数学三角函数知识点笔记总结
2022-10-21 14:35:53 0 举报AI智能生成
数学三角函数知识点笔记总结
作者其他创作
大纲/内容
定义
角的概念
点 射线 旋转
扇形
弧长
αl
面积
1/2αl＝1/2αr²
定义
sinα=y
cosα=x
tanα＝y/x (单位圆)
应用
角及其表示
终边 统一
弧度制及其应用
扇形
弧长及面积公式
圆心角所在三角形
扇形面积最值
转化为二次函数最值
三角函数的概念
终边一点可求三角函数
三角函数可得终边位置
判定各象限角三角函数符号
图象与性质
定义域
R [kπ,(k+1)π]
值域
[－1,1] R
周期性
2π π
奇偶性
sinx 奇 cosx 偶 tanx 奇
单调性
sinx (－1/2π+2kπ,1/2π+2kπ)↑
(1/2π+2kπ,3/2π+2kπ)↓ cosx (-π+2kπ,2kπ)↑
(2kπ,π+2kπ)↓ tanx ↑
对称性
sinx 原点 cosx y tanx 原点
图象的变换
五点作图法求解析式
α=0 1/2π π 3/2π 2π
求中心/轴
判断中心/轴
代入看最值/0
图象变换
对x
先平移后伸缩
先伸缩后平移
y=Asin(ωx+φ)+k
A 振幅 w 频率 φ 左右位移 k 上下位移
已知解析式求单调区间
ωx+φ视为整体 不等式
w＜0 诱导公式化为正
已知三角函数单调区间求参数
求单调区间+集合关系
求φ
已知点或最值点代入
五点法中特殊点代入
性质
换元法
数形结合
方程根个数
两个函数图象交点个数
三角函数模型应用
已知模型求解数学问题
实际问题化为抽象三角函数求解
同角三角关系及诱导公式
化简和求值
三角形中
诱导公式
奇变偶不变 符号看象限
两应用
求值:负化正，大化小 化简:统一角，统一名
2π整数倍直接去掉
sinα,cosα的齐次式
同除cosα
1的活用
sinα+-cosα与sinαcosα关系
(sinx+-cosx)²=1+－2sinxcosx 知一求二
平面向量的数量积
定义
acosα
几何意义
投影长度
基本运算
两个平面向量垂直关系
相乘为0
夹角
尾尾相对的角
模
√x²+y²
三角的恒等变换
非特殊角求值
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cosα²-sinα² =2cosα²-1(升幂公式) =1－2sinα²(升幂公式)
降幂公式:cos²α=1+cos2α/2 sin²α=1－cos2α/2
tan2α=tanα+tanα/1－tan²α
cos(α+-β)=cosα-+cosβ
sin(α+-β)=sinαcosβ+-cosαsinβ
tan(α+-β)=tanα+-tanβ/1－+tanαtanβ
给值求值
整体思想
给值求角
“所求角”用“已知角”表示
已知角两个
所求角为两个已知角的和或差
已知角一个
所求角与已知角的和差关系
配角技巧
2a=(a+b)+(a-b)
a=(a+b)-b
b=a+b/2－a-b/2
a=a+b/2+a-b/2
a-b/2=(a+b/2)-(a/2+b)
三角函数的化简与证明
看角 名 式子结构与特征
角之间的关系(和差倍互余互补)→公式
解三角形
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R
a:b:c=sinA:sinB:sinC
asinB=bsinA bsinC=csinB csinA=asinC
余弦定理
a²=b²+c²－2bccosA b²=a²+c²-2accosB c²=a²+b²-2abcosC
cosA=b²+c²-a²/2bc cosB=a²+c²-b²/2ac cosC=a²+b²-c²/2ab
三角形面积公式
S=1/2ah =1/2absinC =1/2bcsinA =1/2acsinB =1/2r(a+b+c)
测量术语
仰角与俯角
方位角
北方向 顺时针
方向角
坡角与坡比
利用正余弦解三角形
已知部分元素求解其余元素
方程思想
边角互化
A+B+C=π
判断三角形形状
因式分解 配方 边关系
三角恒等变换 角关系
小贴士
角统一
公式
α+β=π/2 π 3π/2 2π
特殊角
已知角表特殊角
知一求二
比较角大小
换成sin(正弦公式)
边化角
a=2Rsinα
角化边
sinα=a/2R
三角范围
边化角 用三角函数
y=asin²x+bsinx+c 化为二次函数
y=asinxcosx+b(sinx+-cosx)+c t=sinx+-cosx 二次函数
复杂函数 求导单调性得最值
中线定律
余弦定理
提供方程
角位置
两次方程
角化边
正弦定理
边化角
角化边
同角三角关系
sina²+cosα²=1
正余弦互化
公式逆用与变形
tanα=sina/cosα
弦切互化
周期
sinx cosx T=2π/|ω| |sinx cosx | tanx T=π/|ω|
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