数学考研知识框架笔记学习总结思维导图模板

第一部分算数

第一章实数、比例、绝对值

第一节实数

一、实数分类

有理数（分数都是有理数-11/7）

正数

正整数

正分数

有限小数

无线循环小数

0

负数

负整数

负分数

有限小数

无线循环小数

无理数

正数

无线不循环小数

负数

无线不循环小数

二、整数与自然数

整数Z：-2，-1，0，1，2

自然数N：0，1，2，3

三、整数、倍数、约数

1.数的整除

2.常见整除的特点

能被2整除的数：个位为0，2，4，6，8

能被三整除的数：各位数字之和能被3整除

能被4整除的数：末两位数字必能被4整除

能被5整除的数：个位为0或5

能被6整除的数：同时满足能被2和3整除

能被8整除的数：末三位能被8整除

能被9整除的数：各位数之和必能被9整除

3.倍数、约数

当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数。

（a,b）* [a,b]=a*b {只适用于两个数，最大公倍数*最大公约数=两数相乘}

四、质数、合数

1.质数：大于1的正整数，只能被1和它本身整除：2，3，5（不包含1）

2.合数：除了能被1和它本身整除还能被其他数整除：4，6，8（不包含1）

3.重要性质

1.都是正整数

2.2是唯一既是质数又是偶数的整数

3.1既不是质数又不是合数

五、奇数、偶数

1.奇数：不能被2整除

2.偶数：能被2整除

3.组合性质：奇数的正整数次幂为奇数；偶数的正整数次幂为偶数

六、实数比较大小

第二节比和比例

一、比

二、比例

a:b=c:d a,d为比例外项；b,c为比例内项

a:b=b:d b为a和d的比例中项，均为正数时，b是a和d的几何平均值

三、正比

若y=kx（k不为0），则称y与x成正比，k称为比例系数

四、反比

若y=k/x（k不为0），则称y与x成反比，k称为比例系数

五、比例的基本性质

（1）a:b=c:d <=> ad=bc

(2) a:b=c:d<=>b:a=d:c<=>b:d=a:c<=>d:b=c:a

六、重要定理

1.合比定理

2.分比定理

3.合分比定理

4.等比定理

第三节绝对值(只对负数起作用)

一、绝对值的定义

二、数学描述

几何意义是一个实数a在数轴上所对应的点到原点的距离值

三、基本不等式

|x| < a <=> -a < x < a(a>0)

|x| > a <=> x > a 或 x < -a(a>0)

四、绝对值的性质

1.对称性 |-a| = |a|,即互为相反数的两个数的绝对值相等。

2.等价性根号a² = |a|,|a|² = a²

3.自比性 -|a|<=a<=|a|

4.非负性 |a|>=0

第四节平均值

1.算数平均值

x=(x1+x2+x3)/3

2.几何平均值

x=³根号下x1*x2*x3

3.基本定理

算数平均值>=几何平均值(当几个数都相等时,等号成立.)

第二章应用题

第一节比例问题

1.变化率=(变化量/变前量)*100%=|现值-原值|/原值*100%=|现值/原值-1|*100%

2.增长率p%--原值a-->现值a(1+p%)；下降率p%--原值a-->现值a(1-p%)

3.恢复原值：原值先降p%,再增p%/(1-p%)才能恢复原值；或者先增p%再降p%/(1+p%)才能恢复原值

4.甲比乙大p%<=>(甲-乙)/乙=p%<=>甲=乙(1+p%);甲是乙的p%<=>甲=乙*p%

5.比例性质：如果a/b=c/d,则ad=bc

6.等比定理：a/b=c/d=e/f=a+c+e/b+d+f(b+d+f!=0)

7.总量=部分量/对应占的比例

第二节利润问题

1.利润 = 售价 - 进价

2.利润率 = 利润/进价*100%=(售价-进价)/进价*100%=(售价/进价-1)*100%

3.售价 = 进价 *（1+利润率）=进价+利润

第三节路程问题

1.路程s、速度v、时间t之间的关系

s=vt,t=s/v,v=s/t

2.对于直线型的路程问题

1.相遇 s相遇 = s1+ s2 = v1t+v2t = (v1 + v2)t

2.追及 s追及 = s1- s2 = v1t - v2t = (v1 - v2)t

V平均=总路程、总时间=(S+S)/(S/V1+S/V2)=2/(1/v1+1/v2)=2v1v2/(v1+v2)

