导数与微分考研知识点笔记
2022-10-28 17:50:57 0 举报AI智能生成
导数与微分考研知识点笔记
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大纲/内容
导数与微分
概念
导数
分左右导数
微分
用线性增量A△x代替复杂的增量△y 忽略误差 <br>若f(x)在x=Xo处可微，则 △y-dy=o(△x)
几何意义
f(Xo)在Xo处可微，则点(Xo,Yo)附近用 切线段≈曲线段
导数与微分的计算
四则运算
基本求导公式
分段函数
分段点
复合函数 与微分形式不变性
df(狗)=f'(狗)d狗
Because of 同阶无穷小△U=O(△x) 可任意替换
反函数
分支主题
参数方程
d²y/dx²=一阶导数关于t求导/x关于t求导
隐函数
y关于x的隐函数，y求导后保留为dy/dx
对数函数
等式两边取对数 lny=lnf(x)
幂指函数
u(x)^v(x)=e^[v(x)ln u(x)]
高阶函数
归纳法
泰勒公式
分支主题
分支主题
变限积分
分支主题
特殊技巧和细节
导数应用——瞬时变化率、割线的极限位置是曲线的切线、切线斜率
可导 ≠ 光滑 如y=x^(1/3)
连续 → 可导 ←→ 可微
周期函数 f'(x+T)=f'(x)
[ln|u(x)|]'=u'(x)/u(x)
分支主题
章节技巧
加减不能用无穷小，由于剩余o(x)
若y=f(x)可导,且f'(x)≠0 →存在反函数 f'(x)保号,f(x)单调
易错计算
sin²x 求导=sin(sinx)=sinxcosx
e^(sin²1/x) 求导=e^(sin²1/x)×sin(1/x)×cos(1/x)
欲求dy/dx|x=Xo 先x=Xo代入F(x,y)求y=？
区分极限、函数值和导数之间的关系
章节技巧
二重积分
几何背景
f(x,y)可积即二重积分存在
性质
一般性质
线性性质
可拆f=f1+f2
积分可加
可拆区间D=D1∪D2
估值定理
A为D的面积，则mA≤f(D)≤MA
中值定理
分支主题
保号性
分支主题
对称性
普通对称
找对称轴线
轮换对称
积分值与用什么字母无关
计算
计算法
计算口诀
后积先定限 限内画条线 先交写下限 后交写下限
直角坐标系
画线 ↑ [从下往上]
极坐标系
画线 → [从左往右]
计算技巧
坐标系选择原则
选用 极坐标
有 f(x²+y²)=f(r²) , f(y/x)=f(tanΘ) , f(x/y)=f(cosΘ)
圆or圆的一部分
积分次序转换
x,y积分互换 使用轮换对称 → 2I 双倍 或者 I² 升维度
极直系转换
分支主题
一元积分转二重积分问题
特殊技巧和细节
首先使用 对称性质 计算双重积分I
遇到极坐标马上转为直角坐标，反之亦然
分支主题
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