数学一元函数积分学知识点学习笔记
2022-10-28 17:50:18 0 举报AI智能生成
数学一元函数积分学知识点学习笔记
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大纲/内容
概念
不定积分
原函数为F(x) 满足F'(x)=f(x) ∫f(x)dx=F(x)+C
定积分
存在定理
f(x)在[a,b] 连续 or 单调 or 有界且只有有限个间断点 → 积分存在
f(x)在[a,b] 可积 → f(x)有界
定义
几何定义
①与区间[a,b]和ξi无关 ②λ→0,则n→∞
精确定义
分支主题
基本性质
± 可拆
∫dx=b-a=L 为区间[b-a]长度
保号
若f(x)≤g(x) 则∫f(x)≤∫g(x)
|∫f(x)|=∫|f(x)|
x∈(a,b) 若 m≤f(x)≤M 则m(b-a)≤f(x)≤M(b-a)
积分中值
分支主题
牛顿-莱布尼兹公式
分支主题
特殊性质
分支主题
变限积分
积分表达式的x与上下限的x不同
性质
可积→连续→可导
分支主题
求解
积分函数中不能有上下限x
换元法
等价替换
反常/广义积分
f(x) 无穷小程度越小 反常积分越容易收敛
上下限均∞ → 上述两条件均存在极限 则收敛
反常积分 是一个无界函数也可能存在积分
伽马函数
特殊技巧和细节
f(x)连续或振荡间断点 必有原函数 F(x)
正常积分
积分区间有限
连续 or 只有有限个第一列间断点(跳跃 可去)
广义积分∫∞ f(x)dx 发散 则不能使用奇偶性
可积 → 有界
sin-cos对换法
常用换元法
n≥(b-a)/x+∞（λ→0）
定积分与自变量无关 故换元法后不代回定积分中
计算方法
基本积分公式
分支主题
凑微分法
分支主题
拿出一部分放到d后面 f'(x)dx=df(x)
换元法
记得结果代回去
含根式、反三角等时，从d后面拿出一部分放在前面 f'(x)dx=df(x)
分部积分法
由(uv)'=u'v+v'u 推导而来
∫udv=uv-∫vdu
微分简单 u 反 对 幂 指 三 v 积分简单
推广技巧
分支主题
有理函数积分
解法
①假分式→R(x)=多项式+真分式
②两个例子
分支主题
特殊技巧和细节
f'(x)=df(x)/dx →f'(x)dx=df(x)
不定积分易错点
分支主题
不定积分计算技巧
拆成基本公式或者+-式子
二次函数化顶点式
du 可拿出一部分放在前面
低次→高次
cosx+1=2cos²x/2
1+tan²x=sec²x
sin²和cos²x 同时出现 → 同除以cos²x
x×根号* →三角替换
分母拆看成a²+b²
分子+狗-狗 化简按a²+b²约分
几何应用
图形的面积
分支主题
旋转体的体积
分支主题
曲线的弧长
分支主题
函数的平均值
积分中值定理的f(ξ)
特殊技巧和细节
章节技巧
章节技巧
加减不能用无穷小，由于剩余o(x)
若y=f(x)可导,且f'(x)≠0 →存在反函数 f'(x)保号,f(x)单调
易错计算
sin²x 求导=sin(sinx)=sinxcosx
e^(sin²1/x) 求导=e^(sin²1/x)×sin(1/x)×cos(1/x)
欲求dy/dx|x=Xo 先x=Xo代入F(x,y)求y=？
区分极限、函数值和导数之间的关系
导数与微分
概念
导数
分左右导数
微分
用线性增量A△x代替复杂的增量△y 忽略误差 <br>若f(x)在x=Xo处可微，则 △y-dy=o(△x)
几何意义
f(Xo)在Xo处可微，则点(Xo,Yo)附近用 切线段≈曲线段
导数与微分的计算
四则运算
基本求导公式
分段函数
分段点
复合函数 与微分形式不变性
df(狗)=f'(狗)d狗
Because of 同阶无穷小△U=O(△x) 可任意替换
反函数
分支主题
参数方程
d²y/dx²=一阶导数关于t求导/x关于t求导
隐函数
y关于x的隐函数，y求导后保留为dy/dx
对数函数
等式两边取对数 lny=lnf(x)
幂指函数
u(x)^v(x)=e^[v(x)ln u(x)]
高阶函数
归纳法
泰勒公式
分支主题
分支主题
变限积分
分支主题
特殊技巧和细节
导数应用——瞬时变化率、割线的极限位置是曲线的切线、切线斜率
可导 ≠ 光滑 如y=x^(1/3)
连续 ←可导 ←→ 可微
周期函数 f'(x+T)=f'(x)
[ln|u(x)|]'=u'(x)/u(x)
分支主题
章节技巧
有待补充
微分不等式
零点问题
方程的根 交点问题
证明根的存在
f(a)×f(b)<0 至少存在一根
limf(x)=α limf(x)=β α×β<0 f(x)=0在(a,b)内至少一个根
