数学排列组合知识框架总结
2022-10-26 18:03:43 0 举报AI智能生成
数学排列组合知识框架总结
作者其他创作
大纲/内容
两基本原理
分类法 +
出现干扰用分类
分步法 x
复杂问题分步骤解决
两个公式
排列：阶乘 5!=1X2X3X4X5
组合：Cnm=Cn n-m 其中n=m或上标和等于下标（x+y=n）
思维体系
1、列举法 纯列出 需做到 不重不漏
2、取样法amp;amp;供大于求 选取取样 供求相等只有一种 元素相同时也只有一种
注意：样本分类题目出现比较多 如男女分类
易错点：元素题干中确定选出的情况下，只考虑别的元素选取情况
话术：恰有（只有） 必须入选（除他外其他选）技巧：C1 1大法
3、排序
观察选出的元素顺序是否影响结果，如果影响需要排序（排序问题），如果不影响则只选取（组合问题）
4、取排结合 要先取后排
5、分类取排结合
先分类 再取排 后相加
6、反面法求解（正难则反）
话术：A至少（不能），且 B至少（不能） ,至多，且，或
总数-（非A+非B-非A交非B） 特别注意非A交非B可能不为空
思维进阶
1、特殊元素或者位置 原则：先特殊后一般 特殊指：控制条件最多的元素排起
注意：组成几位数字时（奇偶），先尾后首再其余
2、相邻元素或位置 捆绑打包法 先其余后包内阶乘
3、不相邻元素或者位置 插空法
关键：先其余后插空
易错：1、内部定序，只选不排，若在内部定序的基础上新增元素插入且不改变原定序相对顺序，则先将新增放入总数，后在总数中选出新加入的位置，最后将新加入的进行排序阶乘，内部定序元素不需排序amp;lt;bramp;gt;amp; amp; amp; amp; amp; 2、改变原位置站法，如原a，b，c 改变方法有两种 c，a，b；b，c，a；此问题需要列举法。改变原位置表明都不能在原来位置。amp;lt;bramp;gt;amp; amp; amp; amp; amp; 3、三个人中两个人在两边一个人在中间，例如 甲，丙，乙时，此时如果求甲乙不能相邻的排列方法时，只需要计2！即可（甲乙可以互换位置）amp;lt;bramp;gt;
内部定序话术：必须入选，从左到右由高到低，相对顺序不变
交叉相邻：n+1男 n女交叉：(n+1)!n! 拓展：n男n女交叉相间2n!n!
4、排座位
1、前后排：元素分成多排排列的问题，可以归结为一排，再分段研究
2、围桌而坐，n人围桌，共有(n-1)!种坐法
3、圆桌不相邻选法：对角线公式n(n-3)/2 种
内部定序、相邻、不相邻同时出现时，先进行打包
分房法（方幂法）
场景：（元素不同）允许重复排列的问题，例如：两个人可以住一间房 两类元素：一：不重复元素人 二：重复元素房
用法：谁主动谁在上，人主动人就是指数，不主动的就是底数
易错:可能会遇到先选取，选取完毕后剩下的元素再分房的情况。例如:4不同球放入3个盒子，第一个盒子恰有一个球的情况,解决办法:先从4球中选一球放入第一个盒子即C(1,4)然后剩下的的3个球利用分房法放入其他2个盒子即2的3次方。(前提:盒子可以放的数量满足0amp;lt;=kamp;lt;=4)
隔板法
场景：（元素相同）n个元素相同 ， m个分配对象不同
公式
分配对象非空时：C(m-1上标,n-1下标)
例如:4个球，放入3个不同盒子，4个球有三个空(n-1)，需要2个隔板(m-1)把球分成3堆(盒)，所以间隔的空数=4－1=3，隔板数:3－1=2
分配对象容许空时：C(m-1,m+n-1)
例如:4个球，放入3个不同盒子，容许有盒子为空，则先借m个球，所以球总数为n+m，此时，再使用上面公式求解，从n+m=7个球中出现6个空间隔(m+n-1)，需要2个隔板(m–1)把球分成3堆(盒)，底数n+m–1 指数m-1
注意: 至少分/放数量大于1时，想办法转换为至少分/放数量为1的情况。例如:20个苹果，分给3个小朋友，至少每人分3个。转换方法:先给每人2个(注意此处时技巧，先给的数量必须是至少数–先分数=1，此题为3－2=1，所以2为先给的数)
部分元素相同的排序
核心: 出现部分元素相同(没有区别)，要除以相同的元素的数量的阶乘，以消除排序。(只选不排)
例如:3面红旗，2面白旗，挂出来5面旗，有多少种挂法。A:amp; 5!/2!*3!(除以相同数量的阶乘法)amp; B: C(3,5)*C(2,2) (只选不排法)
对号与不对号
全对号 1种
不对号
2个不对号1种，3个不对号有2种，4个不对号9种，5个不对号44种。记忆
解题技巧: 先选出对号的情况，剩下的不对号根据上面常用情况种数口诀与前面相乘即可
分堆问题
核心:元素不同，堆或容器相同(分配对象相同)，每堆有指定数量的元素
解决方法: 先分步选取分堆/堆数的阶乘
话术: 堆，组
数字问题
遇见奇偶情况时: 先末后首再其余，注意首位不能为0。
易错: 偶数时，特别注意是否提干中有0，如果有0则需要分类处理0，分为0在末尾与不在末尾两种情况分别处理，处理的结果相加。也要注意末尾选偶数时，是从偶数里面选一个，而不是从全部里面选。
易错: 1、组成可重复的数字时，n个数字组成m位数，则可以组成m位数的n个数字次方(例如 2，3，4，5组成可以重复的四位数，4的4次方)amp; 2、组成不可重复的数字时，先选取位数数量的元素，然后元素的个数的阶乘即为数字的数量(2，3，4，5，6组成不重复的四位数 c(4，5)*4! )
易错:3、如果一次选好几位数字的话，且这几位数字可以互相交换则需要乘以这几位数的阶乘，如果只选一位，则不需要乘任何阶乘，只选出即可
易错4、有固定数字时，不要考虑固定数字，只需要考虑非固定数字的排列即可。
提醒:组成无要求的不重复几位数时，按照数字顺序进行排列组合即可，无需先尾后首再其余的原则(只适于奇偶数组合时)
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