3.对于圆圈型的路程问题（从同一起点同时出发，周长为s，第一次相遇时间为t）

反向运动：s = s1+s2 = v1t+v2t = (v1+v2)t

同向运动：s=s1-s2=v1t-v2t=(v1-v2)t

4.顺水、逆水问题

v顺水=v船+v水；v逆水=v船-v水

5.相对速度（两个物体运动时，可将一个作为参照物，看成相对静止的）

同向运动：v同向=v1-v2；相向运动：v相向=v1+v2

第四节工程问题

1.工作量S、工作效率V、工作时间t三者间的关系

工作量=工作效率*工作时间（s=vt）

工作时间=工作量/工作效率（t=s/v）

工作效率=工作量/工作时间(v=s/t)

2.重要说明

工作量：对于一个题，工作量往往是一定的，可以将总的工作量看作"1"

工作效率：合作时，总的效率等于各个效率的代数和

3.重要结论

若甲单独完成需要m天，乙完成需要n天，则：

1.甲的效率为1/m，乙的效率为1/n

2.甲、乙合作的效率为：1/m+1/n

3.甲、乙合作完成需要的时间为：1/(1/m+1/n)=mn/(m+n)

第五节交叉法

男工平均分 83                 2                              80(均)                = 2/3 女工平均分 78                 3

第六节浓度问题

1.基本公式

溶液 = 溶质+溶剂

浓度= 溶质/溶液*100% = 溶质/(溶质+溶剂)*100%

溶质 = 溶液*浓度

溶剂 = 溶液 * (1-浓度)

S+W法则：S/(S+W)=浓度=p%

2.重要等量关系

1.浓度不变准则

2.物质守恒准则

3.重要命题思路

1.“稀释”问题：特点是加溶剂，溶质不变，以溶质为基准进行求解

2.“浓缩问题”：也称“蒸发”问题，特点是减少溶剂，溶质不变，以溶质为基准进行求解

3.“加浓”问题：特点是增加溶质，溶剂不变，以溶剂为基准进行求解

4.“混合”问题：用两种或多种溶液混合在一起，采用溶质或溶剂质量守恒分析，也可利用杠杆原理分析

5.“置换”问题：一般是用溶剂等量置换溶液，可以记住结论，原来溶液v升，倒出m升，再补等量的溶剂（水），则浓度变为原来的(v-m)/v

6.溶质不变，溶液与浓度成反比

溶液1*浓度1=溶液2*浓度2

溶液1/溶液2=浓度2/浓度1

第七节集合问题

1.两个集合

1.按宏观区域分

公式：A U B = A + B - A n B = 全 - A反 n B反

2.按参加数量分

公式：全集 = 参加一项 + 参加两项 + 都没参加

2.三个集合

1.按宏观区域分

公式1：AUBUC=A+B+C-(AnB + BnC + AnC) + AnBnC

公式2：AUBUC=全-A反nB反nC反

2.按参加数量分

公式：全集=参加一项+参加两项+参加三项+都没参加

AUBUC=参加一项+参加两项+参加三项

A+B+C=参加一项+参加两项*2+参加三项*3

AnB+BnC+AnC=参加两项+参加三项*3

第八节分段计费

1.使用情况

水费、电费、打车费、快递费、个税等

2.求解过程

原数值a--分段计费标准-->费用b

第二部分代数

第三章代数式和函数

第一节有理式及运算

一、基本定义

1.整式

2.分式

3.最简分式

二、常用公式

1.平方差公式：a²-b² =(a+b)(a-b)

2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab-b²

3.(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

4.立方和公式：a³+b³=（a+b)(a²-ab+b²)

5.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

三、整式的加减运算

四、整式的乘法运算

五、整式的除法运算

1.整式的除法

2.因式定理：f(x)含有(x-a)因式<=>f(x)能被(x-a)整除<=>f(a)=0

六、因式分解

1.提公因式法

2.运用公式法

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

3.分组分解法（分组后能提公因式或分组后能用公式）

4.十字相乘法

5.拆项、补项法

第二节集合

一、集合的概念

1.集合

2.元素

3.表示

二、元素与集合的关系

1.属于

2.不属于

三、元素中集合的特征

1.确定性

2.互异性

3.无序性

四、集合间的基本关系

五、常用结论

1.任何一个集合的本身是它的子集

2.空集是任何集合的子集

3.n个元素的子集有2的n次方个；n个元素的真子集有2的n次方-1个;n个元素的非空子集有2的n次方-1个；n个元素的非空真子集有2的n次方-2个

第三节函数

一、一元二次函数

1.开口方向

由a决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下

2.对称轴

以x=-b/2a为对称轴

3.顶点坐标

（-b/2a,(4ac-b²)/4a)

4.y轴截距

c决定了抛物线与y轴截距的位置：c>0,交于x轴上方；c=0，交于原点；c<0,交于x轴下方

5.最值

当a>0时，有最小值(4ac-b²)/4a,无最大值

当a<0时,有最大值(4ac-b²)/4a,无最小值

6.f(m+t)=f(n-t)=>对称轴为(m+n)/2,和定有对称

7.f(m+t)=f(n+t)=>周期|m-n|，差定有周期

二、指数函数

1.指数函数的图像

y=a的x方(a>0,a!=1),其定义域为（-oo,+oo）

当0<a<1时，单调递减;当a>1时，单调递增；图像恒过点(0,1)

