考研线性代数知识点题型解题思路总结
2022-10-28 17:36:08 0 举报AI智能生成
考研线性代数知识点题型解题思路总结
作者其他创作
大纲/内容
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更新记录
2020.7.31 开坑<br>2020.8.03 第一版完成
行列式
行列式计算
具体型行列式计算
常规变形法
每一列/行 ±到 第一行/列
第一行/列 k倍 ±到 其他行/列
逐行/列 相± k倍
提公因式 or k倍±
0很多 → 展开公式
拆开法
n阶行列式 拆开有 2^n个 n阶子行列式
加边升阶法
不等价加边 → 局部系数次数使用
等价加边
分支主题
固定公式法
范德蒙 = 每行/列 -其他行/列 的乘积 ex.(X2-X1)(X3-X1)(X3-X2) <br>副对角线=（-1)^(n的求和）× 对角线乘积<br>上下三角 =对角线乘积 <br>
特殊结构法
三对角行列式
三条平行对角线
逐行/列 ±k倍 → 三角形行列式
爪形行列式
两顶边+主对角线
各行/列 - 第一行/列 → 三角形行列式
异抓型行列式
分支主题
高阶递推低阶法
① 找出递推公式 即Dn与Dn-1的关系【通常用余子式】<br>② Dn-1与Dn要有完全相同的元素分布规律，只是Dn-1比Dn少了一阶
数学归纳法
①n=1成立 ② 假设n=k成立 ③ 验证n=k+1 成立
F(Dn,Dn-1)=0 一阶差
① n=1 or n=2 成立 ② 假设n=k-1 成立 ③ 验证n=k 成立
F(Dn,Dn-1,Dn-2)=0 二阶差
① n=1和n=2 成立 ②假设n<k成立 ③ 验证 n=k成立
抽象行列式计算
行列式性质
恒等
|A|^T=|A| 行列转置
单列/行 可拆
k 倍 列/行 ± 另一列/行
相反数
行列互换位置
|▲|=k |♦|
单行/列 公因式
|A|=0
两行/列 相同
两行/列 成比例
行/列元素全为0
单位矩阵E恒等变形
分支主题
矩阵法则
均同阶方阵
C=AB → |C|=|AB|=|A||B|
C=A+B → |C|=|A+B| 恒等变形→化(λ-a)乘积或方程组
分支主题
相似矩阵法则
|A|=λ1λ2···λn【特征值之积】
分支主题
λ1+λ2+···+λn=∑tr(A) 特征值之和=迹之和
若A~B → |A|=|B|
方程分块拆分 → 行列式相等
Mij 与 Aij
行列式法则
Mij 为余子式 Aij代数余子式
第i行/列元素 × 对应代数余子式 = |A|
行列元素 × 另一行列代数余子式 =0
矩阵法则
分支主题
特征值法则
分支主题
证明 |A| = 0
基本性质
两行/列 相同
两行/列 成比例
行/列元素全为0
相关证明
r(A)<n
|A| = -|A|
0是特征值 因为|A|=特征值之积
奇数阶的反对称矩阵 (aii=0 aij=-aij) → |A|=0
Ax=0 为非零解 【克拉默法则】
D为系数行列式 Dn为第n列元素换成等式右边b
齐次线性方程组的系数行列式 |A| ≠0 → 方程组有唯一零解
非齐次线性方程组有 非零解 → 系数行列式 |A|=0
反证法 用A逆找矛盾
矩阵
矩阵概念
常见类型
相等矩阵
阶与对应元素完全相同
同型矩阵
行数与列数分别 相等
零矩阵
元素全为0
方阵
行列阶相等
单位阵
主对角线为1，其余为0
数量阵
数k × 单位矩阵E
上/下三角阵
aij=0
对称阵
满足A^T=A 即 aij=aji
对角阵
非对角元素都是0 恒有aij=0 <br>对角阵相乘即为主对角线相乘
反对称阵
满足A^T=A 即aij=-aji ,aii=0
等价矩阵
A经过有限次初等变换到B
正交矩阵
满足AA^T=A^A=E
常规计算
加法
仅同型矩阵
数乘
每个元素都乘
幂乘
k个A相乘=A^k
转置
分支主题
乘法
分支主题
分支主题
分块矩阵
分支主题
初等矩阵
分支主题
转置or逆后仍是初等矩阵
经初等变换 秩不变
A等价B ←→ 存在可逆矩阵P与Q 使PAQ=B
初等n阶
矩阵运算
求A^n
A为方阵且r(A)=1
分支主题
tr(A)=迹之积
借助低阶矩阵
其余阶级同理
拆分A为B+C
分支主题
形如对角线及其一侧全为0的n阶矩阵 其第n次平方=0
初等矩阵相乘
分支主题
相似矩阵法则
对角矩阵是A的特征值 相似P矩阵是A的特征向量<br>借助另外的B矩阵求A矩阵
求 A*
A为n≥2的可逆矩阵 公式推导法
2阶矩阵 主对角线元素对换 副对角线元素变号
求A逆
公式推导法
二阶矩阵 主对角线对换 副变号 除以行|A| → 可逆矩阵
方阵 可逆矩阵唯一 <b><font color="#c41230">若AB=E 则 BA=E</font></b><br>
基本四大方法
A可表示为若干个初等矩阵的乘积
求A正交
分支主题
求矩阵方程
分支主题
矩阵的秩
分支主题
向量组
向量组计算
內积
(α,β)=α^Tβ=αβ^T=a1b1+a2b2+ ··· +anbn
若(α,β)=0 → α⊥β 正交
向量长度
||α||=α^Tα的根号
线性组合
k1a1+···+knan 称为a1···an的线性组合
线性相关
向量组β=k1a1+···+knan=0 (k不全为0)
线性相关
向量组β=k1a1+···+knan=0 (k全为0)
线性表出/线性表示
向量组β=k1a1+···+knan
证明线性相关
充分条件
向量组 相关 → 缩短组 向量组 相关
部分向量组 相关 → 全部向量组 相关
多数向量可由少数向量 线性表出 → 多数向量 线性相关
高维度 相关 → 低维度 相关
充要条件
n个n维向量组相关 ←→ |向量组|=0
一个向量 可由其余的向量线性表出 ←→ 向量组 相关
分支主题
证明线性无关
充要条件
一个向量 不可由其余的向量线性表出 ←→ 向量组 无关
充分条件
全部向量组 无关 → 部分向量组 无关
系数全为0 也可能有一组系数使得β≠0 → 线性无关
低维度无关 → 延伸组 高维度 无关
基础性质
n维空间中 线性无关的向量组最多只有n个向量
r(A)=A的列秩=A的行秩=r 【A有r个线性无关行/列向量】
思路方法
