考研高数知识点框架学习总结
2022-10-28 17:48:26 0 举报
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考研高数知识点框架学习总结
作者其他创作
大纲/内容
一元积分学
不定积分
谈什么
原函数存在
两大考点
考点一:基本概念
子主题
子主题
子主题
子主题
子主题
考点二:考点二:不定积分计算
预备知识
<font color="#c41230">1°最基本积分公式 </font>
∫ 1/(1+x²) dx = arctanx + c
∫ 1/√(1+x²) dx = ln[x+√(1+x²] + c
子主题
子主题
2°最基本积分运算法则
方法
方法一:第一换元法(凑微分法)
方法二:换元法(去根号法)
①直接换元法
(i)被积函数中含√(ax+b)
令t = √(ax+b),反解
(ii)被积函数中含√[(ax+b)/(cx+d)]
令t = √[(ax+b)/(cx+d)]
(iii)被积函数为f(e^x) / f(tanx)
令t = e^x / tanx
(iv)被积函数中含√(ae^bx+b)
令t = √(ae^bx+b)
②三角换元法
③倒代换(不去√)
方法三:分部积分法
方法四:有理分式积分法
方法五:有理三角函数万能公式法
定积分
谈什么
可积与否
变限积分
两大考点
考点一:基本概念及性质
1°定积分定义
2°定积分结果是一个数
3°可积(理论)
(i)f(x)连续
(ii)f(x)含可去间断点
(iii)f(x)含跳跃间断点
4°性质
①保序性
②反序性
<font color="#c41230">③对称性</font>
∫f(x)dx , 在[a , -a] = ∫ [ f(x) + f(-x) ]dx , 在 [0 , a]
5°定积分计算方法
6°定积分中的恒等式
①区间再现
②∫xf(x)dx
∫ xf(x)dx , 在[0 , π] = π/2∫f(sinx) dx , 在 [0 , π]
③对称性
④周期性
⑤华里士公式
7°变限积分
①变限积分/函数的连续性,可导性
②变限函数的奇偶性
(∫ f奇)' = 偶 在[a , x]
(∫ f偶)' = 奇 在[0 , x]
考点二:应用(几何)
面积
旋转体体积
题型
<font color="#c41230">①题型一</font>
∫f(x)dx , 在a,b 结果与什么有关?
<font color="#c41230">②题型二</font>
∫f(x)dx , 在a,b 结果是一个数,求f(x)
广义积分
反常积分
谈什么
敛散性
一元微分学
导数与微分概念
导数概念
(i)
(ii)
(iii)
微分概念
性质(奇偶性,周期性)
结论
① f(x)为可导奇函数 => f'(x)必为偶函数
② f(x)为可导偶函数 => f'(x)必为奇函数
③ f(x)为可导周期函数 => f'(x)仍为同周期的周期函数
eg:f'(x) = f'(x + T) = f'(x + 2T)
导数几何意义
斜率
计算导数
方法
①最基本初等函数导数公式
②四则运算
③复合运算
分类
1°反函数的导函数计算
2°隐函数的导数计算
3°参数方程的导数计算
4°变限函数求导
应用
应用一
两性
单调性
凹凸性
f ''(x)>0
凹
f ''(x)<0
凸
三点
极值点
1° 已知 y = f (x) (初等函数,隐函数,变限函数,分段函数)
(s1)先找所有可能极值点Xo
f '(x) = 0(驻点)
f '(x) 不存在(尖点)
(s2)判断上述可能极值点Xo
方法一(驻点):令f '(Xo)=0
f ''(Xo)≠0
Xo为极值点
f ''(Xo)>0
Xo为极小值点
f ''(Xo)>0
Xo为极大值点
方法二(驻点,尖点):X --> Xo(去心邻域),f '(x) 是否变号
(i) 若变号,则Xo为极值点
(ii)若不变号,则Xo不为极值点
2° 已知极限, 判断极值点 / 拐点
方法:保号性
① X --> Xo: f (X) >(<) f(Xo)
Xo为极小(大)值
② X --> Xo: f '(X) 变号
Xo为极值点
③ X --> Xo: f ''(X) 变号
(Xo,f(Xo))为拐点
3° 已知 f(x) 满足微分方程,问极值点 / 拐点
f '(Xo)=0
f ''(Xo)≠0
Xo为极值点
f ''(Xo)>0
Xo为极小值点
f ''(Xo)<0
Xo为极大值点
f ''(Xo)=0
f '''(Xo)≠0
(Xo,f(Xo))为拐点
最值点
(s1)先找所有可能最值点
f '(x) = 0
f '(x) 不存在
(s2)把上述可能最值点代入比大小
拐点
1° 已知 y = f (x) 求拐点
(s1)先找所有可能拐点Xo
f ''(x) = 0(驻点)
f ''(x) 不存在(尖点)
(s2)判断上述可能拐点Xo
方法一(驻点):令f ''(Xo)=0
