考研向量线性代数知识框架笔记
2022-10-28 17:38:11 0 举报AI智能生成
考研向量线性代数知识框架笔记
作者其他创作
大纲/内容
行列式
定义
|A|, det(A)
代数余子式
(-1)^(i+j) *余子式
计算方法
代数余子式展开
上下三角
加边
|A + B| = |A| + |B| 的特殊情况
拉普拉斯展开
分四块， 反对角线中有O
初等行变换
数学归纳法
特征值的乘积
性质
一行为0
两行相等
两行成比例
det（A） = 0则不可逆
det（AB） = det（A） * det（B）
|A + B| = |A| + |B| 的特殊情况
克拉默法则
引理
行列式一行，用另外一行的余子式展开，结果为0
A* 为伴随矩阵面，代数余子式的转置，A* A = A A* = |A|*I
|A*| = |A| ^(n-1)
定理(证明)
A可逆则A-1 = A* / |A|
xn = |An| / |A|
秩
定义
计算方法
高斯消元法
定理（证明）
初等行变换不改变秩
推论：PQ可逆，R（PAQ） = R（A）
对于A，存在一个PAQlt;font color=quot;#31a8e0quot;gt;标准型lt;/fontgt;
lt;font color=quot;#55beedquot;gt;等价lt;/fontgt;
同标准型矩阵 lt;-gt; R(A) = R(B)
标准型矩阵如何得到：通过行变换得到阶梯型，再通过列变换即可
A满秩则A可逆
R(A^T) = R(A)
不等式
线性相关的观点
矩阵的秩不超过各个因子的秩
一个因子可逆矩阵，相乘后矩阵的秩等于另一个因子的秩
R（AT * A） = R(A)
A可逆，则R（AB） = R（B）
矩阵的秩 不小于 两个因子秩的和 - N
r（A*） lt;= r(A) 分三种情况
r阶子式的观点
找到不为0的r阶子式， r gt;= r(A)
r(A)+r(B) lt;= r(A C | B O)
方程观点
最大无关组
题型：证明：A = O
r(A) = 0
每个元素为0
几何空间
向量
运算
线性
乘法（内积）
满足分配律，交换律，结合律
定义乘法（做功）
余弦定理
数乘之和
方向角
范围
计算方法
cos(a) = a/||a||
方向余弦
平方和为１。cos(a) ^ 2 +cos(b) ^ 2+ cos(c) ^ 2= 1
有三个余弦值，对应三个单位向量
子主题
空间
n维向量空间
定义
满足运算法则的向量集合
子空间
定义
n维向量空间的子集，其中的元素经过运算也在这个子集当中
向量组
定义
n维向量空间的普通子集
线性相关
向量 - 向量组lt;bgt;lt;font color=quot;#55beedquot;gt;线性表示lt;/fontgt;lt;/bgt;
定义
b = x1*a1 +x2*a2 ……
判定
Ax = b有解x
R(A,b) = R(A）
证明：用定义公式即可
推论
0向量是任何向量的线性组合
向量组-向量组 lt;bgt;lt;font color=quot;#55beedquot;gt;线性表示lt;/fontgt;lt;/bgt;
定义
A中每个都可以被B组线性表示
若互相可以线性表示，则也叫lt;bgt;lt;font color=quot;#55beedquot;gt;等价lt;/fontgt;lt;/bgt;
性质
反身性：每个向量组与自身等价AE= A
对称性：若A和B等价，则B也和A等价
传递性
AX = B; BY= A
题型
判断线性表示与否
用定义拆分A
行变换解方程
向量组内 lt;bgt;lt;font color=quot;#55beedquot;gt;线性相关lt;/fontgt;lt;/bgt;
定义
kn*an = 0 且kn不全部为0
经过行变换有0
R（） lt; n
反之就是lt;bgt;lt;font color=quot;#55beedquot;gt;线性无关！lt;/fontgt;lt;/bgt;
性质
含有0向量的向量组就线性相关
M维，n个向量
三个命题等价
n个线性相关
R（） lt; n
AX = 0 有非零解
