数学函数与极限知识点笔记总结
2022-10-27 17:16:48 0 举报AI智能生成
数学函数与极限知识点笔记总结
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大纲/内容
泰勒展开式
常用的几个类型要熟记<br>Sin，Cos，tan，arcSin，arctan，e^，ln（1+狗），（1+狗）^α
展开到什么程度就行？
分式型
把其它的加减抵消掉的部分除外，再保证分子分母同阶即可
加减型
把其它的加减抵消掉的部分除外，保证幂次达到最低
无穷小比阶
同阶无穷小
等价同阶无穷小
非等价同阶无穷小
高/低阶无穷小
连续与间断
如何判断连续性？
端点处
例如（a，b）区间，则分别对a+和b-取极限，看是否存在
内点处
该点极限值=函数值
间断点类型
跳跃间断点
左极限≠右极限
可去间断点
左极限＝右极限≠该点函数值
无穷间断点
左右极限中存在至少一个值等于无穷
震荡间断点
化简后只剩下sin或cos，当x趋于无穷时，它们震荡存在
函数极限存在性<br>（压轴题型）
具体型
当洛必达失效的时候可以考虑夹逼准则来解决该类题目
抽象性
这种一定要考虑单调有界准则
几个基本性质
极限存在即是常数
极限存在的话其左极限和右极限相等
局部有界性
局部保号性
脱帽法，戴帽法
七种未定式
0/0；∞/∞；0·无穷
想办法化成分数之后再洛必达
∞-∞
想办法化成分数，通常使用到代换令x=1/t
∞^0；0^∞；1^∞
使用e代换
拿到题首先化简
等价无穷小（只可以在乘除使用，不可在加减中使用）
提取公因式
换元
e代换
因式分解或分子有利化或诱导公式
使用中值定理化简(尤其是用拉格朗日)
及时的把不为0的式子提出去（只可以在乘除使用，不可在加减中使用）
洛必达法则
必须满足的三个条件
0/0或∞/∞型
分子、分母均可导
结果为0，C或∞
第十节 闭区间上连续函数的性质
最值定理
最大值/最小值定义
定理一：在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有最大值和最小值（逆命题不一定成立）
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界
介值定理
零点定义
定理二（零点定理）：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)、f(b)异号，则开区间(a,b)内至少存在一个点使f(x)=0（根的存在性定理）
定理三（介质定理）：设函数f(x)在闭区间C[a,b]内f(a)=A，f(b)=B，且A不等于B，则对A与B之间任一数C，至少有一点在a,b之间使该点的函数值为C
推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的运算法则
和、差、积、商的连续性
定理一
反函数的连续性
定理二：单调的连续函数必有单调的连续反函数
复合函数的连续性
定理三
若内函数在某点x的极限是u，外函数在u点连续，则该复
合函数在点x的极限等于外函数在u点的极限和函数值
定理四：连续函数的复合函数是连续的
初等函数的连续性
定理五：基本初等函数在定义域内是连续的
定理六：一切初等函数在其定义区间内都是连续的（定义域内不一定连续）
定义域内不连续的函数是非初等函数
初等函数的连续区间=定义区间
第八节 函数的连续性与间断点
连续性
定义
条件
函数在该点处有定义
该点极限存在
该点极限等于该点函数
函数f（x）在某点处连续等于函数f（x）在该点处左连续又右连续
连续函数
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
基本初等函数在其定义域内都是连续的
连续区间
函数在该区间上连续，该区间叫函数的连续区间
间断点
定义
条件
函数在该点无定义
函数在该点有定义，但该点极限不存在
函数在该点有定义，且极限存在，但该点极限不等于函数值
分类
第一类间断点
定义
某点的左极限和右极限均存在
分类
可去间断点
左极限等于右极限
改变或补充间断点处函数的定义，可使其变为连续点
跳跃间断点
左极限不等于右极限
第二类间断点
不是第一类间断点的任何间断点（无穷间断点/振荡间断点）
分段函数的间断点
函数的无定义点必为间断点
函数的分段点可能间断也可能不间断
第七节 无穷小的比较
分类
高阶的无穷小
低阶的无穷小
同阶的无穷小
等价的无穷小
等价无穷小的性质
常用的等价无穷小
等价无穷小代换
定理条件满足时，可以只代换分子或分母
定理条件满足时，可以代换积中因式的无穷小
k阶的无穷小
注意
处在同一变化过程中的无穷小才能做阶的比较，不是所有的无穷小都能比较
无穷小的阶的高低是相对的；除了恒等于零的常数外，在自变量的同一变化过程中不存在阶最高或最低的无穷小
两个重要符号
第六节 极限存在准则 两个重要极限
极限存在准则
夹逼准则（两边夹法则/破敛准则）
数列型
函数型
单调有界数列必有极限
数列有界等于上下有界
如果数列单调递增（一定有下界）若有上界则极限存在，没有则不存在
