浙江省专升本考试-函数、极限与连续性
2022-04-18 19:54:32 0 举报AI智能生成
浙江省专升本考试-函数、极限与连续性
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大纲/内容
根据函数式确定定义域所满足的不等式，然后直接通过不等式解出x的范围或根据图像求出x的范围
1.分式分母不为零
2.偶次根下大于等于零
3.对数的真数大于零
4.任何非零实数的0次幂都为1
6.反三角函数arcsinx，arccosx的定义域
题型一：具体函数
方法总结：同等地位替换
1.已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域
2.已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域
题型二：抽象函数
1.不要化简函数
2.定义域结果表示成区间或集合的形式
注
求定义域
定义域（不化简）
对应法则（先化简）
相同函数判断
1.显函数：y能由x直接表示出来
4.参数函数：y和x没有直接关系，而是由共同的参数表示， span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\"\\begin{cases}x=cost \\\\y=sint \\end{cases}\
显函数是隐函数的一种特例，将隐函数变成显函数的过程叫隐函数的显化
函数的表达形式
1.符号函数:span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
[x]表示不超过x的最大整数
范围：
方法：向左取整
2.取整函数:
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
3.狄利克雷函数:
方法：求f(x)和g(x)的交点x0，以x0划分求和中f(x)和g(x)最大/最小那个函数表示
4.取最值函数:span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
几个特殊函数
若对于某区间I的所有x都有，则称在区间I上有界，否则无界。有界有上界、下界
常见有界函数：
常用规律：
有界性(局部概念)
函数的有界性
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"若f(x1)
f(x2)则说明f(x)在该区间上是单调递减的\"
在某区间上任取span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"x1
注：强调单调区间
单调性(局部概念)
函数的单调性
必定满足x在一个对称区间内，即定义域D关于原点对称，不然不用谈奇偶性
奇函数：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"f(-x)=-f(x)\
偶函数：
1.定义法：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
2.图像法：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称
3.对数专用法：
，同加减同=同
，有偶则偶，全奇则奇
4.运算性质：
判断奇偶性的方法
奇偶性
函数的奇偶性
在的定义域内对于任意x，恒有则称为周期函数(其中T为最小正周期)
常见周期函数
1.
2.
3.
变形后仍为周期函数
两个周期函数变形后周期公式
1.有绝对值的周期函数，比如:span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"|sinx|与sinx\
2.，周期为T
缩小一半T
周期性
函数的周期性
函数的特性
分段函数，分析法
分段函数，图像法
题型一:已知span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"y=f(x)\
题型二:已知，方法：1.换元法2.凑型法
内函数和外函数单调性相同为增函数
内函数和外函数单调性相反为减函数
题型三:复合函数求单调性f[g(x)]，口诀：同增异减
当且仅当
例如：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
复合函数可以复合的条件
复合函数
反函数是由确定的
解的时候观察式子有ln就用e，有不能直接
1.先反解出x
2.再x和y互换
求反函数的步骤
1.单调性相同
2.图像关于对称
3.定义域值域互换
反函数和直接函数之间的关系
自然定义域可以不加定义域
非自然定义域要加
求反函数和复合函数必加定义域
比如结果就是
求反函数
重点掌握：a=-1、、1、2、3
1.幂函数
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"e^{+\\propto}=+\\propto\
运算法则
2指数函数
消掉ln用e，消掉e用ln
3.对数函数
主值区间：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
arcsinx与sinx
arccosx与cosx
arctanx与tanx
arccotx与cotx
倒数关系
商关系
平方关系
诱导公式
倍角公式
三角降幂公式
两角和与差的三角函数公式
万能公式
和差化积
积化和差
常用公式
4.三角函数与反三角函数
初等函数（反对幂指三）在其定义域内必连续的，连续必可积
基本初等函数
设span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
相除求极限span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
方法
无穷小量比较
等价无穷小代换
如果span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
极限运算法则
分子分母同时除以x的最高次项
