数学函数知识点教学课件
2022-10-27 17:20:44 0 举报AI智能生成
数学函数知识点教学课件
作者其他创作
大纲/内容
函数基础题型
判断分段函数的复合函数
带入法：将内层函数带入外层函数
函数的四大性质考题
奇偶性的判断
带入法：带入负号直接验证即可
有界性的判断
本质就是求极限 1.如果判断区间内的有界性，只需要寻找这个区间端点和区间之内无意义的点的极限是否为无穷即可； 2.如果为无穷区间，本质也是一样，检验趋于正负无穷和区间之间无意义的点的极限是否为无穷即可
周期性的判断
代入法：带入x+T即可，通过简单化简观察是否具有周期性
零点定理和介值定理
一般是和其他章节一起考察，单独考察的题目不多，一般都是利用最大值和最小值构造介值定理的形式
极限存在性问题
数列极限存在性问题
该类题没有捷径，且这类题一般都是有点区分度的题，两点：<br>1.深刻理解数列极限的相关性质；<br>2.通过做题积累反例，反例是有限的的。
函数极限存在性问题
该类题没有捷径，且这类题一般都是有点区分度的题，<br>两点：1.深刻理解函数极限的相关性质；<br>2.通过做题积累反例，反例是有限的的。
极限的综合运用
无穷小的问题
无穷小的比较
牢记无穷小的四则运算，比较无穷小本质就是0/0求极限问题
如果出现两个无穷小无法比较的时候我们可以通过x的k次方作为介质分别比较。
无穷小的阶数
本质就是0/0求极限问题，把待求阶数的式子与x的k次方比较求极限
要利用极限求出函数表达式的问题
x在指数上的问题：可以化为F(x)的g(n)次方
分类讨论：根据g(n)的趋向，对F(x)在小于1，等于1和大于1三种情况来讨论
x在底数上的题目：可以化为g(n)的F(x)次方
分类讨论：把几个F(x)在不同定义域内的大小关系排列出来，根据不同区域讨论极限的结果
没有办法分离成上述的两种形式的
一般都是直接把x当做常数，直接求极限即可
利用极限求函数参数问题
已知极限式的极限，求待定参数问题
逐步递推法：极限存在一定满足要么0/0，要么无穷/无穷，根据这个条件，一步步洛必达法则（或者泰勒展开），去一个个寻找待定系数的关系
已知抽象函数的极限，求另一个抽象函数的极限问题
解出抽象函数含无穷小的表达式，然后再去凑出待求抽象函数的极限表达式
理解极限定义中的几个符号问题
没有技巧，加深基础定义的理解即可
数列求极限问题
N项和或N项积的极限
step1.先观察能否构造成定积分的定义，通过求定积分来做
条件： 1.分子次数齐 2.分母次数齐 3.分母比分子多一项
step2.形式上貌似可以构造成定积分，但是还差一点不符合，这时一般采用放缩变成定积分问题。【使用夹逼定理】
放缩的思路： 一般都是在变化范围内取最大值和最小值
step3.夹逼定理
step4.如果上述方法都不行，看看是否N项和或者积可以求出表达式（暂时没考过）
数列极限存在证明
step1.证明单调
先通过求导或者上一项减去下一项的方法；如果不行，采用数学归纳法
相关公式
1.x&gt;=0时，sinx&lt;=x<br>2.x&gt;0时，ln(1+x)&lt;x<br>3.a&gt;0,b&gt;0时，a+(1/a)&gt;=2，a+b&gt;=2*开根号(a*b)
step2.证明有界
证明数列减去我们求出极限小于或者大于0，可以用数学归纳法或者夹逼定理
step3.求极限
step1：一般先假设其极限存在，利用通项公式求出极限，然后利用单调有界性来做；
step2：采用数学的n个表达式相加法求出函数表达式，然后直接求极限
函数的连续性与间断点
考察函数连续的充要条件，即左右极限相等
本质就是求左右极限问题，然后与函数值相等
间断点类型的判断
step1.先找间断点，一般都是函数无定义的点
step2.求出三个东西：左极限，右极限，函数值
step3.判断间断点的类型
几个tips
涉及到三角函数的间断点判断，并且三角函数是周期函数，间断点可能有无穷多个
抽象函数的间断点的判断在理解性质的基础上，平时积累反例
tips
遇到与连续性有关的利用极限求出函数表达式的问题，我们通常要对x的变量进行分类对待
未定式求极限问题
未定式类型
1.0/0，无穷/无穷类型：严格遵循上述思路即可。<br>无穷/无穷可以考虑抓大放小的方法
2.幂指函数类型（无穷^无穷，0^0）：换底法，转化为幂上的0/0问题，然后遵循上述思路；<br>如果涉及幂指函数差的极限，提取因式变成幂指函数-1的极限
3.无穷-无穷类型：转化为0/0型，一般直接同分就可以，<br>复杂一点需要构造平方差，变量替换等
4.1^无穷类型：凑(1+x)^(1/x)或者可以尝试恒等变型
5.0*无穷类型：转化为0/(1/无穷)即0/0，或无穷/(1/0)即无穷/无穷
思路 主要部分
step1：判断未定式的类型
step2：找等价无穷小量和有界量，化简计算出来；
tip：注意等价无穷小的使用条件
step3：然后观察，是否是一个需要讨论左右极限问题；
需要，变成求两个极限问题
不需要，就只求一个极限
step4：函数是否为简单形式，是则采用洛必达法则进行计算即可
没有根号加减
没有特别复杂的复合函数
没有绝对值
tips:注意洛必达法则的使用条件 ①f(x),g(x)在x = x。去心领域内可导 ②f(x)/g(x) 0/0 无穷/无穷