2.指数函数的运算公式(乘除变加减)

1.a的m次方*a的n次方=a的m+n次方

2.a的m方/a的n方=a的m-n方

3.(a的m方)n方=a的mn方

4.a的0方=1,a的-p方=1/a的p方

三、对数函数

1.对数函数的图像

y=loga的x方(a>0,a!=1),其定义域为(0,+oo),恒过(1,0)点

2.对数函数的运算公式(加减变乘除)

1.同底对数

2.幂运算

3.换底公式

第四章方程和不等式

第一节方程

一、基本概念和定义

1.方程与方程的解

2.方程的元和次

二、一元一次方程

ax=b(a!=0)

三、一元二次方程

1.基本形式

ax²+bx+c=0(a!=0)

2.方程解的情况

△=b²-4ac；△>0,有两个不等实数根；△=0,有两个相等的实数根;△<0,无实根

3.求根方法

1.十字相乘因式分解法(△为完全平方数可使用十字相乘)

2.求根公式法x1,x2=(-b±根号下△)/2a

4.根与系数的关系(韦达定理)

x1+x2=-a分之b；x1*x2=a分之c(对虚根也适用，需要验证△)

5.两根的符号情况

1.两个正根

x1+x2>0

x1*x2>0

△>=0

2.两个负根(a,b,c同号)

x1+x2<0

x1*x2>0

△>=0

3.一正一负根(a,c异号)

x1*x2<0

△>0

b号反，根变号；ac换，根取倒

6.两根的具体范围

画出抛物线，根据与x轴交点位置来分析，不能用韦达定理

开口向上

f(-1)>0 f(0)<0 f(1)>0

f(-1)f(0)<0

开口向下

f(-1)<0 f(0)>0 f(1)<0

f(0)f(1)<0

7.含绝对值的方程

1.分段讨论法

2.图像法

3.平方法

8.指数方程

1.同底去底法

2.化成对数式

3.取同底对数

9.对数方程

1.同底去底法

2.化成指数式

3.取同底指数

第二节不等式

一、不等式的定义

a-b>0<=>a>b;a-b=0<=>a=b;a-b<0<=>a<b

二、不等式的分类

1.矛盾不等式

2.绝对不等式

3.条件不等式

三、不等式的基本性质

1.传递性

a>b,b>c=>a>c

2.同向相加性

a>b         => a+c>b+d c>d

3.同向皆正相乘性

a>b>0            => ac>bd c>d>0

4.皆正倒数性

a>b>0 => 1/b>1/a>0

5.皆正乘(开方)性

a>b>0 => a的n次方>b的n次方>0(n∈Z+)

四、一元一次不等式

五、一元二次不等式

△>0

方程>0的解集：{x|x<x1或x>x2}

方程<0的解集：{x|x1<x<x2}

△=0

方程>0的解集：{x|x!=-b/2a}

方程<0的解集：∅

△<0

方程>0的解集：R

方程<0的解集：∅

六、绝对值不等式

1.定义法

2.公式法

3.平方法

解|f(x)|>|g(x)|型不等式

4.分段讨论

5.几何法

七、指数不等式

1.同底去底法

2.化成对数式

3.取同底对数

八、对数不等式

1.同底去底法

2.化成指数式

第三节均值不等式

一、算术平均值

n个数相加除以n

二、几何平均值

n个数相乘再开n方

三、均值不等式

当x1,x2···,xn为n个正数时，它们的算术平均值大于等于它们的几何平均值（当且仅当取等时，等号成立）

四、常用结论

1.任意实数成立

a²+b²≥2ab

ab≤(a²+b²)/2

2.正实数成立

(a+b)/2≥根号下ab

a+b≥2根号下ab

ab≤(a+b/2)²

3.倒数情况

4.和与平方和

(a+b/2)²≤a²+b²/2

五、做题应用及易错点

1.最值口诀：和定积最大，积定和最小

2.最值条件：一正(各项均为正)二定(乘积或和为定值)三相等(等号是否能取到)

3.应用

六、技巧总结

1.变号

2.凑项

3.凑系数

4.分离

5.统一变量

6.整体变形

7.指数和对数的最值

第五章数列

第一节一般数列

一、基本定义

1.数列的定义

2.通项公式

an=f(n)

