考研数学学习方向
2022-09-24 19:09:10 0 举报AI智能生成
高数的每一章节的学习方向
作者其他创作
大纲/内容
函数与极限
函数的概念及基本特性
函数的基本概念
区间
区间定义
基本特性
单调性
奇偶性
有界性
周期性
复合函数与反函数
复合函数
反函数
初等函数
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
简单的经济函数
简单了解即可
函数的极限
数列极限的精确定义
函数极限的精确定义
数列收敛
函数极限的两定理
两重要性质
极限不存在的典例
趋于∞
左右极限存在但不相等
振荡
无穷大量与无穷小量
无穷小量的概念和性质
定义
性质
定理
无穷大量的概念和性质
定义
性质
无穷大与无界的关系
无穷大量与无穷小量以及有无界与收敛发散之间的关系
极限的性质与运算法则
极限的性质
唯一性
有极限的数列必有界
局部有界性
局部保号性
局部保号性逆向说明
极限的四则运算
极限计算的方法
直接代入法
因式分解法
化无穷大为无穷小计算法
分子有理化
分母有理化
分子分母同时有理化
等
求极限的6大方法
两个重要极限
等价替换
无穷小乘以有界量等于无穷小
洛必达法则
夹逼准则
单调有界定理
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则
夹逼准则
单调有界数列必有极限
两个重要极限
无穷小量的比较与等价代换
定义
常用等价无穷小
定理
函数的连续性
函数的连续性与间断点
函数的连续性
定义
连续三要素
有定义
有极限
主要部分
极限值等于函数值
判断函数连续的方法
定义法
初等函数在其定义区间内连续
函数的间断点
间断类型
可去间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第一类间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
第二类间断点
闭区间上连续函数的性质
性质
最值可达性
整体有界性
介值性
根的存在性
定理
有界性定理
最值定理
介值定理
零值定理
导数与微分
导数的概念
导数的定义
导数的几何意义
可导性与连续性的关系
分段函数的可导性
函数的求导法则
定理
反函数的导数
高阶导数
求高阶导数的方法
归纳法
间接法
利用莱布尼茨公式
三角函数形式时的应用
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数求导的方法
直接法
对数法
适用于
幂指函数
函数连乘积
函数乘方
函数开方
参数方程求导法
函数的微分
微分的定义
一阶微分形式的不变性
近似计算中微分和导数的应用
绝对误差
相对误差
微分的基本公式与运算法则
基本公式
运算法则
求微分常用方法
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
四定理
罗尔定理
费马引理
拉格朗日定理
柯西定理
证明f(ϵ)的n阶导 = 0的命题
证明f(ϵ)的n阶导 = k的命题
做辅助函数
移项法
k常数法
两推论
洛必达法则
定理
洛必达法则求极限的方法
求解∞/∞
求解0/0、∞/∞
求解∞ - ∞
求解0 · ∞
求解1的∞次幂
求解0的∞次幂或∞的0次幂
泰勒公式
泰勒公式的余项有两大类
定性的佩亚诺型余项
定量的拉格朗日型余项
定量的柯西型余项
泰勒公式
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数单调性
利用函数单调性证明不等式的方法
构造辅助函数
判断单调性
求出区间端点的函数值或极限值
拐点的求法
曲线的凹凸性
利用导数性质证明不等式
利用微分中值定理
利用泰勒公式
利用函数的单调性
利用最大值最小值
利用函数的凹凸性
函数的极值与最值
驻点和极值点的关系
驻点和拐点的关系
极值点与最值点的差异
求极值的步骤
求最值的方法
函数图形的描绘
渐近线
铅直渐近线
水平渐近线
斜渐近线
曲率
直线上的任意点的曲率为0
曲率圆半径
方程近似解
近似值公式
不定积分
原函数与不定积分的概念与性质
不定积分公式的各部分组成
可积条件
原函数存在定理
定理
性质
换元积分法
第一类换元法
凑微分法
第二类换元法
常用的变量代换
三角代换
倒代换
指数代换
根式代换
万能代换
分部积分法
被积函数中含有两种不同类型函数的乘积时，常考虑用分部积分法
选择u v`时按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序
前面是u
后面是v`
有理函数的积分
有理函数真分式、假分式