方法二(驻点,尖点):X --> Xo(去心邻域),f ''(x) 是否变号
(i) 若变号,则Xo为拐点
(ii)若不变号,则(Xo,f(Xo))不为拐点
2° 已知极限, 判断极值点 / 拐点
同上
3° 已知 f(x) 满足微分方程,问极值点 / 拐点
同上
4° 从 f (x) 图像上来看拐点
一线
渐近线
水平渐近线
x -> +无穷
x -> -无穷
斜渐近线
(i) 如果这一侧有渐近线,那就别找斜渐近线了
(ii) 若这一侧没有水平渐近线才有可能有斜渐近线
铅直渐近线
lim y = 无穷
题型
①不等式证明
函数不等式
方法:构造函数F(x)
(i) 单调性
(ii)最值性
(iii)凹凸性
常数不等式
方法:转化为函数不等式
②方程根个数
零点定理
罗尔定理
③中间值证明
<span style="font-size: inherit;"><font color="#000000">数一数二</font></span><br>
k
r
应用二
函数
1° 定义域
2° 对应法则
代入法
换元法
3° 反函数
4° 函数特性
单调性
f '(x) > 0
<=
f(x)单调递增
≠>
eg: y = x^3
有界无界性
基本不等式
① 当 x>0, sinx<x
② 当0<x<π/2, sinx<x<tanx
③ 当 x>0, x/(1+x)<ln(1+x)<x
④ 任意a,b∈R 有 a²+b²≥2|ab|
⑤ x ∈ R,e^x≥1+x
⑥ 0<x<π/2, sinx>2x/π
奇偶性
定义及方法
周期性
定义及方法
5° 最基本初等函数
常值函数
幂函数
指数
对数
三角函数
反函数
6° 非初等函数
绝对值函数
取整函数
最值函数
7° 极限
定义
六种
收敛
f (x) --> A
<=>
| f (x) - A | 可以任意小
任意狗>0
<=>
| f (x)-A | ≤ 0
固定有限值
性质
保号性
极限保函数
计算
函数极限
步骤
(s1)先化简
1° 无穷因子取大头
速度比较:指数无穷>幂数无穷>对数无穷
2° 非零因子可先算出
3° 零因子等价替换或Taylor
无穷小
① 定义
② 性质
③ 无穷小与极限关系
脱帽法
题型:已知一个极限,求另一个极限
脱帽法
整体运用法
④ 无穷小的比较
⑤ Taylor 公式
(1)一般公式
本质
目的
形式
(2)麦克劳林公式
(3)常见麦克劳林公式
(s2)再洛必达
第一类:0/0 , 无穷/无穷
第二类:0 · 无穷
第三类:未定式
无穷 - 无穷
无穷 + 无穷
第四类:1^无穷,无穷^0,0^0
数列极限
① 若易于连续化
将数列极限性化为函数极限
② 若不易于连续化
夹逼准则
定积分定义
单调有界准则
多元积分学
考点一:最基本概念及性质
1° 定义
用于解决无穷和式数列极限
2° 几何意义
几何表示
总结
题型
题型一:求由曲面z = f (x,y) 及 z = 0所围立体体积,其中f(x,y)>= 0
V = ∫∫f(x,y)dxdy
题型二:由曲面 z = f1(x,y)及曲面 z = f2(x,y)所围立体体积
V = ∫∫f1(x,y)- f2(x,y) dxdy,其中f1>f2
3° 基本性质
① 线性性质
② 积分区域可加性
题型:用于分片函数二重积分计算,用到积分区域可加性
③ 保序性
定义
若f (x, y) >= g (x, y), 则∫∫f(x,y)dxdy >= ∫∫g(x,y)dxdy
题型:欲比较同一积分区域D上两个二重积分大小,只需比较(x,y)∈ D时,两个被积函数大小关系
④ 积分中值定理
定义
设f (x, y) 在闭区间D上连续,则至少存在(m, n)∈ D 使∫∫f(x,y)dxdy = f(m,n)dxdy
条件
(i) D~闭区间
(ii)f(x,y)~连续
题型:用于计算抽象函数二重积分
积分中值定理
轮换对称性及对称性
⑤ 对称性和轮换对称性
对称性
轮换对称性
区别
D-->D上/下,无系数
D-->D,多系数1/2
考点二:计算方法
直角坐标系
类型
X-型
Y-型
☆ 记住一些对y不好积的(先积x)
e^±y²
sin y²
cos y²
e^(x/y)
sin^(x/y)
cos^(x/y)
(e^y)/y
siny/y
cosy/y
极坐标系
特殊二重积分的计算
①
② 分片函数求二重积分
③
题型:变限函数的二重积分计算
多元微分学(不能用洛必达)
考点一:五个概念(以小题为主 or 大体中步骤分)
1° 二元函数
定义
二元函数Z=f(x,y)在一点处Po(x0,y0)处极限
① P(x, y) --> Po(x0, y0)
② P-->Po
方向:四面八方
路径:任意(折线,曲线)
③ f(x,y)在一点处Po(x0,y0)处极限 = A,A固定有限
用法:不用正面计算极限
① 用定义可证明极限不存在
(i) 存在一条路径,让P-->Po时,此时f(x, y)-->无穷,即极限不存在
(ii)存在两条路径,让P-->Po时
都存在但不相等
