重积分知识点学习笔记
2022-10-31 11:43:01 1 举报AI智能生成
重积分知识点学习笔记
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大纲/内容
xy正则区域
先“定积分” 后“二重积分”lt;brgt;
柱线法计算公式
1) 柱线法
z型空间区域
分支主题
截面法计算公式
被积函数只是z的函数、且平行xoy面的截面面积容易计算时，一定要用截面法！
截面法适用情况
2) 截面法
球体区域
椭球体区域
三重积分的轮换性
直角坐标系下，三重积分的对称性
画出一个柱面，然后画出最后一个曲面与它的交线
画交线即画两个交点！
只要知道交线就可以了！
没有z的方程就是一个垂直xoy平面的柱面！
直角坐标系下，三重积分的难点——画立体图形
易错：锥面于球面的交线是否超过赤道
化多重积分为一重积分然后求导，注意导数定义的运用
f（x）在x=0处可导与f（x）在0处导数连续的区别
求多重积分比什么的极限
直角坐标系下三重积分计算总结
9.3.1三重积分在直角坐标系下的计算
三重积分变量代换的定理
椭圆区域
被积函数中有诸如x^2+y^2+(z+2)^2的形式
常见适用情况
算重积分的时候雅可比行列式别忘了！
9.3.2三重积分变量代换
本质上就是柱线法或者截面法，然后其中的二重积分再用极坐标
本质
柱面坐标系中r，θ，z的几何意义
柱面坐标变换
柱线法+极坐标
截面法+极坐标
柱面坐标系的两种计算方法
被积函数含有x^2+y^2
投影区域是圆域或扇形或扇环
适用条件之一即可
9.3.3三重积分在柱面坐标系下的计算法
球面坐标
球面坐标变换
Jacobi行列式
换椭圆
广义球面坐标变换
三重积分的雅可比行列式同样有倒数性质
9.3.4三重积分在球面坐标系下的计算法
9.3三重积分的计算
平面图形的面积
空间立体的体积
空间物体的质量
前三节中涉及的重积分应用
进而得到
先找
二重积分的微元法lt;brgt;
两个曲面联立消去 z，得到的就是两个曲面的交线在 xoy 平面上的投影
求一部分圆柱面的面积
注意
9.4.1曲面面积
物体的质心
9.4.2重积分的物理应用
9.4重积分的应用
开偶次方一定要加绝对值！！！
不能看到2就写半径为2
半径是右边开平方！lt;brgt;
超级易错！
如变量代换的证明题
poisson积分的计算
一元函数积分与二重积分的综合（计算题或证明题）
特点总结
x、y型区域
交换积分顺序
极坐标变换
变量代换
利用区域对称性和函数奇偶性
计算方法
密度函数*面积元的求和
利用定义
特殊题型
二重积分计算题目
柱线法
截面法
球坐标代换
区域对称性和函数奇偶性
三重积分计算题目
本章总结
平面薄板的质量
物理意义
曲顶柱体的体积
被积函数为1
几何意义
不存在时可通过取不同点得到不同值来体现
二重积分的存在性和极限值与区域D的分划方式及每个小区域中点的取法无关
二重积分定义
三重积分定义
初等多元函数在定义域上都连续，连续必可积
有界闭区域上连续则可积
有界闭区域上有界，且只有有限条光滑曲线上不连续
可积的充分条件
9.1.1二重积分和三重积分的概念
如果能计算直接面积的话，会方便很多！！
9.1.2重积分的性质
9.重积分的概念和性质
正则区域
交换x，y的积分次序
固定 y，z 时，如果关于 x 是奇函数且有对应的对称性，则积分就为 0！
利用被积函数和区域的对称性计算二重积分
求一个不知名曲线围成的面积——先求一个变量的范围（用另一个表示上下限），然后根据其有意义的条件得另一个的具体范围
求两个带 z 的平面在某一范围内所夹出的立体的体积——关键：找出积分区域，判断两个z的相对大小（直接绝对值也可）
直角坐标下，画不出区域时求二重积分的方法lt;brgt;
典例—— Poisson 积分的计算
x 与 y “记号”变换凑二重积分法
9.2.1直角坐标系下的计算公式
被积函数有 x方+y方 的形式
适用极坐标计算的情况
θ型正则区域
正常
极点在区域外部
此时θ的范围可以由rgt;=0解出lt;brgt;
极点在区域边界上（也有可能同时满足3）
极点在区域内部（是指被包围了，lt;brgt;即一圈的任意射线都与区域相交，并不一定在区域内部
θ型区域的具体计算类型
圆弧线划过去必须满足：与非区域边界最多有两个交点
画圆弧找出最近的r和最远的r（常数），然后逆时针找θ(r)的上下限
r型区域
不仅有rgt;=0，更有r大于等于二分之一！
根据已知的式子挖掘出lt;brgt;所有的不等式确定范围即可积分
极坐标下，画不出积分区域的积分计算
9.2.2极坐标系下的计算公式
变量代换是高级方法，合理利用会大大简化！一定要注意公式中是雅克比行列式的绝对值！！！别忘了绝对值！lt;brgt;
定理
经常会遇到变换之后到圆域上，再用极坐标代换
不过原点的圆域，化到标准圆域
任意正或斜椭圆区域，化成标准圆域
边界映到边界（边界曲线方程的变换）
区域变换以后形成的域的原象，可能有两块
两条直线与两条双曲线相交而成的区域，化成矩形区域
变量代换的常见情况
雅克比行列式的倒数关系
边界映到边界
第二个需要解出原有的表达式
一个有确切范围，第二个需要用第一个表示出来
坐标变换时如果已经写成了累次积分的形式，那么一定要注意不能只改变上下限，因为上下限等于的还是原来的变量！
变量代换时范围的确定
9.2.3二重积分的变量代换
9.2 二重积分的计算
使用运用立体形状的对称性及质量的分布特性
适当选择可以简化计算的图形
技巧
求曲面面积
求立体表面积
平面
立体
求转动惯量
求质心
题型
特殊情况：均质物体，则为形心
质心（重心）
曲面面积
转动惯量
引力
平面薄片的质量
平面区域的面积
二重积分
立体的体积
立体的质量
三重积分
应用
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