无穷级数知识点数学考研笔记
2022-10-21 10:18:33 0 举报AI智能生成
无穷级数知识点数学考研笔记
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大纲/内容
常数项级数
概念
Un求和
收敛 or 发散可判定（lim Sn存在，则收敛；不存在即为发散）
*如何求和？
等比求和 Sn=a1(1-q的n次）/1-q (|q|＜1，收敛，|q|≥1，发散
裂项 Σ(Un-Un+1) Sn=U1-Un+1
性质
ku与u 同敛散
u和v 都收敛，则u+v 必收敛 （两收就是收，一收一发是发散，两发无法判断敛散性）
级数中加减有限项，不会改变级数敛散性
若U1+U2+U3+U4 收敛，则（U1+U2）+（U3+U4) 仍收敛且其和不变
级数收敛必要条件：Un收敛，则 limUn=0 (若limUn≠0，则Un 发散）
正项级数
定义
Un求和且Un≥0，则Un为正项级数
收敛的充要条件
Un收敛则部分Sn有上界（反之也可）
正项级数敛散性判别法
比较判别法
“大收则小收，小发则大发”
limUn/Vn=L
0＜L＜+∞ ，u与v同敛散
L=0，v收敛则u收敛，U发则V发
L=+∞，v发散则u发散，U收则V收
p级数的三点
比值审敛法 （连乘，既含n！又含n的n用他）
ΣUn满足lim Un+1/Un=L
0≤ L＜1 ，Un收敛
1＜L ≤+∞， Un发散
L=1，无法判断敛散性
根值审敛法
ΣUn满足lim (n次根号下Un）=L
0≤ L＜1，Un收敛
1＜L≤+∞，Un发散
L=1，无法判定敛散性
积分判别法（新增）
f(x)在[1,+∞)上非负递减，则正项级数Σf(n)与反常积分同敛散
交错级数
定义
Un＞0，求和（-1）n次方Un 或 求和（-1）n-1次方Un为交错级数
莱布尼兹判别法 （是一个充分不必要条件）
交错级数满足条件：Un＞Un+1（单减）且 limUn=0，则交错级数收敛
任意项级数
若求和 l Un l 收敛，就称绝对值Un绝对收敛 （如果级数 ΣUn绝对收敛，则级数求和Un必定收敛）
若ΣUn收敛，但求和 l Un l 发散，就称ΣUn条件收敛
若级数Un绝对收敛，则（Un+ |Un| )/2与（Un- |Un|）/2 都收敛 若级数Un条件收敛，则（Un+ |Un| )/2与（Un- |Un|）/2 都发散
若ΣUn绝对收敛，则|Un|收敛且Un收敛 若ΣUn条件收敛，则|Un|发散且Un收敛
*常见的条件收敛的例子
Σ(-1)的n次*1/n，Σ(-1)的n次1/lnn，Σ(-1)的n次*1/nlnn，Σ(-1)的n次*1/根号n
绝收+绝收=绝收，绝收+条收=条收，条收+条收=收敛
函数项级数
定义
Un(x)在I上有定义，称U1(x)+U2(x)+....为定义在I上的一个函数项级数，Un(x)为通项，Sn(x)=ΣUk(x)称为部分和函数；
若数项级数ΣUn(xo)收敛，则称xo是ΣUn(x)的一个收敛点，所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域 I
和函数
ΣUn(x)=S(x)成立，ΣUn(x)为和函数，Sn(x)=ΣUk(x)为部分和函数
幂级数
定义
an为无穷数列，形如Σan(x-xo)n次方的和函数称为xo处的幂级数，其中常数a0,a1...称为幂级数的系数
敛散性及收敛半径
Abel定理
幂级数在x=xo收敛，当|x|＜|xo|，幂级数绝对收敛；（x=0处收敛） 幂级数在x=xo发散，当|x|＜|xo|，幂级数发散
（-R,R）为幂级数收敛区间
当|x|＜R，幂级数绝对收敛 当|x|＞R，幂级数发散 当x=R 或x=-R 幂级数可能收敛也可能发散
若幂级数在(-∞，+∞)上每一点都收敛，就规定R=+∞ 若幂级数仅在x=0处收敛，就规定R=0
收敛半径求解方法
lim | an/an+1 |=R
幂级数通项看成Un，当lim |Un+1(x)/Un(x)| ＞1，幂级数发散 当lim |Un+1(x)/Un(x)| ＜1，幂级数收敛 【收敛为闭区间】
性质
幂级数an的n次收敛半径为Ra，bn的次收敛半径为Rb，则Σan+bn=Σ（an+bn)x的n次 （收敛半径为R=min（Ra,Rb），其中Ra≠Rb
幂级数的和函数S(x)在收敛域I上连续
幂级数在收敛区间内可逐项求导【（Σ）’=Σ（）' 】 （原先收敛求导后可能发散，原先发散求导后可能还发散）
幂级数在收敛区间内可逐项积分
利用幂级数展开式求和
Σx的n次 结合模型用微积分工具求和函数（三种）
幂级数求和函数
利用幂级数展开式求和
Σx的n次 结合模型用微积分工具求和函数（三种）
函数的幂级数展开式 （看例题即可,只可意会)
直接展开法
间接展开法
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