第二章 极限和连续
2022-06-05 12:29:02 0 举报AI智能生成
数学分析极限与连续
作者其他创作
大纲/内容
函数的极限
函数在一点的极限
设函数在点的附近(但可能除掉点本身)有定义，又设A是一个定数，如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<<δ时，总有,我们就称A是函数在点的极限,记为，或者记为。这时也称函数在点极限存在，其极限值是A。
对A的
函数极限的性质和运算
性质1：若，且A>B，则，当时，f(x)>g(x)
性质2：若，且，当时，f(x)g(x)，则
性质3：若而A>B（或A<B），则，当时，f(x)>B（或f(x)<B）
性质4：若，则A=B（说明了极限的唯一性）
性质5（夹逼性）：若，使当时，，并且，则
函数有界的定义：若两个数A和B,在区间X有则称f(x)是有界的；或在区间X上有
性质6：若,则存在δ>0,使得f(x)在区间（去心领域）内有界，亦即在不等式所表示的区间内有界。
性质7（Heine定理）： （证明某些函数不存在，判断函数在某些值是收敛的）
运算法则1：若，，则，，，在商的情况下，要求。
运算法则2：若
单侧极限
右极限的定义：设函数在点的右领域（可能出去点本身）有定义，这里右领域是指,η是一个确定的正数.又设A是一个定数，如果对,当时,有,就称A是函数f(x)在点的右极限,记为或,或,这时也称函数f(x)在点右极限存在。
左极限的定义：设函数在点的左领域（可能出去点本身）有定义，这里左领域是指,η是一个确定的正数.又设A是一个定数，如果对,当时,有,就称A是函数f(x)在点的左极限,记为或,或,这时也称函数f(x)在点左极限存在。
函数在无限远处的极限
函数在正无限远处的极限的定义：若对，,当x>X时，总有,就称A为f(x)在正无限远处的极限，或者称A是当时f(x)的极限,记为或 或,这时也称函数f(x)在正无限远处的极限存在。
函数在负无限远处的极限的定义：若对，,当x<-X时，总有,就称A为f(x)在负无限远处的极限，或者称A是当时f(x)的极限,记为或 或,这时也称函数f(x)在负无限远处的极限存在。
函数在无限远处的极限的定义：若对，,当|x|>X时，总有,就称A为f(x)在无限远处的极限，或者称A是当时f(x)的极限,记为或 或,这时也称函数f(x)在无限远处的极限存在。
函数值趋于无穷大的情形
性质8：若，那么；反过来，如果在的某一领域内（本身除外）f(x)无零点，并且，那么
性质9：若，而g(x)满足当时，，那么。
两个常用的不等式和两个重要的极限
对任何x,有;当时,有,当且仅当x=0时,"="成立
，
极限不存在的几种典例
趋于,如：
振荡，如：
左右极限不相等，单侧极限不相等。
无穷小量与无穷大量的阶
利用两个无穷小量的比值的极限来衡量谁趋近零的速度快
（证明）当时，称u(x)是v(x)的高阶无穷小量，记作,
当时，称v(x)是u(x)的低阶无穷小量，记作同上
假如，当时，即，总有，则，是一个有界量。记作：
,在某去心邻域内，，，总有，则称当时，u(x)是v(x)的同阶无穷小量
,称u(x)与v(x)是等价无穷小量，记作：
注：v(x)一般采用来判定u(x)是n阶无穷小量。
两个无穷大量的比值的极限的比较。
u(x),v(x)均为无穷大量
,称u(x)是v(x)的高阶无穷大量，v(x)是u(x)的低阶无穷大量
假如，是有界量，记作：,u(x)与v(x)是同阶无穷大量
同阶
数列的极限和无穷大量
数列极限的定义
无穷多个数 按次序一个接一个地排练下去，就构成一个数列，通项 ,记为：
设是一个数列，a是实数。如果对任意给定的，总存在一个正整数N，当n>N时，都有，就称a是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于a，记为或，这时也称数列极限存在。
当a等于0时，也就是以零为极限时，称为无穷小量
无穷小量是极限为0，很小的量是数值
