专升本高等数学知识框架笔记思维导图模板

函数极限与连续

函数

概念定义

若变量x在某一实数范围D内任取一个确定的数值时，变量y按照一定规律f有唯一确定的值与之对应，则称变量y是定义在集合D上的变量x的函数，记为y=f(x),x∈D

x称自变量，y称因变量（函数），自变量x的取值范围称为函数定义域；f称为对应法则也叫表达式；x取得D内所有值时，对应的函数值构成的集合称为函数值域

题型

求定义域

分式分母不为零

负数不能开偶次根

对数的真数大于零

三角函数tanx定义域x≠kπ+π/2，k∈Zcotx定义域x≠kπ，k∈Z

反三角函数arcsinx和arccosx定义域x∈[-1,1]

判断函数是否相同

定义域和对应法则都相同，为同一函数

性质

有界性

函数f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对一切x∈I，都有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在区间I上有界，否则无界。

函数f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对一切x∈I，都有f(x)≤M，则称函数f(x)在区间I上有上界

函数f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对一切x∈I，都有f(x)≥M，则称函数f(x)在区间I上有下界

单调性

函数f(x)在区间I上有定义，a和b是区间I内任意两点，并且a＜b

若f(a)＜f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调增加

若f(a)＞f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调减少

相应的，I称为函数f(x)的单调增加（或减少）区间。

奇偶性

设函数f(x)在关于原点对称的区间D内有定义，如果对于任意的x∈D

f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数

f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数

性质

偶+偶=偶，奇+奇=奇

偶×偶=偶，奇×奇=奇

偶×奇=奇，非零奇+偶=非奇非偶

周期性

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对任意的x∈D(x+T∈D)，总有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，称T为函数f(x)的周期，

函数y=Asin(ωx+ψ)+k，T=2π/ω

初等函数

基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

复合函数

如果u=ψ(x)的值域和y=f(x)的定义域的交集为非空集合，则y通过u是x的函数，这个函数称为由y=f(u)及u=ψ(x)复合而成的复合函数，记为y=f[ψ(x)]，其中u称为中间变量，x为自变量

初等函数

由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合而成的并且能用一个解析式表示的函数

题型

求表达式

已知f[g(x)]和g(x)的表达式，求f(x)的表达式

换元法

恒等变形法

已知f(x)和g(x)的表达式，求f[g(x)]

求反函数

由y=f(x)，解出x=f(y)，即用y表示x

讲x，y互换，得到反函数，注明反函数的定义域，即原函数的值域

极限

数列极限

定义

对于数列{Xn}，如果当n无限增大即n→∞时，数列一般项Xn无限接近与某一常数A，则称常数A为数列{Xn}的极限,也称数列{Xn}收敛于A。记作limXn=A或者Xn→A（n→∞）

任意ε＞0，存在正整数N＞0，当n＞N时，皆有|Xn-A|＜ε，称数列{Xn}收敛于A，数列的极限为A

函数极限

当X趋于无穷大

当|x|无限增大即x→∞时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→∞函数f(x)的极限，记作limf(x)=A(x→∞）

当X趋于某一定值

函数f(x)在点X0的某一空心邻域内有定义，当x→X0时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→X0时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A(x→X0）

当x从大于X0的方向趋近于X0时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→X0时函数f(x)的右极限

当x从小于X0的方向趋近于X0时，函数f(x)无限接近与一个确定的常数A，则称常数A为当x→X0时函数f(x)的左极限

函数趋近于某一点时的极限存在的充要条件

函数左极限和右极限存在且相等

极限运算法则

夹逼准则

f(x)≤g(x)≤h(x)