抓大头
通分、有理化约去零因子
第一重要极限
适用于：
第二重要极限
两个重要极限
其他重要极限
重要公式
非零因子乘除可以先算
对数恒等式
想要拆开算，极限必须存在
拆
分子分母各自求导
或
适用
分子分母同趋向于0或无穷大
分子分母在限定的区域内是否分别可导
若存在，直接得到答案；若不存在，则说明此种未定式无法用洛必达法则解决
如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
当两个条件都满足时，再求导并判断求导之后的极限是否存在
条件
通过取倒数方式
通过根号通过平方差，三角函数通过恒等变形等等
通过公式
不适用的进行转化
((L'Hospital)洛必达法则)洛必达
如果极限
函数极限的唯一性
span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
函数极限的局部有界性(局部)
如果极限span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
函数极限的局部保号性(局部)
可令
函数极限与数列极限的关系（海涅定理）
有限个无穷小之和仍为无穷小
有界函数(有界变量)与无穷小之积仍为无穷小
有限个无穷小之积仍为无穷小
不等式性
夹逼定理
必须是x趋于
复合函数的求极限运算法则
定理
1.结果
2.震荡无极限，例如sinx、cosx
极限不存在常见的两种形式
左右极限存在且相等
极限存在充要条件
求极限遇到这几种函数必分左右
其中线性关系
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"0x-x_{0}\\delta \\Rightarrow x_{0}x
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"-\\deltax-x_{0}0 \\Rightarrow x_{0}-\\deltax
可以通过span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"0|x-x_{0}|
可以通过span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"|f(x)-A|
函数极限
对于任意给定的正数N时的一切x_{n}，都有|x_{n}-a|\\epsilon都成立，称常数a是数列{a_{n}}的极限\
数列极限精确定义
极限的唯一性
数列的有界性
收敛数列的保号性
均是收敛数列，存在正整数N，使得当n>N时，有span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
保不等式性
如果数列满足
那么数列的极限存在，且
数列求极限工具
迫敛性(夹逼定理)
若与均是收敛数列，则span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"2\" data-equation=\
四则运算法则
单调有界数列必有极限（单调递增有上界必有极限；单调递减有下界必有极限）
单调有界定理
数列敛散性判断工具
若span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
子列
例题
海涅定理（一般span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
数列极限不能直接使用洛必达法则，必须使用海涅定理
数列极限求解
数列极限
区别
分左右极限算再合并
必分
未定式
1.常/为定式
约分(约公因子)
通分(分式相减)
拉格朗日+夹逼定理
拉格朗日+判定等价
此处的根式可以考虑使用拉格朗日中值定理和夹逼定理解决
有理化(根式相减)
、
转化
2.化简
不分
是否分必分左右极限
做极限题目思路
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"1\" data-equation=\
特别注意
数列极限和函数极限
垂直渐近线(垂直x轴，一般怀疑分母为0的点)
y=b为一条水平渐近线
注：水平与斜在相同过程下不共存
水平渐近线(平行于x轴的渐近线)
斜渐近线(一般渐近线)
渐近线
给一个函数在起定义域上连续求其中含着的a、b的值
考定义域
1.区间连续
给一个函数让你证明它在区间内是连续的
考分段函数
2.点连续
考点
连续条件
连续原始定义
函数连续性判断
1.求定义域
2.确定定义域内x不等于谁，谁就是间断点
3.根据左右间断点存在的情况判定是第几类间断点
判定间断点的步骤
可去间断点（左右极限相等不等于该点处的函数值）
跳跃间断点（左右极限不相等）
第一类间断点（左右极限都存在）
无穷间断点（左右极限至少有一个不存在）
振荡间断点（震荡无极限）
第二类间断点（左右间断点至少有一个不存在）
间断点类型
间断点判断
结论
最值定理
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"f(a)uf(b)或f(b)u
至少存在一点span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
这里的结论可以放缩到span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
介值定理
span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"f(a)\\cdot f(b)
至少存在一点span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
零点定理
几大定理
1.由零点定理，端点值异号至少一个根
2.仅一个根证明：在1.的基础上判定函数单调性
3.k个根证明：将区间分为k个区间，再重复2.的步骤
方程根的存在性判断
函数、极限与连续性
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