② 如何求极限
(s1)若将(x,y)=(x0,y0)代入f(x,y)中得到一个有意义数A,称A为其极限
(s2)若将(x,y)=(x0,y0)代入f(x,y)中时,出现 0/0 型
不允许使用洛必达
先化简(等价替换,Taylor)
再考虑上下次数
(i) 上次>下次
则极限存在且为0
(ii)上次=下次
不存在
(iii)上次<下次
不存在
注:以上三种情况,条件要求分母必为[ (x-x0 )² + (y-y0)² ]^α,若不是,一般都不存在
2° 连续
3° 偏导存在
定义
z = f(x, y), Po(x0, y0)
当f'x (x0,y0) 和 f 'y(x0, y0)都存在时,称f(x, y)在Po(x0, y0)处偏导存在
用法
① 用于检验f(x,y)在Po(x0,y0)处是否偏导存在
② 如何计算f'x (x0,y0) or f 'y(x0, y0)
(s1)现将y = y0 代入
f(x,y0)= φ(x)
(s2)f'x (x0,y0) = φ '(x0)
<=>
φ(x)初等函数
直接求导,再代入x0
φ(x)分段函数
用 lim 求极限,x-->x0
4° 可微
5° 偏导连续
考点二:偏导数与全微分计算
类型
① 初等函数
② 抽象复合函数
③隐函数
反问题
①
②
套话
z = f(x, y)有连续二阶偏导
=>
Zx'y' = Zy'x'
考点三:应用
极值
① 求 z = f (x, y) 极值点
(s1)先找驻点
f x' = 0
且
f y' = 0
(s2)Hessim海塞定理
驻点代入ABC
A = f x'x'
B = f x'y'
C = f y'y'
步骤
(i) AC - B > 0
=>
(x0, y0) 必为极值点
A > 0,极小值点
A < 0,极大值点
(ii) AC - B < 0
=>
(x0, y0) 不为极值点
(iii)AC - B = 0
=>
Hessim 失效
② 条件极值
求 z = f(x, y) 在φ (x,y ) = 0 约束条件下的极值点
引入拉格朗日函数
L(x, y, z) = f (x, y) + z·φ(x, y)
令
L 'x = f x'(x,y) + z·φ x'(x, y) = 0
L 'y = f x'(x,y) + z·φ y'(x, y) = 0
L 'z = φ(x, y) = 0
最值
① 求 z = f (x, y) 在φ(x, y) = 0 最大(小)值
(s1)L(x, y, z) = f (x, y) + z·φ(x, y)
找驻点,令
L 'x = f x'(x,y) + z·φ x'(x, y) = 0
L 'y = f x'(x,y) + z·φ y'(x, y) = 0
L 'z = φ(x, y) = 0
(s2)将驻点代入z = f(x, y) 中
M = Max{ f( x0, y0) , f( x1, y1) ······· }
② 求 z = f (x, y) 在闭区域D上最大(小)值
(s1)找D内驻点
D内部
f 'x = 0
f 'y = 0
D边界
L(x, y, z) = f (x, y) + z·φ(x, y)
令
L 'x = f x'(x,y) + z·φ x'(x, y) = 0
L 'y = f x'(x,y) + z·φ y'(x, y) = 0
L 'z = φ(x, y) = 0
(s2)代入目标函数
M = Max{ f ( D内驻点 ) , f ( D边界上驻点 ) ······· }
常微分方程
两类
求解计算(4')
综合应用题(10')
一元微分(导数)+ 微分方程
一元积分(定积分应用)+ 微分方程
多元微分计算
二重积分计算 + 微分方程
微分方程
考点一:基本概念
考点二:求解计算(求通解)
一阶
(i)变量可分离
y ' = p(x)·q(y)
(ii)齐次方程
y ' = f (y/x)
(s1)换元
(s2)变量可分离
(s3)回归元
(iii)一阶线性微分方程
y ' + p(x)·y = q(x)。 [p(x), q(x) 已知]
公式法
(iv)伯努利方程(数一)
(v)全微分方程(数一)
小妙招
y ' = p(x)·q(y)。q(y)已知
1° 变量可分离
2° 直接积分
y ' = p(x)·q(y)。p(x)已知
变量可分离
二阶
二阶线性微分方程
1° 形式
二阶线性齐次
y '' + p(x)y ' + q(x)y = 0
二阶线性非齐次
y '' + p(x)y ' + q(x)y = f (x)
二阶常系数非齐次
y '' + p·y ' + q·y = f (x)
公式
非齐通 = 齐通 + 非齐特 y*
y* = X^s · f(x)完整形式
求 y*
(s1)f (x)完整形式
(s2)X^s
2° 性质/结论
二阶可降阶微分方程(数一数二)
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