高数微积分知识点笔记总结
2022-10-20 17:56:12 0 举报AI智能生成
高数微积分知识点笔记总结
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大纲/内容
函数，极限，连续
函数的概念及表示法
复合函数、反函数
分段函数和隐函数
基本初等函数的性质及其图形
初等函数
函数的概念
定义
表达式
函数关系的建立
函数的性质
有界性
单调性
单调
严格单调
周期性
并非每一个函数有最小正周期
奇偶性
数列极限与函数极限的定义及其性质
无穷大与无穷小
无穷小量和无穷大量的概念及其关系
无穷小量的性质及无穷小量的比较
用等价无穷小求极限
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹 逼准则
数列的极限
定义
几何意义
性质
函数的极限
定义
x→xo
x→无穷
几何意义
左右极限
左右极限存在与函数极限关系
左右极限各自存在并相等
极限的性质和四则运算法则
函数连续的概念
连续函数的性质
初等函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
有界性
最大值，最小值定理
介质定理
定义
左右连续
函数间断点的类型
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
一元函数微分学
导数和微分的运算
导数的四则运算
微分的四则运算
一阶微分形式的不变性
基本初等函数的导数
复合函数、反函数、隐函数以及参数方程
所确定的函数的微分法
导数和微分
定义
关系
几何意义
平面曲线
切线方程
法线方程
物理意义
f(x)在xo可导，则f(x)在点xo连续
中值定理及导数的应用
微分中值定理
费马引理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
闭区间连续，开区间可导
洛必达（L’Hospital）法则
泰勒公式
单调性和极值
函数单调性的判别
函数的极值
函数的最大值与最小值
曲线的凹凸与函数的作图
函数图形的描绘
凹凸性
f[(x+y)/2]与[f(x)+f(y)]/2
拐点
凹弧和凸弧的分界点
二阶导等于零不一定是拐点
渐近线
水平
铅直
斜渐近线
曲率
曲率圆与曲率半径
曲率的概念
弧微分
一元函数积分学
不定积分
定义
原函数
基本公式
性质
几何意义
曲线簇
应用方法
换元积分法
第一类
凑微分法
第二类
改变自变量
分部积分法
（幂函数）*指数函数或三角函数
（对数函数或反三角函数）*幂函数
指数函数*三角函数
循环积分
特殊类型函数积分
有理函数的不定积分
拆为部分分式
三角函数有理式
万能公式
三角变换
简单无理函数
换元
第二类换元积分法
定积分
定义
性质
积分中值定理
应用方法
换元积分法
分部积分法
牛顿-莱布尼茨公式
积分上限函数
导数
反常积分
有界函数，无界区域
无界函数，有界区域
向量代数和空间解析几何
向量
运算
线性运算
数量积
向量积
向量的坐标表达式及其运算
关系
垂直
平行
夹角
单位向量
方向数与方向余弦
曲面方程和空间曲线方程
平面方程
点到平面的距离
夹角以及平行、垂直的条件
直线方程
点到直线距离
空间曲面
球面
柱面
常用的二次曲面方程及其图形
空间曲线的参数方程和一般方程
空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
常微分方程
一阶微分方程
可分离变量
一阶齐次
u=y/x
一阶线性
公式
伯努利方程
同乘y^-n
全微分方程
高阶微分方程
y^(n)=f(x)
多次积分
y''=f（x，y'）
y'=p(x),y''=p'
y''=f(y,y')
y'=p(y),y''=p*(dp/dy)
常系数线性微分方程
齐次
解的结构
非齐次
f(x)=(e^λx)*Pm(x)
欧拉（Euler）方程
(x^n)*（y^(n))
t=lnx
无穷级数
常数项级数
收敛
发散
级数和
必要条件
极限为0
充要条件
柯西审敛原理
基本性质
四性质
正项级数
审敛法
比较审敛法
p级数
极限形式
比值审敛法
根值审敛法
几何级数与p级数及其收敛性质
交错级数
莱布尼茨审敛法
绝对收敛
条件收敛
幂级数
收敛域
收敛半径
收敛区间
性质
加减
和函数端点值
逐项积分，求导
和函数
简单幂级数的和函数的求法
函数展开成幂级数
初等函数的幂级数展开式
泰勒级数
展开条件
领域内任意阶可导
n阶余项趋近于0
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