专升本高等数学知识框架笔记
2022-10-26 09:58:17 0 举报AI智能生成
专升本高等数学知识框架笔记
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大纲/内容
x称自变量，y称因变量（函数），自变量x的取值范围称为函数定义域；f称为对应法则也叫表达式；x取得D内所有值时，对应的函数值构成的集合称为函数值域
概念定义
分式分母不为零
负数不能开偶次根
对数的真数大于零
三角函数tanx定义域x≠kπ+π/2，k∈Zcotx定义域x≠kπ，k∈Z
求定义域
定义域和对应法则都相同，为同一函数
判断函数是否相同
题型
函数f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对一切x∈I，都有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在区间I上有界，否则无界。
函数f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对一切x∈I，都有f(x)≤M，则称函数f(x)在区间I上有上界
函数f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对一切x∈I，都有f(x)≥M，则称函数f(x)在区间I上有下界
有界性
若f(a)＜f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调增加
若f(a)＞f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调减少
函数f(x)在区间I上有定义，a和b是区间I内任意两点，并且a＜b
相应的，I称为函数f(x)的单调增加（或减少）区间。
单调性
f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数
f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数
设函数f(x)在关于原点对称的区间D内有定义，如果对于任意的x∈D
偶+偶=偶，奇+奇=奇
偶×偶=偶，奇×奇=奇
偶×奇=奇，非零奇+偶=非奇非偶
性质
奇偶性
设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对任意的x∈D(x+T∈D)，总有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，称T为函数f(x)的周期，
函数y=Asin(ωx+ψ)+k，T=2π/ω
周期性
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
基本初等函数
初等函数
如果u=ψ(x)的值域和y=f(x)的定义域的交集为非空集合，则y通过u是x的函数，这个函数称为由y=f(u)及u=ψ(x)复合而成的复合函数，记为y=f[ψ(x)]，其中u称为中间变量，x为自变量
复合函数
由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的并且能用一个解析式表示的函数
换元法
恒等变形法
已知f[g(x)]和g(x)的表达式，求f(x)的表达式
已知f(x)和g(x)的表达式，求f[g(x)]
求表达式
由y=f(x)，解出x=f(y)，即用y表示x
讲x，y互换，得到反函数，注明反函数的定义域，即原函数的值域
求反函数
函数
任意ε＞0，存在正整数N＞0，当n＞N时，皆有|Xn-A|＜ε，称数列{Xn}收敛于A，数列的极限为A
定义
数列极限
当|x|无限增大即x→∞时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→∞函数f(x)的极限，记作limf(x)=A(x→∞）
当X趋于无穷大
函数f(x)在点X0的某一空心邻域内有定义，当x→X0时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→X0时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A(x→X0）
当x从大于X0的方向趋近于X0时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→X0时函数f(x)的右极限
当x从小于X0的方向趋近于X0时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→X0时函数f(x)的左极限
函数左极限和右极限存在且相等
函数趋近于某一点时的极限存在的充要条件
当X趋于某一定值
函数极限
极限运算法则
f(x)≤g(x)≤h(x)
夹逼准则
单调有界数列必有极限
单调有界准则
两个重要极限
四则运算
抓大头，分子分母同除以最高次项
约分通分有理化
等价无穷小性质与代换
洛必达法则
求极限
极限
在自变量的某一变化过程中，|f(x)|无限增大，就称f(x)是这一变化过程时的无穷大量
无穷大量
在自变量的某一变化过程中，函数极限为0，就称f(x)是这一变化过程时的无穷小量
