数学级数知识框架学习笔记
2022-10-31 10:41:41 0 举报AI智能生成
数学级数知识框架学习笔记
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大纲/内容
11.5 幂级数
11.5.1amp;nbsp; amp;nbsp;幂级数及其收敛半径
幂级数的概念
分支主题
幂级数敛散的特点
一点处收敛，则内部全部绝对收敛
一点处发散，则外部全部发散
只有收敛半径处可能存在条件收敛
幂级数收敛半径的求法
比值法
分支主题
分支主题
根植法
分支主题
分支主题
11.5.2amp;nbsp; 幂级数的分析性质amp;lt;bramp;gt;——幂级数可以看作一个函数
收敛内的连续性
幂级数收敛的地方，函数连续
收敛域内的逐项可导性
收敛域内的逐项可积性
0 到 x 积分！
求导 / 积分后收敛半径不变
端点处“求导”不会扩大，而“积分”可能扩大
11.5.3amp;nbsp; Taylor 级数
taylor 级数展开的条件
邻域内任意阶可导
taylor 公式中的余项趋近于 0
taylor 级数的唯一性
分支主题
11.5.4amp;nbsp; amp;nbsp;常用初等函数的麦克劳林幂级数
（1-x）^α
收敛域是 （-1，1）
指数函数
收敛域：R
正弦、余弦
项的特点：正负交替。收敛域：R
对数函数amp;lt;bramp;gt;
项的特点：正负交替。收敛域是（-1，1]（1 的时候正好是lebniz判别法收敛）
11.5.5amp;nbsp; amp;nbsp;函数幂级数展开式的应用
求幂级数展开
方法——间接法
已知的幂级数展开
幂级数的分析性质——求导、积分
虽然不能平方，但是可以求导和积分！！
注意
将复杂函数拆成简单函数的方法
1/多项式amp;lt;bramp;gt;
分解后裂项
tan，sin=tan*cos
指数套多项式
求导以后化成1
注意是在哪一点展开！！
若是 2 处，则 x 需要凑成 （x-2） ！！
如 (1+x)^(-1)
分支主题
再如指数
分支主题
最后结果只能有一项幂级数！！
两项和要化成一项
通过改变 n 的起始位置来凑出相同的 （x-x0）幂次（题目已经凑好可以合并）
利用系数唯一性求幂级数的某一项系数
实在不行上绝招——待定系数法
求数项级数的和
步骤
适当的分解，转化为求一个或两个搞得定的幂级数的和
如线性拆开、分母分解因式以后裂项等等
利用幂级数分析性质将其转化为另一个简单幂级数求和
利用几何级数可计算
最后求得对应幂级数的和，再代入
难点和易错点
幂级数是从 n=0 开始的！但所求的级数一般不是从 n=0 开始，记得减去前几项！
用积分性质的话注意 n 需要满足使得分母不为0
用积分的话一定要注意还要加上 0 处的函数值！！
分支主题
10.6Fourier 级数
Fourier 系数
形如这样的级数amp;lt;bramp;gt;
a0 / 2 ！！！！
分支主题
奇函数、偶函数的 Fourier 级数
分支主题
Fourier 级数的和函数
分支主题
[0，π] 上的函数展开为正弦级数或余弦级数
求正弦/余弦级数分别做奇/偶延拓，成为 [-π，π] 上的奇函数或偶函数
求 bn 或者 an 后写出级数即可
拓展区间以后展开的级数认为是一样的
级数敛散性的判断
数项级数
选择题中，看一个级数是否收敛，只需看它与什么量级的 1/(n^p) 等价！
高阶小可以忽略！
同一量级的同时收敛或发散
必要条件
通项不趋于0则发散！
正项级数
必要条件
通项不趋于0则发散！
比较判别法
与等比、p级数比较
amp;lt;bramp;gt;
比值/根植判别法
积分判别法
条件：非负且单调递减
交错级数
必要条件
通项不趋于0则发散！
leibniz 判别法
正项部分单调趋于0
三角级数化出（-1）^n
分支主题
绝对收敛
加绝对值后的正项级数收敛
乘积项级数
Abel 判别法
Dirichlet 判别法
正弦级数 Sn 有界！
凑正弦积化和差相消
分支主题
相加的级数
分支主题
级数证明题