limf(x)=A,limh(x)=A，则limg(x)=A

单调有界准则

单调有界数列必有极限

两个重要极限

题型

求极限

四则运算

抓大头，分子分母同除以最高次项

约分通分有理化

两个重要极限

等价无穷小性质与代换

洛必达法则

无穷大量与无穷小量

无穷大量

在自变量的某一变化过程中，|f(x)|无限增大，就称f(x)是这一变化过程时的无穷大量

无穷小量

定义

在自变量的某一变化过程中，函数极限为0，就称f(x)是这一变化过程时的无穷小量

与极限的关系

极限存在limf(x)=A↔f(x)=A+α(x)，其中（α(x)为无穷小量）

性质

有限个无穷小量相加仍为无穷小量

有限个无穷小量相乘仍为无穷小量

无穷小量与有界变量相乘仍为无穷小量

常量与无穷小量相乘仍是无穷小量

无穷小量阶比较（同一变化过程）

同阶无穷小

之比为不为零常数

等价无穷小

之比为1

常用等价无穷小

高阶无穷小

之比为零

低阶无穷小

之比为无穷

无穷大量与无穷小量的关系

互为倒数

连续性

函数在点X0连续

在一点连续

在X的某邻域内y有定义，当自变量的增量趋近于0时，对应的函数的增量也趋近于0，则称函数y=f(x)在点X0处连续，称X0为函数的连续点

在X0的某邻域内y有定义，当x趋近于X0时函数极限存在且等于函数在此点处的函数值，称函数y在点X0处连续，并称X0为函数y的连续点

当函数在X0处既左连续又右连续，则称函数y在点X0处连续

左连续和右连续

左连续

在X的某邻域内y有定义，若在X0处左极限等于此点函数值，称函数y在X0处左连续

右连续

在X的某邻域内y有定义，若在X0处左极限等于此点函数值，称函数y在X0处右连续

区间上连续性（连续函数）

定义

如果函数y在开区间(a,b)内每一点都是连续的，则称函数y在开区间(a,b)内连续，或者y是(a,b)内连续函数

如果函数y在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续的，且在区间端点x=a处右连续，在端点x=b处左连续，则称函数y在闭区间[a,b]内连续，或者y是[a,b]内连续函数

性质

最值定理

闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值

介值定理

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)不等于f(b)，C为介于f(a)和f(b)之间的任一实数，则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=C

几何意义

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)不等于f(b)，则直线y=C（C介于f(a)和f(b)之间）与曲线f=(x)（a≤x≤b）至少有一个交点

推论1零点定理

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

几何意义

如果f(a)与f(b)异号，则连续曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点

推论2

闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必取得介于最大值和最小值之间的任何值

初等函数连续性

四则运算

复合函数连续性

初等函数连续性

间断点

概念

函数在某点不连续，称函数在此点处间断，称此点为函数间断点

分类

第一类

定义

左右极限都存在的间断点

分类

可去

左右极限存在且相等

跳跃

左右极限存在但不相等

第二类

定义

凡不是第一类间断点的都成为第二类间断点

分类

无穷

在第二类间断点中若左右极限或该点的极限中至少有一个为无穷大

振荡

间断点的极限震荡性不存在

题型

函数连续性判断

间断点判定

方程根的存在性判定

一元函数微分学

导数

定义

设函数f(x)在点X0的某邻域内有定义，自变量x在X0处有增量Δx，相应的函数增量Δy=f(X0+Δx)-f(X0)

如果Δx→0时极限limΔy/Δx=lim[f(X0+Δx)-f(X0)]/Δx存在，则称此极限值为函数f(x)在X0处的导数，记作f'(x)

定义式

x→x0 f'(x0)=lim[f(x)-f(x0)]/(x-

h→0 f'(x0)=lim[f(x0+h)-f(x0)]/h

几何意义

某点的导数存在，则该点的导数表示的是函数在该点的切线的斜率

切线

切线方程 y-y0=f'(x0)(x-x0)

若导数为0 切线垂直于Y轴，方程为y=f(x0)

若导数为∞ 切线垂直于X轴，方程为x=x0

法线

法线方程 y-y0=-(x-x0)/f'(x0)

若导数为0 法线垂直于X轴，方程为x=x0

若导数为∞ 法线垂直于Y轴，方程为y=f(x0)

反函数的导数

反函数的导数等于原函数的导数的倒数

可导与连续的关系

左导数和右导数同左右极限

可导必连续，连续不一定可导

求导法则

常用求导公式（基本初等函数的导数）

函数和差积商求导法则

和与差 (u±v)'=u'±v'

