七年级下册数学思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

第五章　相交线与平行线

学习内容

对顶角、补角、余角的概念，对角的性质

垂线、垂段等概念；点到直线的距离的意义；过一点作己知直线的垂线

平行线的概念，能过直线外一点做已知直线的平行线，并了解两直线被第三条直线所截形成的角的关系

平行线的判定定理和性质定埋并能进行简单的证明和尺规作角

所需工具

直尺、圆规、三角板

相交线

相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义

对顶角相等及互补、互余的性质

垂线，垂线段等的概念

平行线

判定

利用同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，判别直线平行

过已知直线外一点画这条直线的平行线

第六章　实数

勾股定理

定理内容

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

如果a，b分别表示直角三角形的两直角边，用c表示斜边，那么：a²+b²=c²

探索勾股定理

拼图法

直角三角形的判别条件

勾股定理逆定理

看三边长是否满足a²+b²=c²（c为最长边）

勾股数

a、b、c是三个正整数

满足：a²+b²=c²

勾股定理的应用

在直角三角形中，已知两边长求第三边长

分类

按定义分

有理数

正有理数

0

负理数

无理数

正无理数

负无理数

按性质符号分

正实数

0

负实数

运算

实数的大小比较

实数的混合运算

性质

实数的绝对值、相反数、倒数

实数与数轴上的点一一对应

开方

算术平方根

定义

性质

双重非负性

a≥0

√a≥0

确定√a的整数部分、小数部分

根据算术平方根的定义，有m²<a<n²，其m，n是连续的非负整数，则m<√a<n，则√a的整数部分为m，√a的小数部分为√a-m

开平方

平方根

定义

性质

一个正数有两个互为相反数的平方根

0的平方根是0

负数没有平方根

求法

开立方

立方根

定义

性质

正数的立方根是正数

0的立方根是0

负数的立方根是负数

求法

图形的平移与旋转

图形的平移

概念

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移

平移不改变图形的形状和大小

性质

一个图形和它经过平移所得的图形中

对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等

对应线段平行（或在一条直线上）且相等

对应角相等

平移作图

转化为点的平移作图问题

平面直角坐标系内的平移变换

简单运动

向左平移a(a>0)个单位

横坐标减a，纵坐标不变

向右平移a(a>0)个单位

横坐标加a，纵坐标不变

向上平移a(a>0)个单位

横坐标不变，纵坐标加a

向下平移a(a>0)个单位

横坐标不变，纵坐标减a

复合运动

一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的

方向

图形上任意一点的移动方向

距离

根据勾股定理进行计算

图形的旋转

概念

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转

这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角(旋转不改变图形的形状和大小)

性质

一个图形和它经过

对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线成角都等于旋转角

对应线段相等

对应角相等

旋转作图

图形变换的基本类型

平移变换

分析变换的次数与平移方向、平移距离

旋转变换

分析变换的次数与旋转中心、旋转方向、旋转角度

轴对称变换

分析以哪条直线为对称轴进行轴对称变换

中心对称

轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或轴对称

这条直线叫做对称轴

概念

如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称

这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（关于中心对称的两个图形是全等形）

性质

成中心对称的两个图形中

对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分

对应线段互相平行(或在一条直线上)且相等

对应角相等

中心对称作图

中心对称图形

轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形

中心对称图形

把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形

旋转对称图形

如果把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形

简单的图案设计

分析图案的形成过程

先分析图案中的基本图案

将基本图案进行轴对称变换、平移变换或旋转变换

简单图案的设计

整体构思，突出主题

选择变换方式，作出草图

具体作图，适当修饰

第七章　平面直角坐标系

定义

定义：在平面内取点O，过点O作两条互相垂直的数轴，交点为坐标原点，称为平面直角坐标系

两条数轴分别为横轴（轴）、纵轴（轴），统称为坐标轴

坐标轴的交点为原点，记作O(0,0)

平面内点的表示

平面内的点与有序实数对一一对应[记作(a,b)]

平面直角坐标系中有序实数对称点的坐标，记作(a,b)

(a,b)中，a称横坐标，b称纵坐标

应用

能求平面内的点的坐标(a,b)，x轴上的点坐标记为(a,0)，轴上的点坐标记为(0,b)

