数学线性代数相关知识点教学方案
2022-10-28 17:35:06 1 举报AI智能生成
数学线性代数相关知识点教学方案
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大纲/内容
行列式
基本概念
行列式
实数
n!
逆序/逆序数
逆序
正：小→大/逆：大→小
0 or 1
逆序数
一组值，逆序求和
上（下）三角行列式【主对角线行列式】
由最上/下只有一个非零——每行的选择唯一
副对角线行列式
（-1）^n(n-1)/2
基本性质
行列式的几何意义（理解）
测度
性质
转置后不变
s=ab=ba
两行/列互换，行列式变号(-)
顺时针与逆时针
某行/列扩大K倍，行列式扩大K倍
s=(ka)b=kab=ks1
两行/列成比例，行列式为0
平行，s=absinα（α=0）=0
某行/列可拆成两个行/列向量之和，行列式可以拆成对应两个行列式之和
s=ab=a1b+a2b
将某行/列的K倍加到另一行/列，行列式值不变
消元
特殊行列式（化简）
拉普拉斯展开式
更猛烈、降阶
主对角/副对角（-1）^(mn
范德蒙行列式
幂次排列
右-左（1次）
行列展开定理
余子式Mij/代数余子式Aij
与aij无关
行列展开定理
作用：n阶→n个（n-1）阶
使用：某行/列有大量0
克拉默法则
n个方程，n未知量
|An|≠0
作用：精确求xi
矩阵
基本概念
定义
行列式是用来刻画矩阵的
行列式
实数
矩阵
数组
子主题
m=n时，A为方阵
可求行列式|A|
唯一性
只与自己相等
分块（简化）
多样
按行
按列
特殊矩阵
单位矩阵E
n×n，|En|=1
对角矩阵Diag
n×n
对称矩阵
零矩阵
m×n，|E|=?，数组
矩阵的一般运算
加减法
同型矩阵
结合律、交换律、消去律
数乘
|kA|=k^n|A|
kA与A同型，0A=0
矩阵乘法
定义
Am×nBn×s=Cm×s
本质：将A按列分块，用B的方式组合相加
性质
满足
结合律
分配律
不满足
交换律
消去律
特殊：r(Am×n)=n
计算A^n
A=αβ^T
A=tE+B
A=主对角分块矩阵B0C0
矩阵的特殊运算
转置
定义
行列互换
性质
|A^T|=|A|
<p>（A^T)^T=A</p>
(kA^T)=kA^T
(AB)^T=B^TB^T
逆
定义
可逆条件（充要）
|A|≠0
性质
|A-1|=1/|A|
(A-1)-1=A
(kA-1)=1/k·A-1
(AB)-1=B-1A-1
(A^n)-1=(A-1)^n
求逆矩阵
构造法
多项式除法
伴随阵法
初等变换法
分块法
伴随矩阵
定义
先取Aij，再转置
功能（与A-1）
A*=|A|A-1
性质
|A*|=|A|^n-1
A*A=|A|E
(AB)*=B*A*；(A^n)*=(A*)^n
(kA*)=k^n-1A*；（A*）*=|A|^n-2·A
矩阵的初等变换
三种初等变换
对换
数乘
倍加
实现——三个初等矩阵
均可逆
Eij
Eij(k)
Ei(c)
”左行右列“
秩
定义
|A|≠0 ⬅➡r(A)=n
求秩
逼近
初等变换保秩
性质
r(A)=0⬅➡A=0；r(A)>=1⬅➡A≠0
r(kA)=r(A)
r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)
r(A+B)<=r(A)+r(B)
r(Am×nBn×s)<=r(A)&r(B)<=min{m,n,s}
r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)，P、Q可逆
AB=0➡r(A)+r(B)<=n
r(A*)
等价
定义
A经过有限次初等变换
B=PAQ
n维向量
概念与基本运算
基本概念
默认：列向量
基本运算
数乘
内积
取模长
向量的线性表示
概念
判断方法
r(A的增广)=r(A)
r(A的增广)=r(A)+1
线性相关与线性无关
线性相关
概念
判断
性质
线性无关
概念
性质
推论
向量组的秩
极大无关组
向量组的秩
秩的求法
极大无关组的求法
极大无关组的性质
向量组的等价
r(Ⅰ|Ⅱ)=r(Ⅰ)=r(Ⅱ)
线性方程组
基本概念
齐次方程组
向量表示
矩阵表示
非齐次方程组
向量表示
矩阵表示
齐次方程组的理论
齐次的解必不唯一
基础解系
三要素
推导
基础解系不唯一
求基础解系的方法
具体方程——初等变化
抽象方程——从解的结构推导
通解
非齐次方程组的解
解的判定
r(A的增广)=r(A)+1
无解
r(A的增广)=r(A)
有解
r(A)<n
无穷多解
r(A)=n
唯一解
解的结构
非齐=齐+非齐
线性无关的解
n-r(A)+1个
求解方法
具体方程
初等变换
抽象方程
构造
矩阵方程的解
特征值与特征向量
特征值与特征向量
定义
Aα=λα
（A-λE）α=0
计算
特征值
数字型
|A-λE|=0
抽象型
观察法
利用特征值性质
特征向量
数字型矩阵
（A-λiE）x=0
抽象矩阵
观察法
利用特征值性质
性质
特征值
∏λi=|A|
∑λi=tr(A)
特征向量
不同λi，αi线性无关
λ的线性组合仍是特征向量
k重λ最多有k个α线性无关
传递原理
Aα=λα
f(A)α=f(λ)α
A^nα=λ^nα
(A+kE)α=(λ+k)α
(Pˉ¹AP)(Pˉ¹α)=λ(Pˉ¹α)
ATβ=λβ
相似矩阵
概念
Pˉ¹AP=B ⬅➡A~B
性质
多项式性质
A~B➡f(A)~f(B)
(Pˉ¹AP)^n=B^n
Pˉ¹(A+kE)P=B+kE
传递性
A~B,B~C ➡A~C
保秩性
A~B➡r(A)=r(B)
相似矩阵➡相同特征值、行列式、迹
必要不充分
矩阵的相似对角化
意义
A~Diag
条件
n个线性无关的特征向量
判断
λ1≠λ2≠λ3
λ1=λ2≠λ3
r(λ1E-A)<1
步骤
作用
求A^n
判断A~B
二次型——化成标准型
实对称矩阵
二次型
性质
必可对角化
不同λ对应的α相互正交
特技
存在正交矩阵Q使得QTAQ=∧
λ1≠λ2≠λ3
λ1≠λ2=λ3
核心α1
二次型
基本概念
最高次是二次的多项式
A^T=A
标准型和规范型
定义
没有交叉，只有平方
计算方法
配方法
有xi^2
无xi^2
正交变换法
惯性定理
正定二次型
概念
判断
p=n,q=0
λi>0
顺序主子式>0
aii>0,|A|>0
A与E合同
合同
概念
判断
A、B具有相同的p、q
λi符号相同
C^TAC=B，其中C可逆
相似➡合同➡等价
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