曲线积分和曲面积分知识点笔记总结
2022-10-26 17:25:24 0 举报AI智能生成
曲线积分和曲面积分知识点笔记总结
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大纲/内容
10.3 Green公式及其应用
10.3.1 Green公式
封闭曲线的正向
沿边界行走，区域始终在左边
圆环的话，内外圆正向相反
连通区域的分类
单连通区域
没洞
复连通区域
有洞
Green公式
条件
Py，Qx 具有连续的一阶偏导数
没有定义，更不可能有连续的偏导数！
分支主题
利用第二类曲线积分计算平面区域的面积
1/2倍的正向边界曲线上，xdy-ydx 的第二类曲线积分
10.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件
green定理
条件
偏导数连续
单连通区域
比 green 公式多的一条
要想说明与路径无关，必须在单连通（无洞）区域内证明 Qx=Py
分支主题
10.3.3 全微分求积 与 全微分方程求解
全微分求积
原函数存在的条件（green定理
单连通区域
偏导数连续
Qx=Py
分支主题
法二
由P对x积分得到U，再求Uy，与Q对比得hapos;（y），求得h（y）即得U
全微分方程求通解
全微分方程的定义
分支主题
全微分方程求解
Qx=Py
分支主题
Qx不等于Py
积分因子
方程两边乘上它以后就是全微分方程了
udu + vdv
分支主题
vdu + udv
分支主题
（vdu - udv）/ v^2
1/x （积分的时候）的原函数是 ln（|x|），别忘了绝对值！！！
不过题目中隐含 gt;0 时不用加（如原式中有 ln y）
全微分式中含有待定系数
条件
单连通区域
P，Q偏导数连续
验证1-3条中的一条成立
结论
Py=Qx，求得待定系数
Gauss公式
10.4.1 Gauss公式
定理
条件
P,Q,R在区域上有连续偏导数
注意公式中是外侧曲面！！内层曲面多一个负号！！
结论
分支主题
揭示了封闭曲面上的第二类曲面积分，与其包围区域上三重积分的关系
10.4.2 通量和散度
向量函数的通量（第二类曲面积分）
分支主题
向量函数的散度（数量：三个分量的偏导数之和）
分支主题
Stokes公式
10.4.3 Stokes公式
第二类曲线积分化为第二类曲面积分
条件
P,Q,R在S上有连续偏导数
分支主题
以 L 为边界的曲面有无数个，尽量选择简单的
第二类曲线积分直接化为第一类曲面积分
分支主题
分支主题
Stokes 公式的向量形式
分支主题
10.4.4 环量和旋度
向量值函数在某点处旋度（矢量）
分支主题
向量函数在封闭曲线上的环量（第二类曲线积分）
分支主题
N-L、Green、Gauss和Stokes公式的大一统形式
分支主题
第一类曲线积分
第一类曲线积分的概念
实际问题
物理意义——曲线形质线的质量
几何意义——柱面的面积
第一类曲线积分的定义
数量值函数 f(x,y) 在曲线C上的曲线积分
函数 f(x,y) 对弧长的曲线积分
第一类曲线积分的性质
与曲线方向无关
线性
路径可加性
中值定理
积分 = 某点函数值 * 弧长
被积函数为1时，第一类曲线积分表示弧长
第一类曲线积分的计算
参数化与 ds 的确定
分支主题
空间曲线的参数化常常借助三角代换
非常重要和易错：此积分式中下限一定比上限小！
因为ds是弧长，必取正值，故积分限应αlt;β
计算技巧
代入
奇偶性、对称性
第一类曲面积分
第一类曲面积分的概念
物理意义
求一块曲面的质量
定义
数量值函数 f(x,y,z) 在曲面上的曲面积分
f(x,y,z) 对面积的曲面积分
性质
线性
积分曲面的可加性
第一类曲面积分的计算
dS 的确定
法一：双参数化
分支主题
分支主题
法二：显式方程 z=z(x,y)
分支主题
法三：投影到 xoz 或 yuz 平面
柱面的处理方法
计算技巧
代入
扩大它的概念，不一定要换成常数，也可能利用代入把复杂的积分变简单！
奇偶性、对称性
轮换性
第二类曲线积分
10.2.1 第二类曲线积分的概念
定义
向量值函数在定向曲线C上的积分
两种形式
向量形式
分支主题
此处切向量是单位化的
坐标形式
分支主题
10.2.2 第二类曲线积分的计算
封闭曲线且无洞，green 公式
非封闭曲线且偏导相等，化为折线
若不等则补成封闭曲线
折线与曲线所围区域内无洞
空间封闭曲线上的第二类曲线积分
Stokes公式
参数化
xdx = 1/2 dx^2 ！！！
第二类曲面积分
第二类曲面积分的概念
向量函数在曲面上的积分
向量形式
分支主题
法向量一定要单位化！！！
坐标形式
分支主题
第二类曲面积分的计算
封闭曲面且无洞，gauss 公式
有洞的话，加减以后，第一部分 Gauss 公式，第二部分直接计算
直接计算的常见形式：P=Q=0
此时积分区域由 S 变成 Dxy 的时候也要注意正负！！
非封闭曲面
法一：补成封闭曲面
法二：合一投影法
分支主题
正负的判断——法向量的第三个分量
如果化成向量点乘的形式就不用了
双参数化
分支主题
这就是公式，无需再单位化什么的（已经考虑了）
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