一元函数积分学
2022-05-16 16:04:22 0 举报AI智能生成
浙江省专升本数学-一元函数积分学
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大纲/内容
不定积分
不定积分的基本概念与性质
原函数与不定积分的概念
原函数定义
如果在区间上，可导函数的导函数为,即对任一,都有或，那么函数
注
由于如果有一个原函数，则有无穷多个原函数
一个函数的两个不同的原函数之间只差一个常数
不等积分的定义
原函数与不定积分的关系
注
不定积分和原函数是两个不同的概念，不定积分是个集合，原函数是该集合中的一个元素，即
不定积分的运算性质
基本积分公式
不定积分的基本运算法则
不定积分的计算方法
不定积分的换元积分法
第一类换元积分法（又称“凑微元”法）
定理1
注：常用的凑微元公式
第二类换元积分法（也称为变量代换法，t换元、三角换元）
定理2
第二换元法主要是针对包含有根式的被积函数，其左右是让根式有理化
一般采取以下几种代换
注意：这种方式是利用了三角等式，称为三角代换，目的是将被积函数中的无理因式化为三角函数的有理因式
到代换
如果分母中有形如
当被积函数中含有无理式
不定积分的分布积分法
定义
常用分部积分法计算的不定积分类型
选得规律
反对幂三指
改造分子法
解决形如
注
可以利用两角和两角差公式、当发现失衡了要及时换方法
简单有理函数积分
有理函数的积分
最简真分式
注
显然最简真分式1、2恒容易求出，3、4需要凑一下如
没有括号次方凑全
有括号次方凑括号里的
对于有理函数，通过以下程序求出原函数
如果式子式假分式，则可以表示成一个整式和一个真分式之和，然后分别求其原函数
如果式子为真分式，则可以将其分解成称为若干个最简分式之和，分别求出其原函数
关于将一个真分式分解成若干个最简分式之和，有如下定理
举个例子(重根例子)
之后交叉相乘，通过比较系数的出系数，最后的出最简真分式
三角函数有理式的积分
定义
三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限四则运算构成的函数。由于各种三角函数都可以用sinx以及cosx的有理式表示，故三角函数有理式也就是sinx，cosx的有理式，记作
对于三角函数有理函数的积分可通过万能代换化为有理函数的积分，具体方法：
有三角函数中的万能公式，有
因此有
形如，一般令
定积分
定积分的定义
定积分的概念
定积分的定义
考点：
注
由定义知道是一个具体的数，与函数以及区间有关，而与积分变量x无关，即
定义中的
定积分的几何含义
定积分存在的充分条件与必要条件
充分条件
必要条件
定积分的性质
性质1
和差的定积分等于它的定积分的和差，即
性质2
常数因子可以外提(可以推广到n个),
性质3
无论a,b,c的位置如何，有,即定积分对积分区间具有可加性，可以推广到有限个
性质4
性质5
若，则
推论1.
性质6
性质7(积分估值定理)
性质8(积分中值定理)
若，也可以写成
注
积分中值定理
几何含义
规定
由积分定义知，
定积分的计算方法
微积分基本公式
微积分基本定理
注
定理3(微积分基本定理)
变上限定积分所确定的函数是被积函数的原函数,即在上连续，
定理4
注
如果函数在区间上连续，那么在上存在可导函数,使得
某区间上的连续函数在该区间上存在原函数
既然变上限定积分是被积函数的原函数，这就为计算定积分开辟了新途径
牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本公式）
注
牛顿-莱布尼兹公式把定积分的计算问题归结为被积函数的原函数在上、下限出函数值之差的问题
定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法
则有
注
从左往右看，是不定积分的第二换元法。从右往左看，可以认为是第一换元法
定积分的分部积分法
定积分计算中的常用公式
区间再现公式
区间再现公式
证明的时候要么从第二式子出发令
注
函数对称性
f(a-x)=f(x+b),则f(x)的图像关于x=(a+b)/2对称，
f(a-x)和f(x+b)的图像关于x=(a-b)/2对称。
f(a-x)和f(x+b)的图像关于x=(a-b)/2对称。
当偶倍奇零、换元、凑微分、分部积分都无法使用，可以考虑再现公式
当遇到形如
广义奇偶性：被积函数的对称中心横坐标恰好为区间中点
常函数(通过一阶导为0证明)
黎曼积分
经典题型1
经典题型2
经典题型3
形如
经典题型4
解法一：区间再现
解法二：广义奇偶性
令
无穷限广义积分
极限存在：收敛，极限不存在：发散
瑕积分
定积分的应用
定积分应用的微元法
平面图形的面积
旋转体的体积
柱壳法
特殊的情况
立体图形体积
圆柱体积
V=π*r²* h
圆锥体积
V=1/3Sh
圆台体积公式
V=1/3πh（r²＋R²＋rR）
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