3.数列的前n项和

Sn=a1+a2+···+an

4.数列的分类

1.按项分类

2.按an的增减性分类

5.递推公式

an与其前后项之间的关系式称为递推公式

二、an与Sn的关系

1.已知an，求Sn

an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

an=1/(根n+根n+1)=(根n+1)-根n

2.已知Sn，求an

a1=S1 n=1

an=Sn-Sn-1 n≥2

第二节等差数列

一、定义(证明其为等差数列)

an+1-an=d(常数)

二、通项公式

1.基本公式：an = a1+(n-1)d

2.扩展公式：an = ak + (n-k)d

3.函数特征

三、前n项和公式(重点)

1.基本公式：Sn=n(a1+an)/2

2.扩展公式：Sn=na1+n(n-1)d/2

3.函数特征：Sn=dn²/2+(a1-d/2)n

1.常数项为0，过零点

2.开口方向由d的符号决定

3.二次项系数为半公差d/2

4.对称轴x=1/2-a1/d(求最值)

5.若d不为0，等差数列的前n项和只能为二次函数;若d等于零,则退化成一次函数。二次函数各项系数之和等于首项

S2n-1=an*(2n-1)

四、等差数列的性质

1.元素性质:若m,n,l,k∈Z+,m+n=l+k,则am+an=al+ak

2.求和性质

若Sn为等差数列的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,···仍为等差数列,其公差为n²d

Sn/n-Sm/m=(n-m)d/2

第三节等比数列

一、定义(证明其为等比数列)

(an+1)/an=q(常数)，q为公比

二、通项公式(任何元素不得为0)

1.基本公式

an=a1*q的n-1次方

2.扩展公式

an=ak*q的n-k次方

an/am=q的n-m次方

三、前n项和公式

<div>          na1   q=1</div>Sn=           [a1(1-q的n次方)]/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q!=1时,Sn/Sm=1-q的n次方/1-q的m次方

ak/bk=S2k-1/T2k-1

四、所有项和S

1.条件：只有对于无穷递缩等比数列(|q|<1,q!=0),才存在所有项和

2.公式：S=a1/(1-q)

五、等比数列的性质

1.元素性质：若m,n,l,k∈Z+,m+n=l+k,则am*an=al*ak

2.求和性质:若Sn为等比数列的前n项和，则Sn，S2n-Sn,S3n-S2n,···仍为等比数列，其公比为q的n次方

第四节数列应用题

一、等差数列应用题

一月份产值为a，每月增p%

1.n月份=a(1+p%)的n-1次方

2.全年=a+a(1+p%)+a(1+p%)²+···+a(1+p%)的11次方

二、等比数列应用题

第三部分几何

第六章平面几何

第一节三角形

一、角的概念

1.角的定义

2.角的表示

3.角的平分线及其性质

二、相交线中的角

1.邻补角与对顶角

邻补角互补，对顶角相等

2.垂线

1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.

三、平行线

1.平行线的概念

2.平行线公理及其推论

公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

推论：如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行

3.平行线的判定

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

4.平行线的性质

两直线平行，同位角相等

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

四、三角形的内角与外角

1.内角

三角形的内角和为180°

2.外角

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和

五、三角形的三边关系

任意两边之和大于第三边

任意两边之差小于第三边

六、三角形的分类

1.直角三角形

两个锐角互余

30°角所对的直角边等于斜边的一半

斜边上的中线等于斜边的一半

勾股定理：a²+b²=c²

射影定理：斜边上的高线是两直角边在斜边上的投影的比例中项，每条直角边是他们在斜边上的投影和斜边的比例中项

2.等腰三角形

三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高

设腰长为a，底边长为b，则b/2<a

底角只能为锐角

3.等边三角形

高与边之比为：根3:2=根3/2:1

面积S=(根3/4)a²

高h=(根3/2)a

七、三角形的特殊线段

1.三角形的中线

三条中线交于三角形内部一点，这个点叫做重心，重心将中线分成2:1两段

中线把三角形分成面积相等的两半

中线定理：AB²+AC²=2(BD²+AD²)

2.三角形的角平分线

三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫做内心，内心到三角形三边的距离相等

AD²=AB*AC-BD*CD

AB/AC=BD/CD

3.三角形的高

三条高所在的直线交于一点，这个点叫做垂心

4.线段的垂直平分线

三条边的垂直平分线交于一点，这个点叫做外心，外心到三个顶点的距离相等

5.三角形的中位线

定理：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

位置关系：可以证明两条直线平行

数量关系：可以证明线段的倍分关系

三条中线可围成一个三角形

1.周长为原三角形周长的一半

2.将原三角形分割成四个全等的三角形

3.将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形

4.一条中线与它相交的中位线互相平分

5.任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等

八、三角形的面积公式

1.利用底高求面积

S=1/2*ah

2.理由夹角求面积

1/2*ab*sin∠c

3.利用边长求面积

S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)(p为三角形的半周长)