已知点的坐标，能在平面内描出该点，并求图形面积或形状

象限

坐标系把平面分成4个象限（注意：x轴，y轴不属于任何象限）

每个象限的符号规律

第1象限：(+,+)

第2象限：(-,+)

第3象限：(-,-)

第4象限：(+,-)

分支主题

过A(a,b)的特殊直线的表示

垂直于x轴（或平行于y轴）的直线表示为直线x=a

垂直于y轴（或平行于x轴）的直线表示为直线y=b

注意：这些特殊直线即为常值函数的图像

已知点A(a,b)

点A到x轴距离为：|b|

点A到y轴距离为：|a|

已知点P(a,b)

P在一、三象限夹角平分线上，则a=b

P在二、四象限夹角平分线上，则a+b=0

P在两坐标轴距离相等，则|a|=|b|

平面直角坐标系内点的运动

平面内平行于x轴或y轴线段长度公式

A(x ,y), B(x ,y)，则AB//x轴，AB=|x -x |

C(x,y )，，则CD//y轴，CD=|y -y |

平面内特殊直线的表示

A(x ,b)，B(x ,b)，则直线AB表示：直线y=b；(x ≠x )

C(a,y )，D(a,y )，则直线CD表示：直线x=a；(y ≠y )

存在两解情况的题目

已知A(x ,y )，AB=a

AB⊥x轴，则B(x ,y +a)，B(x ,y -a)

AB⊥y轴，则B(x +a,y )，B(x -a,y )

平面内A(x ,y )，B(x ,y )，则AB的中点C的坐标：( , )

平面内点的平移规律

右左（对横坐标），上下（对纵坐标）

平面内点的对称规律

已知A(x,y)

关于x轴的对称点：A (x,-y)

关于y轴的对称点：A (-x,y)

关于原点对称点：A (-x,-y)

绕原点旋转：横、纵对换，符号看象限（利用“一线三等角”）。注意：可能有解存在！

基本题型（应用）

已知两点坐标，求距离

已知两点坐标，求直线表达式

已知线段长度，求点坐标（2解）

求面积

第十章　数据的收集、整理与描述

统计调查

数据收集的方式

全面调查

考察全体调查对象

全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长、工作量大

人口普查是全面调查

抽样调查

样本容量

一个样本包括的个体数量叫做样本容量

个体

把组成总体的每一个考察对象叫做个体

抽样调查具有花费少、省时的特点、但是抽取的样本是否具有代表性直接关系到对总体估计的准确程度

考察部分调查对象

总体

我们把所要考察的对象的全体叫做总体

样本

从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本

简单随机抽样

用样本估计总体

数据的整理与描述

统计表

数据准确，但数据信息表达不够直观

统计图

扇形统计图

扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇开的大小小表示各部分数量占总数的百分数

从扇形图上可以清楚地看出各部分在总体中所占的百分比

扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比x360

条形统计图

折线统计图

数据的分析

根据统计的数据信息作出合理的判断和决策

直方图

频数与频率

频数:是指每个对象出现的次数

频率:是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)即频率=频数/总数

频数分布表

定义:在统计数据时，经常把数据按照不同的范围画分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表

频数分布直方图

画频率分布直方图的步骤:

计算极差，即计算最大值与最小值的差

决定组距与组数

确定分点，将数据分组

列频率分布表

绘制频率分布直方图

频数分布折线图

一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的—条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图。