极限存在limf(x)=A↔f(x)=A+α(x)，其中（α(x)为无穷小量）
与极限的关系
有限个无穷小量相加仍为无穷小量
有限个无穷小量相乘仍为无穷小量
无穷小量与有界变量相乘仍为无穷小量
常量与无穷小量相乘仍是无穷小量
之比为不为零常数
同阶无穷小
之比为1
常用等价无穷小
等价无穷小
之比为零
高阶无穷小
之比为无穷
低阶无穷小
无穷小量阶比较（同一变化过程）
互为倒数
无穷大量与无穷小量的关系
无穷小量
无穷大量与无穷小量
在X的某邻域内y有定义，当自变量的增量趋近于0时，对应的函数的增量也趋近于0，则称函数y=f(x)在点X0处连续，称X0为函数的连续点
在X0的某邻域内y有定义，当x趋近于X0时函数极限存在且等于函数在此点处的函数值，称函数y在点X0处连续，并称X0为函数y的连续点
当函数在X0处既左连续又右连续，则称函数y在点X0处连续
在一点连续
在X的某邻域内y有定义，若在X0处左极限等于此点函数值，称函数y在X0处左连续
左连续
在X的某邻域内y有定义，若在X0处左极限等于此点函数值，称函数y在X0处右连续
右连续
左连续和右连续
函数在点X0连续
闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值
最值定理
几何意义
介值定理
如果f(a)与f(b)异号，则连续曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点
推论1零点定理
推论2
复合函数连续性
初等函数连续性
函数在某点不连续，称函数在此点处间断，称此点为函数间断点
概念
左右极限都存在的间断点
左右极限存在且相等
可去
左右极限存在但不相等
跳跃
分类
第一类
凡不是第一类间断点的都成为第二类间断点
在第二类间断点中若左右极限或该点的极限中至少有一个为无穷大
无穷
间断点的极限震荡性不存在
振荡
第二类
间断点
函数连续性判断
间断点判定
方程根的存在性判定
区间上连续性（连续函数）
连续性
函数极限与连续
设函数f(x)在点X0的某邻域内有定义，自变量x在X0处有增量Δx，相应的函数增量Δy=f(X0+Δx)-f(X0)
如果Δx→0时极限limΔy/Δx=lim[f(X0+Δx)-f(X0)]/Δx存在，则称此极限值为函数f(x)在X0处的导数，记作f'(x)
x→x0 f'(x0)=lim[f(x)-f(x0)]/(x-
h→0 f'(x0)=lim[f(x0+h)-f(x0)]/h
定义式
某点的导数存在，则该点的导数表示的是函数在该点的切线的斜率
切线方程 y-y0=f'(x0)(x-x0)
若导数为0 切线垂直于Y轴，方程为y=f(x0)
若导数为∞ 切线垂直于X轴，方程为x=x0
切线
法线方程 y-y0=-(x-x0)/f'(x0)
若导数为0 法线垂直于X轴，方程为x=x0
若导数为∞ 法线垂直于Y轴，方程为y=f(x0)
法线
反函数的导数等于原函数的导数的倒数
反函数的导数
左导数和右导数同左右极限
可导必连续，连续不一定可导
可导与连续的关系
导数
常用求导公式（基本初等函数的导数）
和与差 (u±v)'=u'±v'
积 (uv)'=u'v+uv' (cu)'=cu'（c为常数）
商 (u/v)'=(u'v-uv')/v² (c/v)'=-(cv')/v²
函数和差积商求导法则
y=f(u)，u=g(x)则y'=f'(u)*g'(x)
复合函数求导法则
求导法则
两个函数相加后的高阶导数=两个函数的高阶导数相加
函数与一个常数相乘之后的高阶导数=这个常数与函数的高阶导数相乘
莱布尼茨公式
常见的高阶导数（基本初等函数）
高阶导数求导法则
以解析式y=f(x)形式确定的函数
显函数
隐函数
方程两端同时对x求导，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待
从求导后的方程中解出y'
隐函数求导允许其结果中含y
隐函数求导
幂指函数
由多个因式的积、商、幂构成的
先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导
y=u^v→两边取对数：lny=v*lnu→两边对x求导，y'/y=(v*lnu)'=(v'lnu+vu'/u)→y'=y*(v*lnu)'
方法
对数求导法
参数方程所确定的函数求导
求导方法
了解即可 函数y=f(x)的微分dy=y'dx表示的是增量dy=Δy、dx=Δx
可微必连续、连续不一定可微，某点不连续一定不可微
可微与连续关系
微分公式结合导数公式，在导数的基础上乘以dx
微分法则
闭区间连续，开区间可导
端点函数值相等
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
f(x)和g(x)都满足拉格朗日中值定理
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a) g(b)-g(a)=g'(ξ)(b-a)
f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
可由拉格朗日中值定理证明
柯西中值定理
中值定理
函数单调性
凹凸性
函数取到唯一的极值
不等式证明方法