九、三角形的全等

1.全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形

2.三角形全等的判定

1.边角边

2.角边角

3.边边边

3.直角三角形全等的判定

HL:斜边和一条直角边对应相等

4.全等变换

1.平移变换

2.对称变换

3.旋转变换

5.全等三角形的表示和性质

十、三角形的相似

1.相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例

2.相似三角形的基本定理

平行与三角形一边的直线与另两边构成的三角形与原三角形相似

3.三角形相似的判定

1.定义法：对应角相等，对应边成比例

2.平行法

3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似

4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似

4.直角三角形相似的判定

1.定理：斜边和一条直角边与另一三角形对应成比例，那么两个三角形相似

2.垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似

5.相似三角形的性质

1.对应角相等，对应边成比例

2.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比

3.周长的比等于相似比

4.面积的比等于相似比的平方

第二节四边形

一、四边形概述

1.定义

2.对角线

3.四边形的不稳定性

4.四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和等于360°

四边形的外角和等于360°

推论：n边形的内角和等于(n-2)*180°；任意多边形的外角和等于360°

5.多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为[n(n-3)]/2

二、平行四边形

1.平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形

2.平行四边形的性质

1.邻角互补，对角相等

2.对边平行且相等

3.对角线互相平分

4.经过中点的线段被均分为两半，面积也被均分为两半

3.平行四边形的判定

1.定义：两组对边分别平行

2.定理1：两组对角分别相等

3.定理2：两组对边分别相等

4.定理3：对角线互相平分

5.定理4：一组对边平行且相等

4.平行四边形的面积

S = 底边长 * 高 = ah

三、矩形

1.概念

2.矩形的性质

3.矩形的判定

4.矩形的面积

四、菱形

1.概念

2.菱形的性质

3.菱形的判定

4.菱形的面积

S = 底边长 * 高 = 两条对角线乘积的一半

五、正方形

1.概念

2.正方形的性质

3.正方形的判定

4.正方形的面积

S = a²=b²/2,a为边，b为对角线

六、梯形

1.梯形的相关概念

2.梯形的判定

3.等腰梯形的性质

两腰相等，两底平行

对角线相等

轴对称图形，对称轴为两底的垂直平分线

4.等腰梯形的判定

5.梯形的面积

S = 1/2(上底+下底)*高

S = 中位线 * 高

6.梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

7.梯形的辅助线

1.过较短底的顶点作梯形的高

2.过一个顶点作腰的平行线

3.过一个顶点作一条对角线的平行线(与对角线围成的新的三角形面积等于原梯形面积)

4.延长两腰相交

5.连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交

第三节圆与扇形

一、角的弧度

把圆弧长度和半径的比值称为对一个圆心角的弧度

度与弧度的换算关系：1弧度=180°/π，1°=(π/180)弧度

二、与圆有关的定义

1.弦

2.直径

3.半圆

4.弧、优弧、劣弧

三、垂径定理及其推论

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

推论1

1.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

3.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

四、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1.圆心角

顶点在圆心的角叫作圆心角

2.弦心距

从圆心到弦的距离叫作弦心距

3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

五、圆周角定理及其推理

1.圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角

2.圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论：半圆所对的圆周角为90°；90°所对的弦是直径

六、过三点的圆及圆的接切

1.过三点的圆

不在同一直线的三个点确定一个圆

2.三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫作三角形的外接圆

3.三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫作三角形的外心

4.圆内接四边形的性质(四点共圆的判定条件)

圆内接四边形对角互补

七、圆的周长及面积

周长为C=2πr=πd

面积S=πr²=(1/4)πd²

八、扇形的弧长及面积

1.扇形的弧长

l=半径*弧度=角度/360*2πr

2.扇形面积

S=角度/360*πr²=1/2角度*半径

3.弓形面积

S = 扇形面积-三角形面积

4."弯角"面积

S = 正方形面积-扇形面积

5."谷子"面积

S = 弓形面积 * 2

九、扩展定理

1.相交弦定理

弦AB与弦CD相交于点E，则AE*BE=CE*DE

2.弦切角定理

弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角

3.切割线定理

PA为圆的切线，PC为圆的割线，则PA²=PB*PC

第七章解析几何

第一节平面直接坐标系

一、两点的中点坐标

两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的中点坐标为{(x1+x2)/2,(y1+y2)/2}

二、两点距离公式

两点A(x1,y1)与B(x2,y2)之间的距离为根号下(x2-x1)²+(y2-y1)²

第二节平面直线

一、直线的倾斜角和斜率

1.倾斜角

直线与x轴正方形所成的夹角，称为倾斜角

2.斜率(对边比临边)

k = tanα(α!=π/2)=(y2-y1)/(x2-x1)

