浙江省专升本-一元函数微分学
2022-04-20 12:46:07 0 举报AI智能生成
浙江省专升本-一元函数微分学
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大纲/内容
导数(瞬时变化率)
导数定义
导数定义式
其中是求分段函数分段点导数值式子
导数第一定义式推广式(只能作为计算技巧不能作为可导依据)
导数一般化式子
,即表示可以求任意点处的导数值
注
函数在点的附近有定义，否则导数不存在
定义式中趋向于0可正、可负、但不为0，可为0
导数反应了因变量随自变量变化快慢程度；比值为函数关于自变量的平均变化率；变化率的问题可以转化为导数问题
顺势变化率与导数是同一概念的两个名词，也就意味着
导数的含义
图解
含义
当时，割线PQ就会变成切线，那么上式取极限就是曲线在点P处的切线斜率
导函数
注
导数与导函数称为导数，区分：求一个函数的导数，就求导函数，求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值
根据导数定义求函数的导数一般方法
求函数的平均该变量
求平均变化率
取极限
导数和连续的关系
定理1
如果函数在点可导，则 在x_0点连续
可导必定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导
左右导数(单侧导数)
左导数
右导数
注
即使左右导数存在也不一定相等
函数在一点处左右导数存在，即使不相等也可能在这点连续
常见不连续
分式(分母为0的点)不连续
绝对值(绝对值为0的点)不可导
导数的几何意义
含义
函数
切线方程
法线方程
求导数的方法
函数的求导法则
定理1
注
定理可以推广到有限个可导函数上去
简单记
定理2
注
若取
定理可以推广到有限个可导函数的乘积上去,如
简记
定理3
注
由定理2可推
简记
常用初等求导公式
复合函数、反函数的导数法则
反函数的导数
注
视若为任意，并用，使用
求
求出
反函数的导数为
将中的用换，或将所有关于x的式子用x替换即可
复合函数的求导法则
注
若视为任意，并用代替得
复合函数求导可以推广到有限个函数复合的复合函数上去如
特殊复合函数
形如
求导方法
高阶导数(n阶导，数学归纳法)
定义
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
莱布尼茨公式
对于求高阶导，则可以一直求导下去，计算结果与二项式
注
莱布尼茨公式中，的地位对等，所以可以互换
常用高阶导公式
注
不是任何函数所有高阶导都存在
当导数阶数大于3阶时候，现成
对于正整数米函数,每求一次导，其幂次降低1，第n阶级导数为一常数，大于n阶的导数都等于0
求高阶导数步骤
将原来的函数化为简单的初等函数的线性组合
求出一阶、二阶、三阶等导数
由第二步做出归纳总结
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
隐函数
显函数和隐函数
将隐函数转化为显函数，叫做隐函数的显化
注
不是任一都能确定出隐函数
隐函数不一定可以显化
隐函数求导方法步骤
方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待
从求导后的方程中解出
隐函数求导允许其结果中含有
适合对数求导法题型
幂指函数
函数是由几个初等函数经过乘、除、开方构成的
参数方程所确定的函数的导数
形如
特殊的情况
链式求导法
分段函数求导
形如
求导方法
各个区间段内的导数的求法就是普通的求导无异(各段内直接求)，要注意的是分段点处的导数一定要用导数定义求(分段点定义求)。
若分段函数在分段点两侧表达式不同，则要求分别求其左右导数，当且仅当左右导数存在且相等时，函数在分段点的导数存在
含绝对值符号的导数，先去掉绝对值符号，然后再做判断或求解
极限、可导、可微、连续之间的关系
微分
微分的几何含义
定义
导数与微分的等价关系
定理
注
一元函数可导与可微等价
微分形式不变性
对于,不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同形式即
微分的运算法则
微分与增量的关系
当时，
在此条件下，当
注
当
导数的应用
微分中值定理
费马定理定理(中值定理基础)
使用条件
函数在点的某邻域内有定义
在
结论
注
通常称为一阶导数为零的点为驻点(或稳定点，临界点)
罗尔中值定理(拉格朗日中值定理的特殊情况)
使用条件
结论
几何含义
图解
含义
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端的端点高度相等，则至少存在一条水平切线
注
习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理三个结论是充分而不必要的
利用罗尔定理可以判断函数的导函数的零点个数，判断方程根的个数
题目结论
形如若方程有n个根，则方程有个根，且方程的根数位于原方程的两根之间
拉格朗日中值定理(柯西中值定理的特殊情况)
使用条件
结论
几何含义
图解
含义
在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线
注
罗尔定理时拉格朗日中值定理时的特例
拉格朗日中值定理的两个条件彼此相关，互不独立，
拉格朗日定理通常用于证明不等式