任意一个有理函数真分式可以分解为四种部分分式的形式
有理真分式函数的积分，可按步骤来求
将Q(x)分解为一次因式与二次因式的乘积形式
用待定系数法将P(x)/Q(x)分解成部分分式之和
对每个简单部分分式逐步积分
四种基本类型的积分
三角函数有理式的积分
可通过万能代换公式进行计算
先通过三角函数的积分变换被积函数 再用分部积分法或换元积分法计算
简单无理函数的积分
积分表的使用
定积分
定积分的概念与性质
定积分的概念
定积分公式
定积分的性质
函数的可积条件
可积的必要条件
可积的充分条件
微积分基本公式
微积分公式的构成
原函数存在定理
定理
微积分的积分上下限都是函数的积分，称为积分限函数
牛顿-莱布尼茨公式
也叫微积分基本公式
定积分的换元法和分部积分法
换元积分法
三换
一换积分变量
二换被积函数
三换积分上下限
利用被积函数的特点进行积分
分部积分法
分部积分法与不定积分一样
反常积分
两种反常积分
无穷限积分
瑕积分
由瑕积分延伸出的瑕点
反常积分的牛顿-莱布尼茨公式
计算瑕积分时要注意找到所有瑕点，用极限方法求，不能直接用常义积分
反常积分的审敛法 Γ函数
无穷限反常积分的审敛法
普通审敛法
比较审敛法
极限审敛法
无界函数的反常积分的审敛法
比较审敛法
极限审敛法
Γ函数
Γ函数的定义
Γ函数的图形
Γ函数的性质
定积分的应用
定积分的元素法
定积分在几何学上的应用
定积分在物理学上的应用
微分方程与差分方程
微分方程
微分方程的一般概念
微分方程
方程的阶
方程特解
方程通解
初始条件
一阶微分方程
可分离变量方程
齐次方程
一阶线性方程
伯努利方程
几种二阶微分方程
y`` = f(x)型
不显含y
y`` = f(x，y`)型
不显含x
y`` = f(y，y`)型
二阶常系数线性微分方程
二级常系数线性齐次方程
定义
解的结构
解法
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
二阶常系数线性非齐次方程
定义
解的结构
特解形式
利用待定系数法构造特解
可降阶的高阶微分方程
关于微分方程的解法
可降阶的二阶微分方程
差分方程
差分方程的一般概念
差分的概念
差分方程及其解的概念
差分方程
方程的阶
方程的解
方程特解
方程通解
一阶和二阶常系数线性差分方程
线性差分方程
四个公式
线性差分方程解的性质
叠加原理
n阶齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解
如果y1(x),y2(x)是非齐次线性方程的解，
则y1(x)-y2(x)是n阶非齐次线性差分方
程的对应齐次方程n阶齐次线性差分方程
的解.
则y1(x)-y2(x)是n阶非齐次线性差分方
程的对应齐次方程n阶齐次线性差分方程
的解.
已知解y1(x)与y2(x)，可知y1(x)+y2(x)是某式子的解
线性差分方程的结构定理
一阶常系数线性差分方程
形式
解的结构
解法
迭代法
待定系数法
二阶常系数线性差分方程
形式
解法
利用Δ求通解
待定系数法
欧拉方程
欧拉方程的特点
齐次方程是x的k次幂乘y的k次幂的线性组合为0的形式
经过x = e的t次幂变换
欧拉方程的计算
可以直接套公式
向量代数与空间解析几何
向量及其线性运算
向量
向量的定义
向量相等
向量的模
单位向量
平行向量
向量的坐标
方向角与方向余弦
向量在轴上的投影
向量的线性运算性质
加减法运算
数乘运算
性质
数量积、向量积、混合积
数量积
数量积定义
在直角坐标系下的公式
向量a在向量b上的投影
用数量积表示向量的模
数量积提供了判断两个向量是否垂直的依据
a ⊥ b = 0
用投影可以表示向量的数量积
数量积满足的运算规律
交换律
结合律
分配律
向量积
向量积的定义
a × a = 0
向量积提供了判断两个向量是否平行(共线)的依据
a ∥ b = 0
向量积的运算规律
b × a = - a × b
分配律
结合律
向量积的引入为我们提供了刻画两向量公垂线方向的数学工具
混合积
混合积的定义
三向量的混合积
(a × b) · c
根据行列式的运算性质，得到混合积的交换法规
混合积的引入为我们提供了三个向量共面的依据
(a × b) · c = 0
向量之间的几何关系
两向量平行(共线)
两向量垂直
三向量共面
平面及其方程
平面的方程
点法式方程
一般式方程
截距式方程
两平面之间的关系
两平面的夹角
两平面平行
两平面垂直
点到平面的距离
点到平面的距离公式
求平面方程常用的方法
点法式
一般式
平面相交情况
垂直已知直线的平面
空间直线及其方程
直线方程
一般方程(交面式方程)
对称式方程(点向式方程)