斜率(大于90°为负数)的绝对值越大，直线越陡；并不是倾斜角越大，斜率越大

3.两点斜率公式

设直线上有两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2),则k={(y2-y1)/(x2-x1)}(x1!=x2)

二、直线方程

1.斜截式(不能表示竖直线)

斜率为k,在y轴上的截距为b(即过点P0(0,b))的直线方程为y=kx+b

2.点斜式(不能表示竖直线)

过点P(x0,y0),斜率为k的直线方程为y-y0=k(x-x0)

3.截距式(不能表示水平、竖直、过原点直线)

在x轴上的截距为a(即过点P1(a,0)),在y轴上的截距为b(即过点P0(0,b))的直线方程为x/a+y/b=1(a!=0,b!=0)

4.两点式(不能表示水平、竖直线)

过两点P1(x1,y1)与点P2(x2,y2)的直线方程为y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1(x1!=x2,y1!=y2)

5.一般式

ax+by+c=0(a,b不全为0)

斜率为-a/b,在x轴上的截距为-c/a,在y轴上的截距为-c/b

三、两条直线的位置关系(平行、相交、垂直)

l1//l2

k1=k2,b1!=b2

a1/a2=b1/b2!=c1/c2

l1交l2

k1!=k2

a1/a2!=b1/b2

l1⊥l2

k1k2=-1

a1/b1*a2/b2=-1<=>a1a2*b1b2=0

四、点到直线的距离

l:ax+by+c=0,点(x0,y0)到l的距离为d=|ax0+by0+c|/根号下(a²+b²)

五、两平行直线之间的距离(a,b系数要统一)

l1:ax+by+c1=0;l2:ax+by+c2=0,那么l1与l2之间的距离为d=|c1-c2|/根号下(a²+b²)

第三节圆

一、圆的方程

1.标准式

圆心为(x0,y0),半径为r的圆可表示为(x-x0)²+(y-y0)²=r²

2.一般式

x²+y²+ax+by+c=0 可配成标准式：(x+a/2)²+(y+b/2)²=(a²+b²-4c)/4

二、直线与圆的关系

1.相交

d<r

2.相切

d=r

3.相离

d>r

三、圆与圆的关系

1.外离

d>r1+r2

2.外切

d=r1+r2

3.相交

r1-r2<d<r1+r2

4.内切

d=r1-r2

5.内含

d<r1-r2

第八章立体几何

第一节长方体

一、长方体(棱长a,b,c)

1.体积：V=长宽高

2.全面积：F=2(ab+bc+ac)

3.体对角线：d=根号下(a²+b²+c²)

二、正方体(棱长为a)

1.体积：V=a³

2.全面积：F=6a²

3.体对角线：d=根号下3a

第二节柱体

一、柱体的分类

1.圆柱

2.棱柱：底面为n边形就就称为n棱柱

二、柱体的通用公式

1.侧面积：S=底面周长*高

2.体积：V=底面积*高

三、圆柱的公式

体积：V=πr²h

侧面积：S=2πrh

全面积：F=S侧+2S底=2πrh+2πr²

第三节球体

一、基础知识与概念

1.球的截面

2.球心和截面圆心的连线垂直于截面

3.球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系R²=d²+r²

4.球面距离

两点间的劣弧长

5.几何体的外接圆

顶点都在圆上

6.几何体的内接圆

与各几何面相切

二、公式(半径为R)

1.体积：V=4/3πR³

2.面积：S=4πR²

三、内切球(半径为R)

边长为a的正方体：R=a/2

等边圆柱(底面半径为r)：R=r

四、外切球(半径为R)

正方体(边长为a)：R=(根号3)a/2

长方体(边长a,b,c):R=根号下(a²+b²+c²)/2

圆柱(底面半径为r,高为h):(2R)²=(2r)²+h²

正三棱柱(边长为a,高为h)：R²=((根号3)a/3)²+(h/2)²

第四部分数据分析

第九章排列组合

第一节两个基本原理

一、分类计数原理(加法原理)

1.定义

如果完成一件事有n种办法,只要选择一类办法种的任一方法就可以完成此事，若第一类办法中有m1种，第二类m2种，第三类m3种，那么完成此事共有N=m1+m2+m3种不同办法

2.理解

1.合理分类，不重不漏

2.每个办法都可以单独完成

3.两类不同办法中的具体方法互不相同(即分类不重)

4.完成此任务的任何一种方法都属于某一类(即分类不漏)

二、分步计数原理(乘法原理)

1.定义

如果完成一件事，必须依次连续完成n个步骤，若完成第一步有m1种方法，第二步有m2种，第三步有m3种，那么完成此事共有N=m1*m2*m3种不同方法

2.理解

关键在于合理分步

各步计数相互独立

必须连续完成才算完成

三、两个原理的区别与联系(先分类再分步)

1.不同类的方法数之间做加法，不同步的方法数之间做乘法

2.遵循"不重不漏"原则

3.乘法原理，每步完成时此事也必须完成；且前面一个步骤中的每种方法都对应下一步中m种不同方法

4.分类处理：问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论

5.分步处理：问题总体不好解决时，常分成若干步，再由分步计数原理解决

第二节两个思维公式

一、排列

1.定义

从n个元素中，任意取出m个元素，按照一定顺序排成一列

2.排列数

记作P↑m↓n

3.排列数公式

P↑m↓n=n(n-1)(n-2)···(n-m+1)=n!/(n-m)!