证明根的唯一
f(x) 在(a,b)单调 【f'(x)存在≠0】 f(x)=0在(a,b)内至多一个根
小工具
f^n阶(x)=0 至多有k个根 则f(x)=0 至多k+n个根
实数 奇次方程 至少有一个实根
微分不等式
单调性、凹凸性和最值等证明
f''(x)>0 ,a<x<b，f(a)=f(b)=0 则f(x)<0
基本不等式
中值定理
中值定理
有关f(x)
有界和最值定理
m≤f(x)≤M
介值定理
m≤μ≤M, 存在f(ξ)=μ
平均值定理
分支主题
零点定理(经过x轴)
f(a)×f(b)<0 存在f(ξ)=0
有关f'(x)
费马定理
Xo处可导且可取极值(区间内部) ,则f'(Xo)=0
f(x)在[a,b]连续可导(ξ不唯一)
罗尔定理
f(a)=f(b) 存在f'(ξ)=0
几何意义:曲线段至少一条切线
拉格朗日中值定理
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
f(b)-f(a)=f'[a+(b-a)Θ](b-a) Θ∈(0,1)
柯西中值定理
f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(ξ)/g'(ξ)
g'(x)≠0 →g(a)≠g(b)
泰勒公式
分支主题
有关f(x)dx积分
分支主题
特殊技巧和细节
中值定理使用习惯
f(b)-f(a) →L
f(a),f(b),f(c) →2L
函数值之和 →介值定理和最值有界
只含ξ
还原法
有待补充
分组法
分支主题
微分法
把ξ=x,去分母整理成g(x)=0,找出φ'(x)=g(x)，φ(x)为辅助函数
含ξ,a和b
分支主题
只有f'(ξ)和f'(η)
找三点相等 2L
含ξ η 中值复杂度不同
( )' —L
( )'/( )' —C
二阶导数保号性
f''(x)><0
f'(x) 增减
f(x) ≥≤ f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)
f'(x)≠0 →f'(x)保号 →f(x)必有反函数 f(x)必单调
f(x)可导 → f'(x) 可以是连续或者振荡间断点
ξ不唯一 且多个ξ区间不一定相同
分支主题
分支主题
几何应用
作函数图像
四点
极值
定义
最值点Xo不是区间的端点，而是区间内部的点，那么Xo必是f(x)的一个极值点
判别
必要条件
f(x)在x=Xo 可导且Xo处取极大值，则有f'(Xo)=0
充分条件
f(x)连续且去心邻域可导
左f'(x)<0 右f'(x)>0 极小值
左f'(x)>0 右f'(x)<0 极大值
左右不变 无极值
f(x)在x=Xo二阶可导 且f'(Xo)=0,f''(Xo)≠0
f''(Xo)<0 f(x)极大值
f''(Xo)>0 极小值
f(x)在Xo处n阶可导 且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0<br>m=1,2,3, … n≥2
f^偶数阶(Xo)<0 极大值
f^奇数阶(Xo)>0 极小值
最值
驻点
f'(Xo)=0
拐点
(Xo,f(Xo)) 凹凸弧交界点
二阶可导
f''(x)>0 凹
f''(x)<0 凸
判别
必要条件
f''(Xo)存在且(Xo,f(Xo))为拐点，则f''(Xo)=0
充分条件
存在拐点(Xo,f(Xo))
f(x)在x=Xo三阶可导 且f''(Xo)=0,f'''(Xo)≠0
f(x)连续 去心邻域 二阶可导 f''(x)左右变号
f(x)在Xo处n阶可导 且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0<br>m=2,3, … n≥3
n为奇数 存在拐点(Xo,f(Xo))
两线
单调性
判别
f'(x)>0 增
f'(x)<0 减
凹凸性
分支主题
一线
渐近线
铅垂渐近线
x=Xo且为间断点
lim(x→Xo)=∞
f(a+0)=∞
f(a-o)=∞
(其一满足即可）
水平渐近线
y=A
lim(x→+∞)=lim(x→-∞)=A
斜渐近线
y=ax+b
左右均等
弧线
弧微分
基本公式 (ds)²=(dx)²+(dy)²
分支主题
曲率与曲率半径
分支主题
全局的取值范围
比较函数值
f'(x)=0
f'(x) 不存在
端点 或 单侧极限
特殊技巧和细节
端点无极值概念
间断点可以是极值点 极值间断→双侧有定义
极值点与可导性无关，可以是不可导点
拐点存在，不一定Xo导数存在，如y=x^(-1/3)
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