如果不可以通常是使用极限定义来搞定问题
step5：如果出现多个根号的加减
平方差公式
泰勒展开
step6：如果出现比较复杂的复合函数，观察是否有变量代换的条件，比如由x变为1/x。
如果有的话进行变量代换。
如果没有的话考虑泰勒展开。
思路 一些tips
1.根式或者绝对值提取因式一定要注意符号是否变化
2.对变限积分求导一定要注意可导性问题
3.运用洛必达法则时要注意是否满足洛必达法则运用条件
思路 秒呀
存在积分求极限
1.上下限都是常数的形式：考虑使用夹逼定理对积分内的函数进行放大缩小然后在求极限
2.对于变限积分求极限：
step1.首先考虑的是使用其公式计算
step2.看积分函数是否可以变量代换。如可以，则代换
step3.如果没有其他办法的情况下，首先可以先计算其积分，然后使用泰勒公式展开来计算
与朗格朗日相结合
此类题型的特点是同一个函数的形式变量不同在相加减。这个时候我们可以使用朗格朗日对其进行简化。要注意其&的范围，然后根据&范围使用夹逼定理从来确定极限
拆项
此类题型的特点是几个(一个)相加减后是三阶(二阶),然后和另一个几个(一个)相加减后是三阶(二阶)相除，这个时候我们可以通过保持分母不变，然后将分子拆开
函数求极限冷门考点汇总
1.反函数的极限：先观察反函数能不能直接求出来，如果不能核心是找到中间变量x与反函数之间的关系写出来然后用x代替反函数
2.复合函数的极限：先求复合函数里面的极限，再求外面的极限，里面的极限必须要存在
3.周期函数的极限，考虑夹逼定理（暂时没考过）
递归
自己调用自己
默认最大递归次数1000
递归根本：逆推，终止条件
装饰器
闭包
定义
内存函数对外层函数的非全局变量的引用，一定存在嵌套函数中
作用
保护数据（自由变量）安全 自由变量不会随着函数的结束而消失
如何判断闭包
闭包函数名.__code__co._freevars
闭包的应用
装饰器
标准版装饰器
带参数的装饰器
多个装饰器装饰一个函数
lambda
一句话函数
lambda 形参：返回值
与内置函数配合使用
迭代器
迭代器
字面意思：可以迭代取值的工具
专业角度：内部含有__iter__ ____next__的迭代器
判断迭代器的方法
__iter__ and __next__ in dir(obj)
优点
节省内存，惰性机制
缺点
不直观，操作方法少，不灵活，
可迭代对象
可以重复取值的数据集
内部含有__iter__就是可迭代对象
判断可迭代对象
=__iter__ in dir(obj)
优点
直观，操作方法多，灵活
缺点
占用内存，不可迭代取值（除出索引，按KEY）
用while 循坏 模拟for循坏的内部机制
1 转化迭代器
2 利用while 以及next取值
3 try:except终止循坏
高阶函数
从上至下依次执行
遇到函数的执行等函数执行完毕在向下执行
*的魔性用法
函数的定义时：*表达聚合
函数的执行时：*表达打散
*处理剩余元素
函数的返回值<br>
给函数的调用者，返回一个值
return单个值<br>
return多个值
没有return或者return没有返回值
结束函数
什么是函数
以功能为导向<br>
节省代码,增强代码的可读性<br>
内置函数
常用
min max sorted filter map zip reduce
推导式
列表推导式，生成器推导式
循坏模式
[变量（加工后的变量 for 变量 in iterable）]
筛选模式
[变量（加工后的变量 for 变量 in iterable）if 条件]
生成器取值方法
next
for循坏
list 转换
字典推导式
{变量：变量 for 变量 in iterable}
集合推导式
生成器
生成器的本职
生成器就是迭代器
生成器的产生方法
1 yield
一个yield对应一个next
yield form
代替了内层for循坏，提高了效率
2 生成器表达式
3 python内部函数返回的
函数名的应用
函数名就是变量
函数名加（）就可以执行
函数名可以作为容器类的元素
函数名可以作为函数的参数
函数名可以作为函数的返回值
从空间角度研究
名称空间
全局名称空间
全局：(整个py文件)变量与值的对应关系
局部名称空间
当函数执行时，在内存中零时开启的空间，存放变量和值的对应关系，随着函数的结束而消失
内置名称空间
py解释器自带的一些功能
作用域
全局作用域
全局名称空间
内置名称空间
局部作用域
局部名称空间
加载顺序，取值顺序
取值顺序
满足就近原则
加载顺序
内置 全局 局部
global nonlocal
nonlocal
在内层函数对外层函数非全局变量的修改
global
在局部声明一个全局变量
修改全局变量
函数的参数
实参
位置参数，一一对应
关键字参数，一一对应
混合参数，关键字参数一定要在位置参数后面
形参<br>
位置参数，一一对应
默认参数（参数陷阱）可变数据类型
万能参数
仅限关键字参数
顺序：位置参数*args默认参数仅限关键字参数**kwargs
函数的结构
def func():<br> pass
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