矩阵论知识点笔记总结
2022-10-28 18:02:48 0 举报AI智能生成
矩阵论知识点笔记总结
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大纲/内容
线性空间
线性空间的定义
n维向量空间
多项式空间
线性空间的基本性质
线性相关与线性无关
求线性空间的维数（最大线性无关向量个数）
若V中能找到m个线性无关向量，则dim(V)>=m
任一向量可以由同样m个向量线性表出，则dim(V)<=m
基、坐标和变换矩阵
求基下的坐标
多项式之间的运算可以转换为坐标的运算
两组基的变换矩阵
向量空间通过逆矩阵求解P
多项式通过构造两组基间线性关系求解<br>
当直接计算复杂时，考虑用标准基表示两组基
子空间
子空间的基一定可以扩充为Vn中的基
子空间的交与和
dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)=dimW1+dimW2
和空间与直和
充要条件为W1和W2的交空间只有零向量
定理：V1是Vn子空间，那么必定存在子空间V2使得V1V2直和等于Vn
线性变换与矩阵表示
线性变换的定义
线性变换矩阵表示：TB1=B2A
线性变换的核与值域
定理：Vn到Vm的线性变换T，则nullT+rankT=n
子空间与不变子空间
不变子空间
不变子空间简化T的矩阵表示
如果Wi都是T的不变子空间，则Vn=W1...Ws的直和，T在B下的矩阵是对角块矩阵
特征值、特征向量和可对角化
求解特征值与特征向量<br>
线性变换的特征子空间
几何重数：T关于任一特征值的所有特征向量加上零向量组成的空间维数
代数重数：特征多项式f(λ)=(λ-λ1)^n1...(λ-λs)^ns 其中的ni即为特征值λi的代数重数
任何特征值得几何重数不大于其代数重数
可对角化
证明线性变换可对角化：T在基B下的矩阵为对角矩阵
T有n个线性无关的特征向量
每个特征值的几何重数等于代数重数
T可对角化，则：T在基B下的矩阵A，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，该矩阵对角线为A的特征值，且P的列向量为A的特征向量
计算对角矩阵
特征多项式和最小多项式
方阵
方阵的迹等于特征值的和
方阵的行列式的值等于所有特征值的乘积
方阵的多项式g(t)-->g(A)
求解方阵多项式的特征值特征向量
λi为方阵A的特征值，g(A)的特征值为g(λi)
特征向量与A相同
幂零矩阵
A^k=O
幂零矩阵特征值为0
AB,BA特征多项式转换
定理：A:m×n B:n×m，则AB,BA的特征多项式转换为：fAB(λ)=λ^m-nfBA(λ)
零化多项式
g(A)=O
Cayley-Hamilton定理的应用
A的特征多项式为其零化多项式
求解A的多项式时，可以通过带入A的特征多项式为O的性质简化计算
最小多项式
A的零化多项式中次数最低的首一多项式，记为mA(λ)
λ0是A的特征值，其充要条件是λ0是最小多项式的根
求解A的最小多项式
1.求解A的特征多项式
2.从最低次检验，带入(A-λ1)^i(A-λ2)^j...=O时则为最小多项式
A为对角块矩阵时最小多项式为方阵块的最小多项式的最小公倍式
矩阵的秩
定理：rankA+rankB-n<=rank(AB)<=min{rankA,rankB}
方阵的特征子空间
A关于λ0的所有特征向量加上零向量的集合组成
几何重数与代数重数与线性变换的特征子空间中定义类似
证明n阶方阵A可对角化：充要条件是A的最小多项式必须没有重根
矩阵的Jordan标准形
Jordan块、Jordan矩阵
特征值的k级根向量
定理：A关于λ0的不同级的根向量是线性无关的
定理：A关于不同特征值的根向量是线性无关的
会求解λ的各级根向量
求解可逆矩阵P将方阵A化为Jordan标准型，即P-1AP=J
Jordan标准型性质
求解Jordan块的乘方，如J^5
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