高数知识点笔记总结分享
2022-10-20 17:55:31 0 举报AI智能生成
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大纲/内容
微分学的基本定理
微分
线性近似
局部线性近似公式
f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)
误差
微分
定理1
可微即可导
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
基本初等函数的微分公式
微分的四则运算法则
复合函数的微分法则及微分形式不变性
微分中值定理
定理2：费马定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
洛必达法则
0/0型
定理6（洛必达法则）
∞/∞型
0⋅∞型与∞-∞型
化为0/0型或∞/∞型
1^∞型、∞^0型及0^0型
洛必达法则在求数列极限中的应用
泰勒公式
泰勒公式
定理9（泰勒公式Ⅰ）
佩亚诺型余项
定理10（泰勒公式Ⅱ）
拉格朗日型余项
拉格朗日型余项
几个常用函数的泰勒公式
sinx
cosx
ln(1+x)
ex
(1+x)α
arctanx
导数的应用
函数的单调性、极值与最值
函数的单调性
函数的极值
极值点的必要条件
定理2（可微函数极值点的必要条件）
可微函数的极值点必为驻点，驻点未必是极值点
定理2'（极值点的必要条件）
函数的极值点必为临界点
极值点的充分条件
一阶充分条件
定理3
二阶充分条件
定理4
最大值与最小值
方程根的个数
函数的凸性与拐点
凸（凹）函数的概念
函数凸性的充分条件和必要条件
定理7(一阶充分条件）
定理8（二阶充分条件）
定理9
凸函数性质及其几何意义
性质1
凸函数图形在任一点处切线之上方
性质2
凸函数图形在任两点间的弧段必在其对应弦之下方
杰生不等式
拐点
定义
定理10'（拐点的必要条件）
二阶导数=0或不存在
定理11（拐点的充分条件）
二阶导数左右异号
平面曲线的曲率
曲率的概念
曲率的计算公式
曲率半径、曲率中心和曲率圆
R=1/K
渐近线
水平渐近线
铅直渐近线
斜渐近线
积分
定积分的概念
定积分的定义及其几何意义
定积分存在的条件
定理1（可积的必要条件）
有界
定理2（定积分存在定理）
连续或分段连续则可积
定积分的性质
性质1（定积分对被积函数的可加性）
性质2（定积分对被积函数的齐次性）
推论1
性质3（定积分对积分区间的可加性）
性质4
改变有限点函数值积分值不变
性质5（定积分对被积函数的保序性）
推论2（定积分对被积函数的保号性）
性质6（定积分的估值定理)
性质7（定积分的中值定理）
广义积分中值公式
微积分基本定理
微积分第一基本定理
变上限积分函数 变下限积分函数
定理3（微积分第一基本定理）
求导运算与积分运算互逆
原函数和不定积分
定理4（原函数存在定理）
连续函数必有原函数
定理5
任意两个原函数相差一个常数
定理6
微积分第二基本定理
定理7（微积分第二基本定理）
牛顿-莱布尼茨公式
积分法
不定积分的基本积分法
不定积分的性质
性质1
两个函数和得不定积分等于不定积分的和
性质2
不为零的常数因子可移到积分号外
不定积分运算是线性运算
不定积分的换元法
第一换元法（凑微分法）
（1）凑微分
（2）换元
（3）计算积分
（4）回代
第二换元法
x=g(t)
三角代换
x=asint
x=atant
x=asect
根式代换
倒代换
不定积分的分部积分法
反对幂三指
几种特殊类型函数的积分
有理函数的积分法
假分式转化为真分式，真分式转化为部分分实之和
三角有理函数的积分法
万能变换 t=tanx/2
简单无理函数的积分法
导数与极限
导数的概念
极限
数列极限的定义
定理1
定理2
收敛数列必是有界数列
函数极限的定义
自变量趋于有限值时函数的极限
单侧极限
定理3（极限与左、右极限的关系）
自变量趋于无穷大时函数的极限
定理4
极限的性质
定理5（唯一性定理）
定理6（局部有界性定理）
定理7（局部保序性定理）
无穷小与无穷大
无穷小
无穷大
极限的运算法则
无穷小的运算法则
有限个无穷小的和仍是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
极限的四则运算法则
可加性
齐次性
复合函数求极限的变量代换（换元）法 则
极限存在的两个准则
准则1（夹逼准则）
准则2（单调有界准则）
两个重要极限
无穷小的比较
无穷小的阶
同阶
等价
高阶 低阶
k阶
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