拉格朗日中值定理证明一个具体的不等式时关键时找到一个函数，一般都是一些我们熟悉的初等函数，再找到一个区间[b,a],再在[b,a]上应用拉格朗日中值定理，找到关于的式子，最后利用的范围建立一个不等式，将代入这个不等式即可证得原不等式，不过一定要将由的范围建立的不等式找准
函数
这个推论常常用来证明一个函数恒等于某个常数的命题
证明某一个函数恒等于某个常数的一般步骤
对求导得，再证
由
某一点一般取代入，得到常数的值，即得证
函数在区间上可导且
柯西中值定理
使用条件
对于任意
结论
几何含义
图解
含义
一个光滑的线段上，一定存在一个点，这个点的切线跟这个线段首尾两点所在的直线平行，参数方程的形式
泰勒中值定理
带佩亚诺余项的泰勒公式
其中形如
泰勒公式在
带拉格朗日余项的泰勒公式
其中形如
泰勒公式在时的(带有拉格朗日余项)的麦克劳林公式
如果函数在含有的某个开区间内具有直到
辅助函数构造方法
出现
定理之间的实际含义
图解
结论
罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况
拉格朗日中值定理又是柯西定理的特殊情况
其实还有个费马引理作基础（函数的可导极值点为驻点，导数为0）
三大中值定理建立导数与原函数的关系，辅以拉式泰勒研究函数局部性态
拉格朗日中值定理又是柯西定理的特殊情况
其实还有个费马引理作基础（函数的可导极值点为驻点，导数为0）
三大中值定理建立导数与原函数的关系，辅以拉式泰勒研究函数局部性态
(L'Hospital)洛必达法则（参照第一章）
单调性于凹凸性
单调性
单调函数和严格单调函数
单调函数
单调函数在端点处则可取等号
包括自变量不同是函数值相同情况
包括常函数
严格单调函数
不包括端点，其定义域的两端只能是＞号或者＜号
不能是常函数
定理1
设函数在上连续，在内可导
如果在内那么函数上单调增加
如果在内那么函数上单调减少
注
将判定法中的闭区间换成其他各种区间，包括无穷区间，结论依然成立
定理的证明应用到中值定理
在函数的单调区间的分界点处的导数有些为零，有些不存在
在整个定义域上不单调的函数，我们可以取导数为零和导数不存在的点来划分函数的单调区间
如果函数在某个区间内的有限个点处导数值为零，而在其余各点均为正（或负），那么在该区间上函数是单调增加（或减少）的
用函数的单调性来证明不等式是一个重要的方法
利用导数来求函数单调区间的步骤
先求出函数的定义域
对函数求导，令导函数为零，求出驻点(驻点是指横坐标)和不可导点
以(2)中求出的点作为隔断点将定义域分隔成若干区间（不包括分隔点是因为严格单调）
求各个区间的导函数，根据导函数符号判断函数的单调性，若导数大于零，则函数在该区间上单调递增；若导函数小于零，则函数在该区间上单调递减，若到函数恒等于零，则函数在该区间上为一常数。
凹凸性
曲线的凹凸性定义
图解
含义
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有
函数曲线凹凸性的判定
设函数在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（记忆：大凹小凸）
如果在内则函数上的图形是凹的
如果在内则函数上的图形是凸的
拐点及其求法
定义：(拐点)曲线的凹，凸的分界点称为拐点(拐点是一个点)
判定：
求法步骤
求
令解出其在内的实根
对于每一个,检查在左右邻近两侧的符号，如果在的左、右邻近两侧分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反的时，点是拐点，当两侧的符号相同的时，点不是拐点
注
在求解拐点时，除了二阶导数为零的点，还应考虑导数不存在的点
拐点处的切线必在拐点处穿过曲线
函数的极值与最值
函数的极值
极值的定义
极大值：若存在的某个邻域使得任意有,称为的一个极大值，而称为极大值点
极小值：若存在的某个邻域使得任意有,称为的一个极小值，而称为极小值点
极值
极大值和极小值统称为极值
注
极值具有局部性
极值的判别
费马定理可知，可导函数在处取得极值的必要条件是
注
费马定理说明可导函数的极值只能在其驻点取到，即是驻点只是可导函数在点取得极值的必要条件，而不是充分条件。
定理1(极值的第一充分条件)
图解
注
驻点、不可导点是可能的极值点
计算极值点和极值的步骤
求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值
定理2(极值的第二充分条件，可以更好的判断极值)
最大值与最小值
如果函数的最值是在区间内部的点取到，则此最值必定是极值点
求最值的方法
方法一
进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值
方法二(特殊情况)
前提：确定开区间上函数的极值必是最值
函数图像描绘
函数作图的一般步骤
确定函数图形的水平、铅直渐进线以及其他趋势变化
极值点，最值点，驻点，零点，间断点，拐点
极值点，最值点，驻点，零点，间断点都指的是横坐标x
拐点指的是(x，y)坐标
拐点指的是(x，y)坐标
补充性质
奇偶函数、周期函数的导数
含有绝对值函数的可导性
题型
确定方程的根数（数形结合）
单调性+零点+极值
判断出定义域，将所给式子移到一侧,并设
求出
列表得出单调性
得出极大值或极小值，并写出在何处取得
将得出的
单调性+零点
判断出定义域，将所给式子移到一侧,并设
求出
列表得出单调性
算出定义域端点的值或极限
运用零点定理+单调性进行判断
利用单调性证明不等式
求导判断单调性
验证最大(最小)值
得出结论
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