频率分布表与频率分布直方图的区别与联系

频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率

各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1

频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势

从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容

课题学习

从数据谈节水，建立数据分析观念

提高对数据信息的分析能力

第九章　不等式与不等式组

不等式

不等式的概念

用不等号（“>”“<”“≥”“≤”“≠”）连接的式子

不等式的性质

两边同加上（或减去）一个数或一个整式，

若a>b，则a±c>b±c

两边同乘（或除）同一个正数，

若a>b，c>0，则ac>bc

两边同乘（或除）同一个负数，

若a>b，c<0，则ac<bc

不等式的解

使不等式成立的未知数的值

不等式的解集

不等式的所有解，组成这个不等式的解集

一元一次不等式

概念

含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式

解法步骤

1.去分母

2.去括号

3.移项

4.合并同类项

5.系数化为1

易错：若系数为负，则需变号

数轴表示解集

定边界（取等用实心，不取等用空心）

二定方向（小于往左画，大于往右画）

一元一次不等式组

概念

几个一元一次不等式合在一起就组成了一个一元一次不等式组

解集

几个一元一次不等式的解集的公共部分

解集取法归纳

两大取大，两小取小，大小：小大取中间，大大小小取空集

解法步骡

分别求出不等式组中各个不等式的解集

利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集

一元一次不等式组的应用

分段计价问题

经济利润问题

售价-进价=利润

标价×折扣-进价=利润

进价×（ 1+提价百分比）×折扣-进价=利润率×进价

积分问题

不空不满问题

方案决策问题

分支主题4

第八章　二元一次方程组

二元一次方程

定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程

3.含有未知数的项的次数是1

详解

在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数

“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1

二元一次方程的左边和右边都必须是整式

方程的解

定义

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来

解的个数

一般情况下，一个二元一次方程有无数个解

即有无数多对数适合这个二元一次方程

二元一次方程组

方程组的解

二元一次方程组中几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解

方程可以超过两个

有的方程可以只有一元

二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每个方程

它也必须是一个数对，而不能是一个数

二元一次方程组的个数情况

分支主题

定义

由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元次方程组

方程组中有且只有两个未知数

方程组中含有未知数的项的次数为 1

方程组中每个方程均为整式方程

注意：二元一次方程组的不一定由两个二元一次方程合在一起

注意事项

书写方程组的解时，必须用 { 把各个未知数的值连接在一起

解二元一次方程组

消元思想

两个未知数，消去一个，把二元一次方程组转化为一元一次方程。这种将未知数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想

基本思路

未知数由多变少

基本方法

把二元一次方程组转为一元一次方程

方法

代入消元法

定义

将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程

解题步骤

变

选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b或x=ay+b的形式

代

将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去—个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程

解

解这个一元一次方程，求出x或y的值

回代

将已求出的x或y的值代入方程组中的任意一个方程或y=ax+b或x=ay+b，求出另一个未知数

联

把求得的两个未知数的值用花括号联立，起来，这样就得到二元一次方程组的解

加减消元法

定义

把方程组的两个方程(或先做适当变形)相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程

步骤

化

将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式

加减

根据其系数特点将变形后的两个方程相加或者相减，得到一元一次方程

解

解这个一元一次方程，求出一个未知数的值

回代

把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值

联

把求得的两个未知数的值用“{"联立起来，这样就得到二元一次方程组的解

三元一次方程组

三元一次方程

含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程

详解

①是整式方程

②含有三个未知数

③含未知数的项的最高次数是1次

三元一次方程组

一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组

三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可

解题思路

三元→二元→一元

方法

①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组

②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值

③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程

④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值

⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起

用二元一次方程组解决问题

常见问题

行程问题

公式

路程=速度*时间

速度=路程/时间

时间=路程/速度

类型

相遇

快者走的路程+慢者走的路程=两者相距的路程

追击

快者走的路程-慢者走的路程=原来的距离

环形跑道

同一地点，同时出发时

同向而行时

首次相遇时快者走的路程-慢者走的路程=一圈的长

背向而行时

首次相遇时快者走的路程+慢者走的路程=一圈的长

水流行船

顺水（风）

顺水（风）速=静水（风）速+水流（风）速

逆水（风）

逆水（风）速=静水（风）速-水流（风）速

工程问题

公式

甲乙合做的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率

甲的工作量+乙的工作量=总的工作量

工作量=工作效率×工作时间

详情

甲的工作时间与乙的工作时间的和不等于总的工作时间

工作总量通常用1来表示

配套问题

基本等量关系

加工总量成比例.

根据已知条件分清数量关系，尤其是倍数关系

商品问题

常用公式

利润＝售价－成本(进价)

利润＝成本（进价）×利润率

标价＝成本(进价)×(1＋利润率)

实际售价＝标价×打折率

利润率=（（售价-进价）/进价）*100%

等

基本思想

把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系

解题步骤

1.审：弄清题意，找出等量关系

2.设：根据问题设出两个未知数

直接

间接

3.列：根据等量关系，列出方程组

分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组

4.解：解这个方程组，得出未知数的值

5.验：检验所求是否符合题意

6.答：写出答案，包括单位