M = n
|A | = 0则线性相关
M gt; n
M lt; n 维度小于个数
当五个二维向量则线性相关
R() lt; M lt; n, 必有线性相关
若A线性无关,A+p线性相关，则p可以由A线性表示，且表达式唯一
证明思路：线性相关的观点，列举各种可能性
证明思路: 秩
题型
判断、判断线性相关
ACx = 0可以判断AC的
分块（行列向量）用定义
AB = E，B的列向量无关
正交向量的分块，分块后用定义写出式子，乘一个向量
用秩
定理
初等行变换不改变列的相关性
证明 ：方程解同
AX = B，A有a个向量，B有b个向量
若A线性相关＜－＞则b lt; a
若Ａ线性无关 ＜－＞则 b gt; a
若AB等价，则AB中最大线性无关组的数目互相相等 ，秩相等
矩阵行秩 = 列秩
行变换得到行阶梯矩阵
矩阵中最大线性无关组判定的充要条件
Aapos; 可表示矩阵中所有向量
线性方程解的结构
齐次
有非零解
R（）lt; n(阶梯）
列向量线性无关
只有零解
R（）gt;= n
当为方阵R（） = n
证明：解系有n-r个
先证明得到的n-r个解是线性无关的
再证明所有解都可以由这n-r个表示
这个证明方法同时也是解方程的办法
题型
用AX=0的基础解系反求方程A
将解向量变为行向量的时候，原方程A变成了这个新方程的解
证明秩相等
方程同解
非齐次
通解
基础解系
特解
解和条件
R(A)=R(Ab)
题型
公共解
直接用AB一起行变换找解
A的通解 = B的通解
将A的通解带入B方程求解
同解
证明AB解相同
1.证明A的解也是B的解
2.证明AB解基个数相同
正定
特征值特征向量
定义
特征子空间
所有特征向量和他们的线性组合也是特征向量
代数重数
特征方程的某个特征值解的重数
几何重数
对应特征值 的 特征向量的个数
几何重数小于等于代数重数
特征方程
|λE -A | = f(λ)
相似
P^-1 A P = B，则A与B
求法
|λE -A | = 0, 得到特征值，再带入λ解得特征向量
特征方程展开后得到的重要结论
特征值的和 = A对角线的和
特征值的乘积 = |A|
题型
求解特征值和特征向量
用定义公式代换
f(A)的特征值为f(λ)，特征向量不变
通过秩的个数和可逆与否来判断特征值为0有几个
求解特征方程
只用lt;n个方程可求出特征向量
验算方法
证明特征值相同
特征方程相同
A与A^t
A 与 P^-1 A P
定义
n阶矩阵：AB BA
步骤
是否可以用结论？
特征方程
定义
相似对角化
P^-1 A P = Λ
性质
自反 对称 传递
定理
相似矩阵的特征值相同
证明：特征多项式相同
若A与Λ相似
特征值为对角线
AP =ΛP, P为特征向量组，P可逆
P可逆则n个特征向量线性无关
A*pi = pi * λi
互异的特征值对应的特征向量线性无关
归纳法证明
得到矩阵可以相似对角化的2个充要条件
代数重数 = 几何重数
R（λE - A） = n - 代数重数
题型
判断能否对角化
根据对角化结果反求出A
A = P Λ PT， 注意是P在前面，P的逆在后面
如果可以用正交矩阵变换
先正交化
A = C Λ C^T
C在前面，C的转置在后面
小结论
每行相等，R（A） = 1
每行的和相等时，（11111）^T为特征向量
和不等于0，对应0特征值的特征向量有n-1个解基，可以对角化
和等于0，不一定可以对角化
实对称矩阵的相似对角化
共轭矩阵性质
定理
实对称矩阵特征值为实数
证明方法： λ = λ的共轭
实对称矩阵的互异的特征值对应的特征向量正交
实对称矩阵A有C^t A C = C ^-1 A C
合同且相似
初等变换
矩阵及其运算
概念
矩阵就是M*N个数，系数矩阵，增广矩阵，对角矩阵，单位矩阵
运算
线性
加法
负
性质
什么律都有
乘积
运算法则
性质
没有交换律
如何证明结合律？
只有单位矩阵或者数量矩阵满足交换律
AB = O 不代表A或者B为O
AB = B 不代表A为E或者B为O
如何证明A = O？
R（A)= 0
每个元素为0
但是数乘可交换
幂运算
性质
满足A^(m*n)= ... * ...
