高数下册知识点笔记总结
2022-10-19 16:49:46 0 举报AI智能生成
高数下册知识点笔记总结
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大纲/内容
第七章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第二节 可分离变量的微分方程
g(y)dy=f(x)dx 两边分别积分
第三节 齐次方程
分支主题
第四节 一阶线性微分方程
分支主题
第五节 可降解的高阶微分方程
yⁿ=f(x)：逐次积分
分支主题
分支主题
第六节 高阶线性微分方程
线性相关概念
分支主题
分支主题
分支主题
分支主题
第七节 常系数其齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程→特征方程求解
n阶常系数齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程
分支主题
分支主题
分支主题
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
第二节 数量积 向量积 混合积
第三节 平面及其方程
曲面方程与空间曲线
平面点法式方程
平面的一般方程
两平面的夹角
垂直条件
平行条件
第四节 空间直线及其方程
空间直线的一般方程（两平面交线）
空间直线的对称式方程和参数方程
两直线夹角
垂直条件
平行条件
直线与平面
垂直条件
平行条件
第五节 曲面及其方程
第六节 空间曲线及其方程
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
二、定积分的定义
连续→可积
有界有限个间断点→可积
三、定积分的近似计算
矩形法
梯形法
抛物线法
四、定积分的性质
两个加法相关
=1则=a-b
f(x)gt;0则积分大于零
f(x)gt;g(x)则积分也大
|f(x)积分|lt;=积分|f(x)|
m,n是f(x)的最大、小值，则m(b-a)gt;=积分f（x）gt;=n(b-a)
定积分中值定理
第二节 微积分基本公式
lt;divgt;积分上限函数及其导数lt;/divgt;
牛顿-莱布尼茨公式
第三节 定积分的换元法和分部积分法
换元法：∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φapos;(x)dx
分部积分法：∫udv=[uv]-∫vdu
第四节 反常积分
无穷限的反常积分
无界函数的反常积分（瑕积分）
瑕点
极限存在→收敛
极限不存在→发散
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
第二节 定积分在几何学上的应用
平面图形的面积
直角坐标
极坐标 A=∫1/2[ρ（θ）]²dθ
体积
旋转体体积 V=∫π[f(x)]²dx
平面截面面积为已知的立体的体积 V=∫A(x)dx
平面曲线的弧长
直角坐标 s=∫√（1+yapos;²）dx
极坐标 s=∫√（ρ²（θ）+ρapos;²(θ)）dθ
第三节 定积分在物理学上的应用
第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
平面点集
内点 外点 边界点 聚点nbsp;
开集 闭集 连通集 区域（开区域） 闭区域 有界集 无界集
多元函数定义
多元函数极限
多元函数连续性
极限(x0,y0)=f(x0,y0) →连续
在（x0,y0）不连续，则是间断点
第二节 偏导数
偏导数：只对x/y求导
高阶偏导数
第三节 全微分
（必要条件）在某点可微分→偏导数一定存在
（充分条件）偏导数在某点连续→在该点可微分
第四节 多元复合函数的求导法则
第五节 隐函数的求导公式
一个方程
方程组
第六节 多元函数微分学的几何应用
一元向量值函数及其导数
空间曲线的切线与法平面
切线方程
法平面方程
曲面的切平面与法线
切平面方程
法线方程
第七节 方向导数与梯度
可微→方向导数存在
梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
（必要条件）具有偏导有极值→fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0
（充分条件）连续有一阶及二阶连续偏导fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，则AC-B²gt;0，有极值；lt;0无极值：=0不确定
条件极值 拉格朗日乘数法
第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
两个加法相关
在D上，f(x,y)=1，则∬dxdy=D
大小比较（与定积分同理）
最大、小值（与定积分同理）
二重积分的中值定理
第二节 二重积分的计算法
直角坐标
Y型：先x,再y
X型：先y,再x
极坐标
第三节 三重积分
第四节 重积分的应用
曲面的面积
质心
转动惯量
引力
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