数学线代知识点考研笔记总结
2022-10-21 10:16:10 0 举报AI智能生成
数学线代知识点考研笔记总结
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大纲/内容
行列式
定义、性质与定理
n阶行列式定义
n个向量为邻边的n维图形的体积
行列式的性质
性质1
行列互换，其值不变
性质2
某行（列）元素全为零，则行列式为零
性质3
两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
性质4
某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和
性质5
两行（列）互换，行列式的值反号
性质6
某行（列）元素有公因子k（k≠0），则k可提到行列式外面
性质7
某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
行列式的展开定理
重要行列式
具体型行列式的计算：aij已给出
化为“12+1”型行列式
加边法
递推法（高阶→低阶）
数学归纳法（低阶→高阶）
抽象型行列式的计算：aij未给出
用行列式性质
用矩阵知识
用相似理论
用方程知识
余子式和代数余子式的计算
用行列式
用矩阵
用特征值
用余子式问题
分支主题
矩阵运算
求A^n
A为方阵且r(A)=1→A^n=[tr（A）]^n-1*A
试算A^2(或A^3),找规律
分解A===B+C
用初等矩阵知识求PAP
用相似理论求A^n
关于A*，A^-1与初等矩阵
A*
定义
公式
秩
A^-1
定义
性质
求A^-1
具体型
抽象型
分块矩阵
初等矩阵
定义
初等变换
初等矩阵
性质
左行右列定理
矩阵方程
定义
化简
求解
二次型
二次型及其标准形、规范形
二次型及其矩阵表示
线性变换
二次型的标准形、规范形
标准形
规范形
惯性定理
配方法
含平方项
不含平方项
常用场合
矩阵语言
正交变换法
基本步骤
反求参数
反求A（或f）
最值问题
A的特征值大小排序为λ1≤λ2≤……≤λn
正定二次型
前提
二次型f=xTAx正定的充要条件
二次型f=xTAx正定的必要条件
线性方程组
具体型方程组
齐次线性方程组
解向量及其性质
基础解系
齐次线性方程组有非零解的充要条件及通解
充要条件
通解
非齐次线性方程组
克拉默法则
几个相关问题的等价性
非齐次线性方程组有界的充要条件
非齐次线性方程组解的结构
解含参数的线性方程组
将系数矩阵（齐次方程组）或增广矩阵（非齐次方程组）先用初等行变换化为阶梯型，再用方程组理论判别，求解
对“方形”（方程个数=未知数个数）的方程组
求解两个方程组的公共解与同解问题
求两个方程组的公共解
同解方程组
抽象型方程组
解的判定
基础解系
解的结构
解与系数的关系
用方程组的解讨论秩
向量组
定义与定理
定义
n维向量
线性组合
线性表出（示）
线性相关
线性无关
判别线性相关性的七大定理
定理1
定理2
定理3
定理4
定理5
定理6
定理7
具体型向量关系
β与α1，α2，……，αn
建方程组
化阶梯型
α1，α2，……，αn
向量个数大于维数
向量个数等于维数
向量个数小于维数
求极大线性无关组
初等行变换不改变列向量组的线性相关性（同解、系数相同）
求此极大线性无关组
抽象型向量关系
用定义法
用秩
向量组等价
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