4.常用数值

0!=1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120

5.应用

几个元素全排列就可以写成几的阶乘

二、组合

1.定义

从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数

2.组合数

记作C↑m↓n

3.组合数公式

C↑m↓n=n(n-1)···(n-m+1)/m(m-1)···2*1=n!/(m!(n-m)!

4.组合数的性质

C↑m↓n=C↑n-m↓n

5.常用组合恒等式

6.常用组合数

第三节解题准则及思维体系

一、根本方法(穷举、列举法)

从本质上理解排列组合及发现排列组合错误的根本方法

二、取样

1.选取元素或位置，用组合C↑m↓n

2.供大于求需要选取，供等于求只有一种选法

3.相同元素：无论选几个都只有一种方法

4.分类取样：男女、科目或部门等门类，然后分类选取

三、排序

关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换对结果无影响，则是组合问题。

四、取排结合

1.何时需要选取

供大于求

2.何时需要排序

有顺序是排列，无顺序是组合

3.两者同时出现时

先取后排

五、分类与取排结合

先分类再对每一类分步，结合取排分析求解

六、反面思维法

正面入手情况复杂，可以考虑反面入手

总体减

局部减

第四节思维方法进阶

一、特殊元素或位置

优先考虑特殊要求的元素或位置(特殊优先安排)

按元素性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步

二、相邻元素或位置

捆绑打包法，先将相邻元素"捆绑"起来看作一个元素对待，然后再在相邻元素之间排列

三、不相邻元素或位置

先将其他元素排好，再将不相邻元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入

四、排座位

1.单排

n个元素中有m个定序：n!/m!或C↑m↓n*(n-m)!种

2.多排

3.环排[无首无尾]

n个元素坐一圈：n!/n=(n-1)!种

五、分房法("死"的"活"次方)

一类元素可以重复，另一类元素不能重复，把不能重复的看作"人"，能重复的看作"房"，再利用乘法原理直接求解的方法称为"分房法"

使用条件：1.元素不同；2.对象不同；3.数量无限制(容器)

常用模型：1.房子(海纳百川)和人(不可分割) 2.盒子和球 3.可重数N位数

六、隔板法

使用要求：1.n个元素要相同；2.m个分配对象要不同 3.至少分一个

对应公式：如果分配对象非空，即每个对象至少分一个，则有C↑m-1↓n-1；如果分配对象允许为空，则有C↑m-1↓n+m-1

常用模型：1.直接，2.可空，3.至少分k个需要分步做：1.先分到剩1,2.再用公式，4隔板数未知：2的n-1次方

七、部分相同元素的排序

n个元素中有m个元素相同,要除以元素相同数量的阶乘，以消除排序：n!/m!种

使用条件：1.元素部分相同,2.每个元素重复的次数，3.数量明确

易错点：1.与隔板法的区别，2.某位置有特殊要求

常用模型：1.直接 AAA BB C,2.上台阶：n级要求m步，3.某位有特殊要求

八、对号与不对号

元素对号入座只有1种排法，元素不对号入座：2->1 3->2 4->9 5->44

使用条件：1.元素不同，2.对象不同，3.元素与对象存在一一对映

易错点：n个元素有n-1个对号，则说明全对号

九、分堆法(堆与堆无区别)

先根据题干分成需要的堆，元素数量相同再去重，几堆重除以几的阶乘

使用条件：1.元素不同，2.对象相同，3.有无数量相同

易错点：1.相同元素的分堆->只有一种分法；2.若对象不同时，可先分堆再配送

常用模型：1.有n个堆数相同，就除以n的阶乘；2.当数量为1的时候可用简写法

十、数字问题(多种方法和思路)

如果有0,0不能在首位，可用全部减去0在首位的情况

十一、几何图形的综合体

与几何图形相结合，根据几何图形需要的元素，进行选取分析

第五节易错思维总结

1.没有理解两个基本原理而出错

2.至少之多问题

3.判断不出是排列还是组合而出错

4.分房问题

5.遗漏计算而出错

6.忽视题设条件而出错

7.未考虑特殊情况而出错

第六节二项式定理

1.定义

2.通项公式

3.总结归纳

第十章概率初步

第一节古典概率

一、基本定义

1.随机试验

2.随机事件

指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件：随机事件=试验+期望结果

3.基本事件、必然事件、不可能事件

二、随机时间的概率

1.概率的定义

随机事件A发生的可能性大小的度量值称为事件A的概率，记为P(A)