数列是否存在极限值与他从某项后的所有项有关，而与其前有限项无关，在讨论极限时可以添加或去掉或改变有限项的值。
数列极限的性质
定理1（保号性）：若，，且a>b，则总正整数N，当n>N时，不等式成立
推论1：若 且存在正整数N，当n>N时，不等式都成立，则；特别地，若，且存在正整数N，当n>N时，有，则
推论2：若，且a>b（b为常数），则存在正整数N，当n>N时，有;特别地，若，且a>0，，当n>N时，有
推论3：若，且a<c（c为常数），则，当n>N时，有；特别地，若，且a<0，则，当n>N时，有
定理2（唯一性）：若数列收敛，则它的极限是唯一的
定理3（夹逼性）：若
推论：
定理4：有极限的数列是有界的（逆定理不成立）
有界数列
若两个数A,B（设A<B），数列中的每一项均在闭区间内，亦即，则称为有界数列。A为上界，B为下界
上界，下界不唯一
;
数列极限的运算
特别地， 两个无穷小量的代数和认为无穷小量
单调有界数列
设{}是一个数列，如果 无等号为严格单调增加（减少）
单调有界数列必有极限
无穷大量的定义
无穷大量是一个变量，随n变化
无穷大量的性质和运算
无穷大量和无穷小量的关系
定理六：若为无穷大量，则为无穷小量；若为无穷小量，则为无穷大量
无穷大量的运算法则
（非同号时不成立）
连续函数
连续的定义
函数在 点连续的定义（局部性质）：若函数f(x)在点的附近包括本身有定义,并且,就称f(x)在 点连续，此时称点是f(x)的连续点
对f(x)任意ε领域总当时,有
（缺一不可）不再要求函数f(x)在点连续必须同时满足:f(x)在点有定义;f(x)在点的极限存在;
若一个函数f(x)在点 满足,就称f(x)在 点左连续
若一个函数f(x)在点 满足,就称f(x)在 点右连续
函数f(x)在点连续的充要条件为函数在此点既是左连续也是右连续。
若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点连续,也就是说,对(a,b)内任何一点都成立,则称函数f(x)在(a,b)内连续。对闭区间[a,b]来说，f(x)在[a,b]上连续的定义是指f(x)在(a,b)内连续，同时在左端点右连续，而在右端点左连续，即：
不连续点的类型
设函数f(x)在点 的某处去心领域内定义，则下列情形，f(x)在点 不连续:（1）f(x)在点 无定义;（2）f(x)在点 有定义但2极限 不存在;上述均成立 这样的点称为间断点
第一类间断点：
第二类间断点：
连续函数的性质和运算
定理1：在某点连续的有限个函数经有限次和差积商（分母不为零）运算结果仍是一个在该点连续的函数。
定理2：连续单调递增（递减）函数的反函数也连续单调递增（递减）。（严格单调函数才具有反函数）
定理3：连续函数的复合函数是连续的。（极限号和函数符号可以互换位置）
初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续，函数经四则运算仍连续。连续的复合函数连续。一切初等函数在定义区间内连续。
闭区间上连续函数的性质
最值定理
定理1：在:闭区间上连续的函数，在该区间上一定有最大值和最小值。（若函数在开区间上连续，在闭区间内有间断点，结论不一定成立。）
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界。（有界性）
介值定理
定理2（零点存在定理）:，且至少有一个,使
定理3（介值定理）：设,且,则对A与B之间的任意数c,至少有一点,使
推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
一致连续性（整体性质）
对，若，若δ>0,对，当时，有，则f(x)在区间I上一致连续（找到只与ε有关而与点x无关的δ）
康托尔（Cantor）定理：闭区间[a,b]上的连续函数f(x)（若）,一定在[a,b]上一致连续
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