分支主题
证明线性表示(出)
充要条件
单个向量β
充分条件
向量组abc 无关，向量组abcd 相关 → d可由abc 线性表出且唯一
s个向量组 无关，前者可由t个向量组 线性表出 → s≤t
a1···an可由b1···bn线性表出 则 r(a组)≤r(b组)
等价关系
向量组α和β互为线性表出且r(α)=r(β)
判断向量关系
具体向量关系
β与α向量组
α向量组
求极大无关组【不唯一】
抽象向量关系
分支主题
求向量空间
分支主题
线性方程组
证明齐次方程组Ax=0
分支主题
证明非齐次方程组Ax=b
分支主题
证明基础解系
分支主题
求公共解方程组
分支主题
分支主题
求同解方程组
分支主题
分支主题
运用解向量及其性质
系数矩阵A的行向量与Ax=0的解向量<font color="#c41230">正交 两向量互为转置</font>
分支主题
特征值 & 特征向量
运用特征值
分支主题
运用特征向量
分支主题
运用矩阵方程
分支主题
相似理论
A ~ B
一般相似基础
分支主题
A ~ ∧ 对角化
分支主题
相似对角化求可逆矩阵P【相似标准形】
分支主题
特殊矩阵相似理论
实对角矩阵
实对称矩阵 A ~ B 则λa=λb
正交矩阵
分支主题
二次型
标准形 & 规范形
基础运用
分支主题
线性变换性质
化标准形
配方法
正交变换法
实对称矩阵的合同
分支主题
等价 VS 相似 VS 合同
分支主题
判断正定二次型
正定二次型概念
证明正定性
综合细节
矩阵A=0 不等同 |A|=0
矩阵等价不等同向量组等价
A²=A 矩阵A不唯一
分支主题
结构一致amp;nbsp;内容一致
常识amp;nbsp;短语搭配
abcd基本每个5个
猜题
极高频词
however/although/yet/while/because/available
次高频词
对立
rather than/contrary to/on the contrary
总分
for example/for instance/such as
让步
even if /even though
条件
as long as /so long as
因果
in that/so that
陪考题
一类
like/likewise/except/except that/anyway/anyhow/provided/supposing/since/now that/thus/lest/hence
二类
therefore/furthermore/meanwhile/moreover/only/if only/as if/only if/nonetheless/nevertheless/instead/instead of /unless/until（前无not)
解题思路
逻辑关系
总分
for instance【逗号】/for example【逗号】/such as/including
条件
if/only if/if only/unless/as long as/suppose that/supposing/provided that
It do not matter【只要】
让步
although/though【逗号】/even though/even/dspite/in spite of/even if/much as/whereas/as
并列
and/or/also/as well as/like/likewise/while/similarly/equally/simultaneously/meanwhileamp;either...or/neither..nor/that is to say
出现在选项中
词汇并列amp;句型并列amp;情感并列
出现在行文中
词汇并列amp;句型并列amp;情感并列
递进
even/also/furthermore/indeed/moreover/still/highhlighting/in particular
递进关系是并列关系的一种amp;
still VS also
Still 指同一件事情的递进
Also 可以指一件或两件事情的递进
furhermore VS indeed
Furthermore 仅指同一件事情的递进和延续
Indeed 在肯定前一件事情的基础上 引出另外一件事情
因果
原因词amp;nbsp;because/in that/now that/since/as/for/as a result of/consideringamp;结果词 so that/such that/as a result/lead to/consquently/therefore/hence/thus/so
转折
but/however/yet/unfortunately/otherwise/nevertheless/or else/but rather
一 正 一反一大部分 另一小部分amp;anotheramp;一 肯 一 否amp;一类 另一类amp;一amp;nbsp;高amp;nbsp;一amp;nbsp;低【副词】
对立关系
while\wheras\against\instead\instead of\rather than\contrary to\on the contrary【逗号】amp;by contrast\ignore\conversely\as\not...but/unlike\in contrast(相反)\contrarily【逗号】
一 正 一反amp;一大部分 另一小部分amp;anotheramp;一 肯 一 否amp;一类 另一类amp;一amp;nbsp;高amp;nbsp;一amp;nbsp;低【副词】
虚词题
优先选逻辑关系词汇amp;nbsp;选择顺序对立＞转折＞让步
先看选项 再空格前后 中心名词为主动词形容词为辅
实词题
根据前后虚词 寻找上下文动词副词
availableamp;nbsp;蒙题
冲突选项
[Otherwise,however]amp;nbsp; [so,hence]amp;nbsp;amp;
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