0/0型和∞/∞型→函数之比的极限=导数之比的极限
将0*∞、∞-∞、1^∞、0^0、∞^0转化为0/0型或∞/∞型，再用洛必达法则
其他未定式极限计算
微分中值定理
函数微分
'(x)＞0，f(x)单调增加，f'(x)＜0，f(x)单调减少
先确定函数定义域
求f'(x)，找出可导点和不可导点
以（2）中的点作为隔断点列表，判断点左右的导数符号
步骤
极值最值
凹凸性、拐点
渐近线
导数应用
导数定义
导数几何意义
高阶导数求导
微分及其应用
复合函数、隐函数求导
微分中值定理及其应用
单调区间和极值
凹凸性与拐点
求渐近线
不等式证明
一元函数最值应用
一元函数微分学
运算法则
原函数存在定理
基本积分公式
第一类换元法-凑微分法
第二类换元法
换元积分法
分部积分法
特殊类型函数的积分
计算方法
不定积分概念与性质
换元法求不定积分
分部积分法求不定积分
不定积分
定积分概念与定义
定积分存在定理
变限积分求导
牛顿-莱布尼茨公式
换元和分部积分法
定积分计算
计算面积
旋转体的体积
应用
无穷区间上的广义积分
无界函数的反常积分
广义积分
变限积分及其导数应用
定积分性质
定积分应用
定积分
一元函数积分学
微分方程基本概念
可分离变量的微分方程
一阶线性微分方程
一阶微分方程
y(n)=f(x)型的微分方程
可降阶的高阶微分方程
解的结构
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶线性微分方程
各类型方程的通解和特解形式
各类方程的解法
注意
常微分方程
空间直角坐标系
空间两点间的距离
向量的基本概念
线性计算
向量的数量积
向量的向量积
向量的计算
向量的夹角
向量的平行与垂直
向量及其运算
平面点法式方程
平面的一般式方程
平面的截距式方程
空间平面方程
点到面的距离
两平面的夹角
两平面的位置关系
空间平面
空间直线的一般方程
空间直线的点向式方程与参数方程
空间直线方程
两直线的夹角
直线与平面的夹角
空间直线
球面
旋转曲面
柱面
空间曲面
椭球面
圆柱面
椭柱面
双曲柱面
抛物柱面
旋转抛物面
双曲抛物面（鞍形曲面）
椭圆抛物面
单页旋转双曲面
单叶双曲面
双叶旋转双曲面
双叶双曲面
双曲面
正锥面
圆锥面
椭圆锥面
锥面
二次曲面
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
空间曲线
空间曲面与曲线
向量代数的计算
平面方程的求法
直线方程的求法
点到平面的距离
直线、平面之间的位置关系
旋转曲面与二次曲面
空间解析几何与向量代数
邻域与区域
二元函数定义
二元函数的极限
二元函数的连续性
基本概念
高阶偏导数
偏导数
全微分概念
全微分计算法则
函数可微性的判断步骤
全微分
复合函数的求导法则
全微分形式的不变性
复合函数的求导
一元隐函数求导公式
二元隐函数求导公式
隐函数的求导法则
复合函数与隐函数求导
空间曲线的切线与法平面
曲线的切平面与法线
偏导数几何应用
极值
极值存在的必要条件
极值存在的充分条件
二元函数的极值与最值
函数的条件极值和拉格朗日乘法
极值的应用-最优化问题
二元函数的极值与应用
方向导数存在的条件及计算方法
方向导数
梯度
方向导数和梯度
二元函数的复合函数
求多元函数的极限
求多元函数的偏导数与全微分
多元复合函数的求导法则
求隐函数的偏导数与全微分
空间曲面的切平面和法线方程
空间曲线的切线和法平面方程
方向导数与梯度
多元函数极值
多元函数微分学
二重积分的几何意义
二重积分的性质
概念及性质
直角坐标系下的计算
极坐标系下的计算
二重积分的计算
平面图形的面积
曲顶柱体的体积
空间域的体积
体积
二重积分的应用
第一类曲线积分的计算
对弧长的曲线积分
第二类曲线积分的定义和性质
第二类曲线积分的计算
对坐标的曲线积分
曲线积分
格林公式
平面上曲线积分与路径无关的条件
二重积分性质
二重积分计算
交换积分次序
第二类曲线积分计算
两类曲线积分计算
多元函数积分学
数列级数概念
收敛级数的基本性质
调和级数
数项级数的概念审敛法
其收敛的充分必要条件
比较审敛法
比值审敛法
根值审敛法
极限审敛法
正项级数及其收敛法则
莱布尼茨定理
交错级数及其审敛法
绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法则
收敛点和发散点
收敛域和发散域
和函数
部分和
余项
函数项级数概念
幂级数概念定义
阿贝尔定理及其推论
幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域
幂级数及其收敛性
加减法
幂级数的和函数在收敛域上连续
幂级数的和函数在收半径上可导，并且有逐项求导公式，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
幂级数运算（和函数）
泰勒级数
麦克劳林级数
常用级数展开式
函数展开成幂级数
常数项级数的基本性质（敛散性）
常用比较级数
绝对收敛和条件收敛
判断级数的敛散性
阿贝尔定理
求收敛半径
幂级数在其收敛区间内的和、差、逐项求导与逐项积分
求和函数
幂级数
无穷级数
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