高数函数与极限知识框架笔记
2022-10-20 17:57:04 0 举报AI智能生成
高数函数与极限知识框架笔记
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大纲/内容
无穷大与无穷小
无穷小
定义
定理
无穷大
定义
定理，无穷大与无穷小的倒数关系
极限运算法则
定理，无穷小和为无穷小 乘积为无穷小
函数和的极限等于极限的和，反之亦然 乘积同上
推论，幂次方、与常数的乘积符合上述原则
极限存在法则/两个重要极限
夹逼准则
Lim(x->0)(sinx/x)=1
柯西极限存在准则（柯西审敛原理）
lim(1+0)^00=e lim(1-0)^00=1/e
映射与函数
分支主题
原像-像 X-Y x-y Df-Rf 定义域-值域
单射
存在逆映射
满射
同时成立-一一映射
复合映射
函数
构成要素
定义域Df
对应法则f
表示方法
表格法
图形法
解析法（公式法）
类别
绝对值函数|x|
取整函数（阶梯曲线y=[x]） （非初等函数）
符号函数y=sgnx （非初等函数）
分段函数（ 波义耳定律（V不太小） 范德瓦尔斯方程（V相当小） ）
反函数-直接函数
反函数关于y=x对称
复合函数（中间变量）
特性
有界性
单调性
奇偶性
周期性
特殊：狄利克雷函数（无最小正周期） 非初等函数
运算
f(x)=g(x)+h(x) 偶g(x)=1/2[f(x)+f(-x)] 奇h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]
初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
特殊函数
双曲正弦shx=(e^x-e^-x)/2 双曲余弦chx=(e^x+e^-x)/2 双曲正切thx=shx/chx=(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)
数列的极限
收敛&发散
数轴上几何表示
收敛数列的性质
极限的唯一性
收敛数列的有界性
收敛数列的保号性
收敛数列与其子数列间的关系
推论（发散数列也可能有收敛的子数列）
函数的极限
概念
邻域半径
单侧极限
左极限
右极限
极限存在《=》左极限右极限各自存在且相等
性质
唯一性
局部有界性
局部保号性
函数与数列极限存在关系
无穷小的比较
无穷小定义
高/低/同/K阶的无穷小，等价无穷小（a~b）
定理 b=a+0(a)
应用 sinx~x e^x-1~x tanx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 (1+x^m)^1/n-1~1/n x^m ln(1+x)~x
等价无穷小的性质
反射性
对称性
传递性
函数的连续性与间断点
连续性
定义
左连续 右连续
区间上的连续函数 函数在该区间上连续
端点，右连续/左连续
间断点/不连续点（存在三种情况）
无穷间断点
震荡间断点
可去间断点
跳跃间断点
左右极限存在为第一类间断点 否则为第二类间断点
连续函数的运算与初等函数的连续性
和差积商连续性不变
反函数对应区间对应单调且连续
复合函数
对应连续（传递）
初等函数
在定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质
最大值可等于最小值
定理一，有界性，存在最值
零点定理
介值定理
推论
闭区间一致连续性定理
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