考研常微分方程数学知识点笔记总结
2022-10-28 17:49:14 0 举报AI智能生成
考研常微分方程数学知识点笔记总结
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大纲/内容
微分方程的概念
微分方程
含未知函数及其导数yamp;apos; 或 微分dy=···dx 的方程
常微分方程
未知函数是一元的微分方程
微分方程的阶
未知函数导数的最高阶
解
不是数 是一个函数
通解
含有独立常数的个数等于阶数
ex 三阶方程有三个独立常数
特解
通解+初始条件
初始条件
确定常数的条件
微分方程的求解
一阶微分方程
变量可分离
换元转变量可分离
一阶线性方程yapos;+py=q
伯努利方程
齐次型微分方程
整理dy/dx=n(y/x) → y/x=u 换元
二阶可降阶微分方程
不显未知函数y 化一阶
不显自变量x
高阶线性微分方程
二阶变系数线性微分方程
yamp;apos;amp;apos;+pyamp;apos;+qy=f(x)
齐次方程 f(x)自由项为0
非齐次方程 f(x)≠0
p,q为系数函数
二阶常系数线性微分方程
yamp;apos;amp;apos;+pyamp;apos;+qy=f(x)
齐次方程 f(x)自由项为0
非齐次方程 f(x)≠0
p,q为常数
解的结构
若两个解y1/y2≠常数 →两个线性无关的解且y=C1y1+C2y2为通解
非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解
二阶常系数齐次 线性微分方程通解
二阶常系数非齐次线性微分方程特解
n阶常系数齐次线性微分方程解
特殊技巧和细节
一阶线性微分方程yamp;apos;+py=q中，lnu可不加绝对值
+C的C 要写成同个形式
同乘同除凑已知微分方程类型
特解可代入求未知数
分支主题
章节技巧
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