参数方程
两点式方程
直线、平面、点之间的关系
两直线间的关系
两直线的夹角
两直线平行(含重合)
两直线垂直
两直线共面
两直线异面
直线与平面间的关系
直线与平面的夹角
直线与平面垂直
直线与平面平行
直线在平面上
直线与平面相交
点到直线的距离
曲面及其方程
空间曲面方程
一般式方程
显式方程
参数方程
旋转曲面方程
旋转曲面方程式子
旋转曲面由母线和旋转轴确定
柱面方程
应注意准线和母线两个要素
几种常见的二次曲面的标准方程
球面方程
椭球面方程
单叶双曲面方程
双叶双曲面方程
椭圆抛物面方程
双曲抛物面方程
又称马鞍面
圆柱面方程
椭圆柱面方程
双曲柱面方程
抛物柱面方程
空间曲线及其方程
空间曲线方程
一般方程
参数方程
空间曲线在坐标面上的投影
求投影曲线方程的方法
多元函数微分法及其应用
多元函数的基本概念
平面点集
内点、外点、边界点
邻域
开集与闭集
有界集与无界集
区域与闭区域
聚点、孤立点
他们之间的关系以及他们之间的区别
多元函数
二元函数定义
多元函数定义
多元函数的极限
二重极限定义
多元函数的极限和一元函数的极限的关系
多元函数的极限和一元函数的极限的区别
二元函数满足四则运算法则及符合运算性质
求二元函数极限常用方法
通常用定义来求解
利用极限的性质
根据函数的特点设极坐标
利用不等式
当二元函数在(x,y)处连续时，极限值等于函数值
证明函数不存在的方法
沿某特殊路径极限不存在
沿不同路径极限不相等
多元函数的连续性
多元函数连续性的定义
多元函数(连续)具有的性质
多元函数(连续)具有的定理
偏导数
偏导数的定义
偏导数的几何意义
多元函数的各偏导数在某点都存在，但不能保证函数在该点连续
偏导数的计算
高阶偏导数
全微分
全微分的定义
全微分的几何意义
全微分的性质
可微分则连续
全微分存在的必要条件
全微分存在的充分条件
检验一个多元函数是否可微的方法
求分段函数在分段点处全微分
多元复合函数的求导法则
复合函数的中间变量均为一元函数的情形
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形
包含一种特殊情形
这里包含了四个定理
涉及二阶符合偏导数的计算
全微分形式不变性
隐函数的求导公式
隐函数存在定理
两个定理
求 z 对 x , y 的偏导的方法
公式法
直接法
全微分法
多元函数微分学的几何应用
空间曲线的切线与法平面
定义
求法
曲线方程为参数方程
曲线方程为一般式方程
空间曲面的切平面与法线
定义
求法
曲面方程为显式方程
曲面方程为隐式方程
方向导数与梯度
方向导数
方向导数的定义
方向导数公式
方向导数的性质
方向导数的几何意义
梯度
梯度的定义
梯度方向
梯度的模
方向导数与梯度的关系
多元函数的极值及其求法
无条件极值
定理
极值的必要条件
极值的充分条件
条件极值
条件极值的求法
化为无条件极值
拉格朗日乘数法
无条件极值的充分条件可判别驻点(x , y)是否为极值点
二元函数的泰勒公式
最小二乘法
重积分
二重积分的概念与性质
二重积分的概念
二重积分的定义
利用二重积分的定义对某些问题加以证明的过程要注意两点
二重积分的几何意义与物理意义
二重积分的存在性
二重积分的性质
线性性质
区域可加性
比较定理
估值定理
中值定理
二重积分的计算法
利用直角坐标系计算二重积分
先对y积分再对x积分
先对x积分再对y积分
利用直角坐标系求二重积分时的步骤
画草图
选序(选序三原则)
定限方法
计算二重积分时要注意
积分区域有时可能既是X型又是Y型
积分区域是X型与Y型区域混合
化简二重积分的计算
设D关于y轴对称
设D关于x轴对称
设D关于原点对称
设D关于直线y = x对称
利用极坐标系计算二重积分
极坐标计算二重积分分两种情形
先对ρ积分再对θ积分
先对θ积分再对ρ积分
注意
利用极坐标系计算二重积分首先要利用直角坐标系于极坐标系的转换公式
积分区域D的边界曲线也要转换为极坐标下的方程
一般极坐标系中二重积分的积分次序是先ρ后θ
积分跟随极点O与积分区域D的边界曲线的相应位置而定
当极点O在区域D的边界曲线外时
当极点O在区域D的边界曲线上时
当极点O在区域D的边界曲线内时
二重积分的换元法
二重积分的换元法中有一个雅可比式
三重积分的概念与性质
三重积分的概念
理解三重积分的概念时要注意
几何意义
物理意义
三重积分的定义
三重积分的性质
三重积分的性质与二重积分的性质相同
三重积分的计算法
利用直角坐标计算三重积分
投影法
截面法
利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标与直角坐标的关系
体积元素
化为三次积分