积 (uv)'=u'v+uv' (cu)'=cu'（c为常数）

商 (u/v)'=(u'v-uv')/v² (c/v)'=-(cv')/v²

复合函数求导法则

y=f(u)，u=g(x)则y'=f'(u)*g'(x)

求导方法

高阶导数求导法则

两个函数相加后的高阶导数=两个函数的高阶导数相加

函数与一个常数相乘之后的高阶导数=这个常数与函数的高阶导数相乘

莱布尼茨公式

常见的高阶导数（基本初等函数）

隐函数求导

显函数

以解析式y=f(x)形式确定的函数

隐函数

以二元方程F(x,y)=0形式确定的函数

隐函数求导

方程两端同时对x求导，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待

从求导后的方程中解出y'

隐函数求导允许其结果中含y

对数求导法

分类

幂指函数

由多个因式的积、商、幂构成的

方法

先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导

y=u^v→两边取对数：lny=v*lnu→两边对x求导，y'/y=(v*lnu)'=(v'lnu+vu'/u)→y'=y*(v*lnu)'

参数方程所确定的函数求导

由x=φ(t),y=ψ(t)确定y与x之间的函数关系，dy/dx=ψ'/φ'=(dy/dt)/(dx/dt)d²y/dx²={[d(dy/dx)]/dt}/(dx/dt)=(ψ'/φ')'/φ'

函数微分

定义

了解即可函数y=f(x)的微分dy=y'dx表示的是增量dy=Δy、dx=Δx

可微与连续关系

可微必连续、连续不一定可微，某点不连续一定不可微

微分法则

微分公式结合导数公式，在导数的基础上乘以dx

微分中值定理

罗尔中值定理

闭区间连续，开区间可导

端点函数值相等

必有至少一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0

拉格朗日中值定理

闭区间连续，开区间可导

必有至少一点ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)或[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)

柯西中值定理

可由拉格朗日中值定理证明

f(x)和g(x)都满足拉格朗日中值定理

f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a) g(b)-g(a)=g'(ξ)(b-a)

f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]