2.概率的性质

三、古典概型

1.定义

1.样本空间的元素只有有限个

2.每个基本事件出现的可能性是相等的

2.计算公式

P(A)=事件A包含基本事件数k/样本空间中基本事件总数n

3.理解

需要用排列组合分别计算分子和分母的情况数，然后用比值表示发生的概率

四、三类基本古典概率

1.取球或取样

特征：重在取法

核心：取样方式

逐次取(顺序)

有放回：样本不变

无放回：样本逐一减少

一次取

逐次无放回取样=一次取样的概率

难点：至多至少

2.分房问题

特征：重在排法->至少有2人一间房--反面-->每人一间房

核心：分配方式

房间是否空

房间有n人(至多至少)

难点：分堆法、方幂法

3.数字问题(留意是否可重复)

特征：取排并重

核心：数位要求

难点：元素位置法

附：求余数个数：n=(an-a1)/d+1

计算100以内4的倍数:n倍=(100-4)/4+1=25

;计算100以内除以4余3的数:n余=(99-3)/4+1=25

第二节独立事件

一、独立事件的概念

如果两个事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率，则称这两个事件是相互独立的

二、数字定义

若P(AB)=P(A)P(B),则称两个事件A和B是相互独立的

三、常用结论

1.如果事件A1,A2,A3相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件的乘积：P=A1*A2*A3

2.如果事件A1,A2,A3相互独立，那么这n个事件都不发生的概率为：P=P反(A1)P反(A2)P反(A3)

3.如果事件A1,A2,A3相互独立，那么这n个事件至少有一个发生的概率：P=1-P反(A1)P反(A2)P反(A3)

4.如果事件A1,A2,A3相互独立，那么这n个事件恰有一个发生的概率：P=A1*P反(A2)P反(A3) + A2*P反(A1)P反(A3) + A3*P反(A1)P反(A2)

四、做题核心

先分析每次或每个对象的成败情况，再对应写概率即可

第三节伯努利公式

一、独立重复试验

将某试验重复n次，n次概率都相同

二、伯努利公式

某事件概率为p，那么n次独立重复实验中这次事件恰好发生k次的概率Pn(k)=C↑k↓n*p的k次方*q的n-k次方,其中q=1-p

n局k胜(3局2胜、5局3胜、7局4胜)

1.n局不一定打完

2.先胜k局者获胜

3.结束局冠军胜

第十一章数据描述

第一节平均数

一、平均数

有三个数x1,x2,x3,称x=(x1+x2+x3)/3为这三个数的平均数

二、众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数

三、中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数

第二节极差与方差

一、极差

1.定义：极差 = 最大值 - 最小值

2.意义：用来反映一组数据变化的大小范围

二、方差

1.定义：先平均，再求差，然后平方，最后再平均

2.意义：反映一组数据的整体波动大小的指标

三、标准差

1.定义：求出方差再开平方

2.意义：用来描述一组数据波动情况的特征数

第三节常见图表

一、饼图

通过扇形的大小来反映各个部分占总体的比例

二、折线图

通过折线可以看到数据整体的变化趋势

三、直方图

1.定义：把数据分为若干个小组，每组的组距保持一致，并在直角坐标系的横轴上标出每组的位置(以组距作为底)，计算每组所包含的数据个数(频数)，以该组的"频率/组距"为高做矩形，这样得出若干个矩形构成的图叫作频率分布直方图

2.要点

1.组距的确定：一般是认为确定，不能太大或太小

2.组数的确定：组数=极差/组距

3.每组频率的确定:频率=频数/数据容量

4.每组所确定的矩形的面积=组距*(频率/组距)=频率

5.频率分布直方图下的总面积等于1(各个面积之和=1)

6.分组时要遵循"不重不漏"的原则(左闭右开)

3.关系式

在直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等；平均数是直方图的重心，它等于每个小矩形面积乘以小矩形底边中点横坐标之和

自由主题

无穷级数（数二不要）

常数项级数

幂级数

傅里叶级数（仅数一）

多元微积分

微分学

函数、极限、连续

偏导数与全微分

多元微分的应用（极限与最值）

积分学

重积分（数二数三只要二重积分）

线面积分（仅数一）

多元积分的应用（仅数一）

向量代数与空间解析几何（仅数一）

微分方程

一阶方程

高阶可降阶方程（数三不要）

高阶线性方程

一元微积分

微分学

函数、极限、连续

导数与微分

微分中值定理及导数的应用

积分学

不定积分

定积分与反常积分

定积分的应用