如果数列单调递减（一定有上界）若有下界则极限存在，没有则不存在
两个重要极限
1
函数：分子是正弦函数，变量与分母相同，是0/0型
极限过程：分母趋近于零，且极限值为1
用来解决：0/0型的含有三角函数的未定式的极限问题
2
1的无穷型
形式为（1+无穷小）^无穷大，无穷大和无穷小互为倒数
用来解决：幂指函数的极限
第五节 极限运算法则
无穷小的运算法则
在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍然是无穷小（无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小）
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
在同一极限过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小
常数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积也是无穷小
无穷小的商不一定是无穷小，无穷大与无穷大的代数和不一定是无穷大
极限的四则运算法则
复合函数的极限运算法则
第四节 无穷小与无穷大
无穷小
定义
极限为零的变量称为无穷小
注意
无穷小是函数（变量），不是一个很小的常数
零是可以作为无穷小的唯一的常数
说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势
无穷小与函数极限的关系
无穷大
定义
绝对值无限增大的变量称为无穷大
注意
无穷大是函数（变量），不能与很大的常数混淆
无穷不代表极限存在
无穷大的概念反应变量的变化趋势，任何常量都不是无穷大
说一个函数无穷大，必须指明自变量的变化趋势
渐近线
水平渐近线
铅直渐近线
无穷大与无穷小的关系
在同一过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大
第三节 函数的极限
定义
趋于无穷
趋于x
函数f(x)的极限是否存在与函数在x是否有定义无关
性质
唯一性
有界性
保号性
极限不存在
定义
x趋向某一值时，函数所趋向的值不是一个确定的值
分类
极限为无穷大（无穷小=0，是极限）
左右极限不相等
振荡
第二节 数列的极限
定义
如果数列没有极限（不收敛），就说数列是发散的
收敛数列的性质
极限的唯一性
如果数列收敛，则它的极限唯一
极限的有界性
如果数列收敛，则该数列一定有界
有界性是数列收敛的必要条件，无界数列必定发散
有界数列不一定收敛，但收敛必定有界
收敛数列的保号性及其推论
收敛数列与子数列的关系
收敛数列的任一子数列收敛，且极限相同
一个子数列发散，则数列发散
若有两个子列收敛于两个不同的极限值，则数列发散
发散数列也可能有收敛的子数列
对数列删减有限项，不影响数列极限的存在性，也不影响极限值
第一节 映射与函数
映射
定义 f
单射
满射
一一映射/双射
逆映射
只有单射才存在逆映射
复合映射
前一个映射的值域与后一个映射的定义域的交集不为空集
函数
定义
从实数集到实数集的映射
定义域的两种确定方法
对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定
抽象的用算式表达的函数，不必再表达出定义域（自然定义域）
表示函数的主要方法
表格法/图形法/解析法（公式法）
分类
初等函数
基本初等函数
幂函数/指数函数/对数函数
三角函数
sinx,cosx,tanx,secx,cscx,cotx
反三角函数
arcsinx,arccosx,arctanx,arcsecx,arccscx,arccotx
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和
有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子
表示的函数，称为初等函数。
复合函数
求复合函数解析式：用内函数划分整体定义域
反函数
只有单调函数才存在反函数（反函数存在定理）
直接函数与反函数的图形，关于直线x=y对称
分段函数
绝对值函数 y=|x|
取整函数 y=[x]
取最大最小函数 max,min{f(x),g(x)}
符号函数 y=sgnx
狄利克雷函数
定义
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数
隐函数
幂指函数
由参数方程确定的函数
积分上限函数
函数的四则运算
特性
有界性
函数有界与否与x有关，是局部概念
函数有界的充分必要条件是既有上界又有下界，表现在函数图像在两平行线之间
当一个函数有界时，界不唯一，但最小上界和最大下界是唯一的
单调性
函数的单调性与定义区间有关，是局部概念
单调函数图像特点：增：上升；减：下降
判断方法：定义法；图像法；导数法
奇偶性
周期性
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