(A*B)^K != (A^k * B^k)
如何证明AB = BA时满足？
【证明】(A*B)^K = (A^k * B^k)时，AB = BA不成立
题型
特殊方阵
秩=1，可分解成向量的乘积
A ^n = (2E + B) ^n
分块的乘积很好计算
特征值特征向量
旋转变换
恒等变换
多项式运算
性质
f(A)g(A)=g(A)f(A) but f(A)g(B) != g(B)f(A)
转置
（A+B）T = AT +BT
(AB)T = BTAT
(ABC)T = CTBTAT
对称
反对称：AT +A = O
高斯消元法与初等变换
高斯消元过程
变换成行阶梯矩阵
线性方程组的初等变换
三类
交换两行
行列式 - 1
数乘
行列式 *k
一行数乘后加到另一个行
行列式不变
题型
初等矩阵的乘积计算方法，不用计算，直接肉眼进行初等变换
左乘行变换，右乘列变换
任意矩阵可以进行变换
A = E1 E2 E3 ...... E R,E为初等矩阵R为行阶梯矩阵
如果|A| != 0 则 R也为一个初等矩阵
初等矩阵：将单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵
逆
定义
AB=BA=I
定理（证明）
A可逆则逆唯一
AB = I则 BA = I
性质（证明）
(k*A)^-1 = (1/k) * A^-1
(AB)-1 = B-1*A-1
(A)-1)T = ((A)T)-1
（A*）-1 = （A^-1）*
判定（证明）
A与I 行等价
A可表现为有限个初等矩阵的乘积
AX=0只有零解
det（A） ！= 0
满秩
求法
加单位阵变换：AE = EA-1
分块
A*/|A|
定义
分块
方式
田
日
[|||]
运算
不改变线性运算
乘法在分块一样大的时候不变
证明思路：找到一边式子的逆，利用唯一性。或者直接相乘。
A*B* = (BA)*
A = A^2
A特征值为1or0
（E + A）特征值为1or 2，故为可逆矩阵
如果A！= E，则|A| = 0
R(A-E)+R(A) = n
二次型
定义
矩阵表示
标准型
只有平方没有混合项
规范型
+-1 0
正负惯性系数
标准型里面正负项数的个数
非标准型的要化成标准型
二次型的秩
坐标变换
|C| != 0 线性变换
X=CY
经过坐标变换后得到另外一个二次型
经过坐标变换后合同
合同
传递自反对称
判定
正定二次型
定义
xt A x 恒大于0
判定
特征值 》 0
正惯性系数 = n
A 与 E 合同
顺序主子式 gt; 0
A = D^T D
题型
配方
正交变换
X = CY ，C为正交矩阵
如果是多重根要加一个施密特变换
当合同用的变换矩阵是正交矩阵的时候，A与目标矩阵就变成了相似
计算的时候有两步验算
1.特征值是否满足和是对角线和、积是|A|
2. 不同特征值的特征向量是否正交
选择题
有几个规范型或者标准型可以选择的时候，通过秩和正负惯性系数的关系来判断选项
证明为正定矩阵
章节技巧
AB=0→B的列向量就是齐次方程组的解
等价区别
向量组等价关系
向量组α和β互为线性表出
矩阵等价
有限次初等变换
几何意义
α相关 ←→ α=0
αβ相关 ←→ αβ共线
αβγ相关 ←→ αβγ共面
即使系数全为0也可能有一组系数使得β≠0→线性无关
向量组的秩
极大线性无关组
原向量组 线性无关，再加入一个向量就 线性相关，称原向量组是整个向量组的极大线性无关组
极大线性无关组所含向量的个数为秩r(A)
定理关系
向量组α可由β线性表示→ r(α)lt;r(β)
两个等价向量组 →r(Ⅰ)=r(Ⅱ)
r(A)=A的行秩=A的列秩
特殊技巧和细节
零向量组成的向量组没有极大线性无关组
极大无关组一般不唯一
线性关系
线性表示(出)
概念
充要条件
分支主题
充分条件
向量组abc无关，向量组abcd 相关→ d可由abc 线性表出且唯一
多数向量可由少数向量线性表出 →多数向量线性相关
s个向量无关，前者可由t个向量线性表出→s≤t
等价关系
向量组α和β互为线性表出
线性相关
线性表出β=0
系数全为0
系数不全为0
充分条件
部分向量组相关→全部向量组相关
向量组相关→缩短组向量组相关
充要条件
一个向量可由其余的向量线性表出←→向量组相关
n+1个n维向量必相关
线性无关
线性表出β≠0
充分条件
整体向量组无关→部分向量组相关
向量组无关→延伸组向量组无关
即使系数全为0也可能有一组系数使得β≠0→线性无关
向量的概念与计算
概念
运算
+-×÷
內积
(α,β)=α^Tβ=αβ^T=a1b1+a2b2+ ··· +anbn
若(α+β)=0→α⊥β正交
向量长度
||α||=α^Tα的根号
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