重写级数amp;lt;bramp;gt;
分支主题
cauchy 收敛准则amp;lt;bramp;gt;
级数 an 收敛的充要条件
在 n 充分大之后，有上式成立（p 是任意的）
分支主题
柯西收敛准则
分支主题
裂项
分支主题
11.1 数项级数的概念和基本性质
判断级数敛散性
向常用级数靠拢！
等比级数
|q|amp;lt;1 收敛
|q|amp;gt;=1 发散
p 级数
分支主题
p amp;gt; 1 收敛
p amp;lt;= 1 发散
1 / (n*ln n)^q
q amp;gt; 1，收敛amp;nbsp;
q amp;lt;= 1，发散
泰勒级数找同阶的p级数！！amp;lt;bramp;gt;
分支主题
11.1.1 数项级数的概念
基本概念
分支主题
（无穷）级数、级数的项、级数的通项
级数的前 n 项部分和
分支主题
等比、裂项、夹逼
分支主题
判断级数敛散性的最基础出发点amp;lt;bramp;gt;——前n项和的极限是否存在（定义）
分支主题
分支主题
收敛级数的余和充分小！！！
分支主题
11.1.2amp;nbsp; amp;nbsp;数项级数的基本性质
线性
分支主题
变化有限项不影响收敛性
但收敛值可能会改变
若级数收敛于和 S，则将相邻若干项相加的新级数仍然收敛于 S
级数收敛的必要条件
分支主题
分支主题
11.2 正项级数及其敛散性的判别法
正向级数收敛的充要条件
分支主题
正向数列有界等价于正向级数收敛
11.2.1amp;nbsp; amp;nbsp;比较判别法及推论
比较判别法
极限搞不定的时候可以用一下试试
无需从1开始，从某一有限值开始即可
比较判别法的极限形式
amp;lt;bramp;gt;
比较判别法常用辅助级数
等比级数
p 级数
收敛级数也不一定就是发散级数的高阶无穷小！（n 趋于无穷时）
11.2.2amp;nbsp; amp;nbsp;比值判别法和根值判别法
分支主题
极限为无穷和极限不存在不是一个概念！，可能是分母为0，或者子列极限不一样等等
比值是 l，则根植也是 l
斯特林公式
n 很大时
11.2.3amp;nbsp; amp;nbsp;积分判别法
f（x）条件
非负函数
amp;gt;=1时单调减少amp;lt;bramp;gt;
结论
级数与广义积分
分支主题
ln 型的可以尝试
分支主题
11.3amp;nbsp; amp;nbsp;任意项级数敛散性的判别法
11.3.1amp;nbsp; amp;nbsp;交错级数敛散性的判别法
Leibniz 判别法
正项部分递减且趋于0则收敛
11.3.2amp;nbsp; amp;nbsp;Abel 判别法和 Dirichlet 判别法
用于判定乘积级数的敛散性amp;lt;bramp;gt;
Abel 判别法
一个收敛，一个单调有界amp;lt;bramp;gt;
Dirichlet 判别法
一个前 n 项和有界，一个单调趋于0
11.3.3amp;nbsp; amp;nbsp;绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛
若级数绝对收敛，则任意交换其各项的次序所得的新级数仍然绝对收敛，且其和不变
n很大时，1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = ln（n）+ 欧拉常数
11.4amp;nbsp; amp;nbsp;函数项级数及其敛散性
函数项级数及收敛点、收敛域的概念
分支主题
和函数amp;lt;bramp;gt;
分支主题
函数项级数的敛散性
求一般函数项级数的收敛域
直接加绝对值，然后也用比值、根值判断！
讨论 x 的范围
幂级数
求系数只有一项的amp;lt;幂级数amp;gt;的收敛域
系数的比值或根植极限取倒数后求得 R
再单独判断一下端点处的敛散性
求系数是多项的amp;lt;幂级数amp;gt;的收敛域
分别求收敛域，再求交集！！
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