利用球面坐标计算三重积分
球面坐标与直角坐标的关系
体积元素
化为三次积分
注意
三重积分计算步骤
三重积分中的变量替换
与前面的二重积分的换元法类似
重积分的应用
重积分的几何应用
平面区域面积
空间区域体积
曲面的面积
利用曲面的参数方程求曲面的面积
重积分的物理应用
质量
质心
转动惯量
引力
含参变量的积分
含参变量积分的概念
含参变量积分的性质
曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义
性质
计算方法
细分几个步骤去计算
对坐标的曲线积分
定义
性质
计算方法
同对弧长的曲线积分一样
利用两类曲线积分的关系可以对两者进行转化
平面曲线L上两类曲线积分之间的联系
空间曲线Γ上的两类曲线积分之间的联系
格林公式及其应用
定理
格林公式的几点说明
曲线积分与路径无关问题
全微分方程，如果一阶微分方程且满足某些条件可得出其隐式通解
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分的概念
性质
计算方法可分为三类
往xoy面投影
往yoz面投影
往zox面投影
计算过程分步骤
根据曲面的形状确定最简单的投影方法
根据曲面方程求得相应的面积元素ds
将曲面方程表达式和面积元素ds代入被积表达式得到相应投影区域上的二重积分
计算转化后的二重积分
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分的概念
性质
对坐标的曲面积分的计算法
两种曲面积分的联系
高斯公式 通量与散度
格林公式与高斯公式的说明
格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系
而空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的联系是通过高斯公式体现的
而空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的联系是通过高斯公式体现的
高斯公式概念
研究场的重要公式之一
高斯公式
定理
哈密顿算符F · S为矢量
几点说明
利用高斯公式可以把对坐标的曲面积分化为三重积分
注意高斯公式应用的条件
Σ应为封闭曲面否则可引入辅助曲面
在应用高斯时，要清楚P，Q，R对什么变量求偏导
利用两类曲面积分之间的关系，可以把对面积的曲面积分先转化为对坐标的曲面积分，然后应用高斯
对于沿任意闭曲面的曲面积分为0的条件的结论
通量与散度
通量
通量的定义
散度
散度的定义
斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式
斯托克斯公式的概念
其实就是格林公式的推广
定理
斯托克斯公式
斯托克斯公式的行列式形式
利用斯托克斯公式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
环流量
环流量定义
旋度
旋度定义
无穷级数
常数项级数的概念与性质
级数收敛的定义
级数收敛的必要条件
可根据级数收敛判断通项的极限
常数项级数的审敛法
判定正项级数敛散性的步骤
判定交错级数敛散性的一般步骤
幂级数
阿贝尔定理
阿贝尔定理时判定幂级数收敛的基本定理
幂级数的和函数
可利用逐项求导、逐项积分的方法来求
一般函数项级数的敛散性判别
函数展开成幂级数
将函数展开幂级数
求出各阶导数
写出幂级数
考察泰勒公式中的余项的极限是否为0
泰勒级数展开式的形式是唯一的
函数的幂级数展开式的应用
利用函数的幂级数展开式进行计算
用e的z次幂表示整个复平面上的复变量指数函数
欧拉公式的两个形式
当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，可寻求幂级数解法
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
函数项级数一致收敛的定义
一致收敛级数的性质
一致收敛判别法
最值判别法
柯西准则
M-判别法
傅里叶级数
傅里叶级数的定义
周期函数展开式傅里叶级数的步骤
画草图
验证函数是否满足收敛定理条件
计算傅里叶级数
写出傅里叶级数
一般周期函数的傅里叶级数
偶延拓
奇延拓
补充
级数的定义
级数的理解
级数的性质
幂级数的展开式
泰勒公式
傅里叶级数
三角级数
洛朗级数
泰勒级数
发散性质
判别法
正项级数及其敛散性
比较审敛法
积分审敛法
比值审敛法
达朗贝尔判别法
根植审敛法
绝对收敛
交错级数
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