不等式证明方法

中值定理

函数单调性

凹凸性

函数取到唯一的极值

洛必达法则

0/0型和∞/∞型→函数之比的极限=导数之比的极限

其他未定式极限计算

将0*∞、∞-∞、1^∞、0^0、∞^0转化为0/0型或∞/∞型，再用洛必达法则

导数应用

单调性

'(x)＞0，f(x)单调增加，f'(x)＜0，f(x)单调减少

步骤

先确定函数定义域

求f'(x)，找出可导点和不可导点

以（2）中的点作为隔断点列表，判断点左右的导数符号

极值最值

凹凸性、拐点

渐近线

题型

导数定义

导数几何意义

高阶导数求导

微分及其应用

复合函数、隐函数求导

对数求导法

微分中值定理及其应用

单调区间和极值

凹凸性与拐点

求渐近线

不等式证明

一元函数最值应用

一元函数积分学

不定积分

概念定义

几何意义

性质

运算法则

原函数存在定理

基本积分公式

计算方法

换元积分法

第一类换元法-凑微分法

第二类换元法

分部积分法

特殊类型函数的积分

题型

不定积分概念与性质

换元法求不定积分

分部积分法求不定积分

定积分

定积分概念与定义

定积分存在定理

性质

定积分计算

变限积分求导

牛顿-莱布尼茨公式

换元和分部积分法

应用

计算面积

旋转体的体积

广义积分

无穷区间上的广义积分

无界函数的反常积分

题型

变限积分及其导数应用

定积分性质

定积分计算

定积分应用

常微分方程

微分方程基本概念

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

一阶线性微分方程

可降阶的高阶微分方程

y(n)=f(x)型的微分方程

y''=f(x,y')型的微分方程（不含未知函数y）

y''=f(y,y')型的微分方程（不含自变量x）

二阶线性微分方程

解的结构

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

注意

各类型方程的通解和特解形式

各类方程的解法

空间解析几何与向量代数

向量及其运算

空间直角坐标系

空间两点间的距离

向量的基本概念

向量的计算

线性计算

向量的数量积

向量的向量积

向量的平行与垂直

向量的夹角

向量的平行与垂直

空间平面

空间平面方程

平面点法式方程

平面的一般式方程

平面的截距式方程

点到面的距离

两平面的夹角

两平面的位置关系

空间直线

空间直线方程

空间直线的一般方程

空间直线的点向式方程与参数方程

两直线的夹角

直线与平面的夹角

空间曲面与曲线

空间曲面

球面

旋转曲面

柱面

二次曲面

椭球面

柱面

圆柱面

椭柱面

双曲柱面

抛物柱面

椭圆抛物面

旋转抛物面

双曲抛物面（鞍形曲面）

双曲面

单叶双曲面

单页旋转双曲面

双叶双曲面

双叶旋转双曲面

锥面

正锥面

圆锥面

椭圆锥面

空间曲线

空间曲线的一般方程

空间曲线的参数方程

题型

向量代数的计算

平面方程的求法

直线方程的求法

点到平面的距离

直线、平面之间的位置关系

旋转曲面与二次曲面

多元函数微分学

基本概念

邻域与区域

二元函数定义

二元函数的极限

二元函数的连续性

概念

性质

偏导数

概念

高阶偏导数

全微分

全微分概念

全微分计算法则

函数可微性的判断步骤

复合函数与隐函数求导

复合函数的求导

复合函数的求导法则

全微分形式的不变性

隐函数的求导法则

一元隐函数求导公式

二元隐函数求导公式

偏导数几何应用

空间曲线的切线与法平面

曲线的切平面与法线

二元函数的极值与应用

二元函数的极值与最值

极值

极值存在的必要条件

极值存在的充分条件

函数的条件极值和拉格朗日乘法

极值的应用-最优化问题

方向导数和梯度

方向导数

定义

方向导数存在的条件及计算方法

梯度

题型

二元函数的复合函数

求多元函数的极限

求多元函数的偏导数与全微分

多元复合函数的求导法则

求隐函数的偏导数与全微分

空间曲面的切平面和法线方程

空间曲线的切线和法平面方程

方向导数与梯度

多元函数极值

多元函数积分学

概念及性质

概念

二重积分的几何意义

二重积分的性质

二重积分的计算

直角坐标系下的计算

极坐标系下的计算

二重积分的应用

平面图形的面积

体积

曲顶柱体的体积

空间域的体积

曲线积分

对弧长的曲线积分

定义

性质

第一类曲线积分的计算

对坐标的曲线积分

第二类曲线积分的定义和性质

第二类曲线积分的计算

格林公式

平面上曲线积分与路径无关的条件

题型

二重积分性质

二重积分计算

交换积分次序

两类曲线积分计算

第二类曲线积分计算

平面上曲线积分与路径无关的条件

无穷级数

数项级数的概念审敛法

数列级数概念

收敛级数的基本性质

调和级数

常数项级数的审敛法则

正项级数及其收敛法则

其收敛的充分必要条件

比较审敛法

比值审敛法

根值审敛法

极限审敛法

交错级数及其审敛法

概念定义

莱布尼茨定理

绝对收敛与条件收敛

幂级数

函数项级数概念

定义

收敛点和发散点

收敛域和发散域

和函数

部分和

余项

幂级数及其收敛性

幂级数概念定义

阿贝尔定理及其推论

幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域

幂级数运算（和函数）

加减法

性质

幂级数的和函数在收敛域上连续

幂级数的和函数在收敛域上可积,并且有逐项积分公式，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

幂级数的和函数在收半径上可导，并且有逐项求导公式，逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

函数展开成幂级数

泰勒级数

麦克劳林级数

常用级数展开式

题型

常数项级数的基本性质（敛散性）

判断级数的敛散性

常用比较级数

绝对收敛和条件收敛

幂级数

幂级数及其收敛性

阿贝尔定理

求收敛半径

幂级数在其收敛区间内的和、差、逐项求导与逐项积分

求和函数