）
对应法则（先化简）
函数的表达形式
1.显函数：y能由x直接表示出来
2.隐函数：y不能由x直接表示出来，而是由方程f(x,y)=0表示，考点：求导
3.分段函数：将定义域分成几部分表示一个函数,,考点：分段点处的极限、连续性、可导性
4.参数函数：y和x没有直接关系，而是由共同的参数表示， ,考点：求导
注
显函数是隐函数的一种特例，将隐函数变成显函数的过程叫隐函数的显化
几个特殊函数
1.符号函数:
对于任意实数x,都有关系成立:
2.取整函数:
[x]表示不超过x的最大整数
范围：
方法：向左取整
3.狄利克雷函数:
4.取最值函数:,
方法：求f(x)和g(x)的交点x0，以x0划分求和中f(x)和g(x)最大/最小那个函数表示
函数的特性
函数的有界性
有界性(局部概念)
若对于某区间I的所有x都有，则称在区间I上有界，否则无界。有界有上界、下界
常见有界函数：
常用规律：
函数的单调性
单调性(局部概念)
在某区间上任取
注：强调单调区间
函数的奇偶性
奇偶性
必定满足x在一个对称区间内，即定义域D关于原点对称，不然不用谈奇偶性
奇函数：，必过(0,0)
偶函数：
判断奇偶性的方法
1.定义法：偶函数
2.图像法：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称
3.对数专用法：
4.运算性质：
，同加减同=同
，同乘得偶，异乘得奇
，有偶则偶，全奇则奇
函数的周期性
周期性
在的定义域内对于任意x，恒有则称为周期函数(其中T为最小正周期)
常见周期函数
变形后仍为周期函数
1.
2.
3.
两个周期函数变形后周期公式
缩小一半T
1.有绝对值的周期函数，比如:,周期为T
2.，周期为T
复合函数
题型一:已知,求,方法：直接带入即可
分段函数，分析法
分段函数，图像法
题型二:已知，方法：1.换元法2.凑型法
题型三:复合函数求单调性f[g(x)]，口诀：同增异减
内函数和外函数单调性相同为增函数
内函数和外函数单调性相反为减函数
复合函数可以复合的条件
当且仅当
例如：
求反函数
反函数是由确定的
求反函数的步骤
1.先反解出x
解的时候观察式子有ln就用e，有不能直接
2.再x和y互换
反函数和直接函数之间的关系
1.单调性相同
2.图像关于对称
3.定义域值域互换
注
自然定义域可以不加定义域
非自然定义域要加
求反函数和复合函数必加定义域
比如结果就是
基本初等函数
1.幂函数
重点掌握：a=-1、、1、2、3
2指数函数
注
,
运算法则
3.对数函数
注
消掉ln用e，消掉e用ln
运算法则
4.三角函数与反三角函数
arcsinx与sinx
主值区间：
arccosx与cosx
主值区间：
arctanx与tanx
主值区间：
arccotx与cotx
主值区间：
常用公式
倒数关系
商关系
平方关系
诱导公式
倍角公式
,
三角降幂公式
两角和与差的三角函数公式
万能公式
和差化积
积化和差
注
初等函数（反对幂指三）在其定义域内必连续的，连续必可积
无穷小量比较
设是同一变化过程中的无穷小量，即
方法
相除求极限
等价无穷小代换
注
函数极限
极限运算法则
如果那么就有
抓大头
分子分母同时除以x的最高次项
通分、有理化约去零因子
重要公式
两个重要极限
第一重要极限
第二重要极限
适用于：
其他重要极限
等价无穷小代换
非零因子乘除可以先算
对数恒等式
拆
想要拆开算，极限必须存在
((L'Hospital)洛必达法则)洛必达
方法
分子分母各自求导
适用
或
条件
分子分母同趋向于0或无穷大
分子分母在限定的区域内是否分别可导
当两个条件都满足时，再求导并判断求导之后的极限是否存在
若存在，直接得到答案；若不存在，则说明此种未定式无法用洛必达法则解决
如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
不适用的进行转化
通过取倒数方式
通过根号通过平方差，三角函数通过恒等变形等等
通过公式
定理
函数极限的唯一性
如果极限
函数极限的局部有界性(局部)
函数极限的局部保号性(局部)
如果极限
函数极限与数列极限的关系（海涅定理）
可令
有限个无穷小之和仍为无穷小
有限个无穷小之积仍为无穷小
有界函数(有界变量)与无穷小之积仍为无穷小
不等式性
如果
夹逼定理
复合函数的求极限运算法则
必须是x趋于
注
极限不存在常见的两种形式
1.结果
2.震荡无极限，例如sinx、cosx
极限存在充要条件
左右极限存在且相等
求极限遇到这几种函数必分左右
其中线性关系
可以通过
可以通过
数列极限
数列极限求解
数列极限精确定义
对于任意给定的正数,\或
定理
极限的唯一性
数列的有界性
收敛数列的保号性
保不等式性
均是收敛数列，存在正整数N，使得当n>N时，有
迫敛性(夹逼定理)
如果数列满足
那么数列的极限存在，且
数列求极限工具
四则运算法则
若与均是收敛数列，则
单调有界定理
单调有界数列必有极限（单调递增有上界必有极限；单调递减有下界必有极限）
子列
若，则数列称为
数列敛散性判断工具
抓大头
注
数列极限不能直接使用洛必达法则，必须使用海涅定理
海涅定理（一般）
例题
数列极限和函数极限
区别
数列极限
函数极限
做极限题目思路
是否分必分左右极限
必分
分左右极限算再合并
不分
1.常/为定式
未定式
2.化简
约分(约公因子)
通分(分式相减)
有理化(根式相减)
此处的根式可以考虑使用拉格朗日中值定理和夹逼定理解决
拉格朗日+夹逼定理
拉格朗日+判定等价
、
转化
特别注意
渐近线
垂直渐近线(垂直x轴，一般怀疑分母为0的点)
水平渐近线(平行于x轴的渐近线)
y=b为一条水平渐近线
注：水平与斜在相同过程下不共存
斜渐近线(一般渐近线)
注：水平与斜在相同过程下不共存
函数连续性判断
考点
1.区间连续
考定义域
给一个函数在起定义域上连续求其中含着的a、b的值
2.点连续
考分段函数
给一个函数让你证明它在区间内是连续的
连续条件
连续原始定义
间断点判断
判定间断点的步骤
1.求定义域
2.确定定义域内x不等于谁，谁就是间断点
3.根据左右间断点存在的情况判定是第几类间断点
间断点类型
第一类间断点（左右极限都存在）
可去间断点（左右极限相等不等于该点处的函数值）
跳跃间断点（左右极限不相等）
第二类间断点（左右间断点至少有一个不存在）
无穷间断点（左右极限至少有一个不存在）
振荡间断点（震荡无极限）
几大定理
最值定理
条件
f(x)在闭区间[a,b]上连续
结论
f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m
介值定理
条件
f(x)在闭区间[a,b]上连续
结论
至少存在一点,使得
注
这里的结论可以放缩到区间上
零点定理
条件
f(x)在闭区间[a,b]上连续
结论
至少存在一点,使得
方程根的存在性判断
1.由零点定理，端点值异号至少一个根
2.仅一个根证明：在1.的基础上判定函数单调性
3.k个根证明：将区间分为k个区间，再重复2.的步骤
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