高等数学上下册知识点框架笔记
2022-10-31 13:55:55 0 举报AI智能生成
高等数学上下册知识点框架笔记
作者其他创作
大纲/内容
0/0，无穷/无穷，0*无穷
<span style="font-size: inherit;">无穷^0，0^0，1^无穷</span><br>
无穷—无穷
七种未定式
极限存在（不管是否为0）的部分拆项先算出来
加减中
极限存在（不为0）的部分先分离出来算
乘除中
抓大头、有理化、通分
重要技巧
倒代换
见趋于无穷，正三角
幂指函数怎么处理？
根号差
注意（1+x)^a
化简先行
常见替换（注意狗）
等价无穷小替换
cos
泰勒公式
能不能用，用了再说
对付变限积分
洛必达
极限是个数！
函数求极限
等价替换
找大哥
求两者商的极限
无穷小运算规则
无穷小比阶
换成函数极限，最后加句什么话？
归结定理
特征是什么？
拉格朗日
易于连续化
两项比值和（？）的大小关系是关键？
极限的保号性
用好第一问提示
题设条件的恒等变形
递推型
放缩夹逼
最大值最小值夹逼
抓哪个？
n次根号下n次方和
有哪些？
基本不等式
夹逼定理
特征？
注意A带入递推式可以得一个式子
建立Xn-A的递推式
先斩后奏
数归法证有界
给X1的区间
Fn(Xn+1)<Fn+1(Xn+1)=Fn(Xn ）得单调性
含有Fn函数型
单调有界
不易于连续化
数列极限
左极限等于右极限
连续的定义
四种间断点是怎样的？
不定积分存在定理哪两个？
定积分存在定理哪两个？
间断点类型
分段函数分段点点
无定义点
找哪些点？
n趋于无穷，X^n的分段函数怎么写？
n趋于无穷，e^nx分段函数怎么写？
n趋于无穷，e^1/x分段函数怎么写？
先写分段表达式，再讨论
带极限的函数讨论间断点
连续与间断
极限、连续
某点处导数
分段函数分段点的导数
左右有别
导数的定义
定义法求X0点导数
公式法求导数
做极限，左导数=右导数=导函数值
导数连续
怎么证可微？
可微的定义
一点的导数问题
按行求导
按列求导
行列式函数求导
复合函数求导
分段点用定义求导
分段区域用公式法
分段函数求导
参数方程二阶导还记得嘛？
参数方程求导
一阶导是什么？
二阶导是什么？
反函数求导
什么时候用？
对数求导法
莱布尼兹高阶求导公式
找规律递推
函数的高阶导
比较同阶系数
有泰勒公式
求一次导，移项，莱布尼兹高阶导公式，注意讨论n的奇偶
没有泰勒公式
某点的高阶导
高阶导
导数计算
曲线的构造（显示、隐式、参数、极坐标（可以转化为参数方程））
切线问题
函数的构造（显、隐、参、极、分段、变限（题中给f(0)=0时可以转化为变限）
性态问题
f`(x)=0的点
不可导点
区间端点
最值问题
极值点什么样？
拐点什么样？
f(x)
f`(x)
图像问题
水平怎么求？
铅锤怎求？
斜渐近线怎么求？
渐近线
k=112232
曲率
抓好dt
变化率问题
导数应用
注意题设提示！！
乘法求导公式逆用
减法多是由分式求导
e^x f(x)
e^-x[f`(x)+f(x)]
f``(x)-f(x)=0
lnf(x)
f`(x)/f(x)
f(x)f``(x)-[f`(x)]^2
[f(x)]^2
f(x)f`(x)
辅助函数
区间端点和中点
多点就画图
用好区间
两个的是柯西，一个的拉，凑出来
柯西、拉格朗日
人以类聚，物以群分
注意分小区间，一般为题设已知信息点，或区间中点
X0：已知导数值的点
X:已知函数值的点
注意有时X取区间中点
高阶用泰勒
特征
设k=左端
化成对称形式，并令成F(x)
方法
常数k值法
将预证结论中的ξ令成x
积分(c=0)
移项，使一段为0，令成F(x)
检查区间端点函数值
积分还原法
给出高阶关系，证低阶不等式
给出低阶关系，证高阶不等式
f(x)=f(x)-f(0)=f`(ξ)x
计算中，二阶导大小已知，一阶减0阶，将0阶化成一阶
题中有f(0)=0
式子里有积分，小心
见积分用了再说
积分中值定理
中值定理
将参数转至等到一边，研究另一边的一元函数性态
画图，讨论参数
分离变量法
带参数讨论根的个数
零点定理，单调
有且仅有一个根
方程的根
导数
凹函数：切线在函数下方（小于）
凸函数：切线在函数上方（大于）
凹凸性几何意义
不等式证明
一元函数微分学
定积分是个数！
周期函数一个周期上的积分与起点无关
∫(0→x)f(t)dt的奇偶性和f(x)相反
f(x)以T为周期，∫(0→x)f(t)dt以T为周期 等价 ∫(0→T)f(t)dt=0
对称区间的定积分计算经常可以用到
∫(-a→a)f(x)dx=∫(0→a)[f(x)-f(-x)]dx
若f(x)以T为周期，则lim(x->＋无穷)1/x∫(0->x)f(t)dt=1/T∫(0->T)f(x)dx
0->Π/2是怎样的？
0->Π是怎样的？
0->2Π是怎么的？
点火公式
概念与性质
奇偶性、和零的大小关系
几何法
做差和零比大小
将换号区间拆分，让一个换元回另一个
区间上换号
一元积分比大小
小心等价代换
左端点：i 0->n-1
右端点： i 1->n
左右端点作高
函数最值夹逼
夹逼
定积分的定义
小心奇偶性
x=-u换元，积分区间不变
对称区间
tan代换
含无穷大
特殊区间
复合函数凑微分，分两步！
式子中多个e^x，小心奇偶和凑微分
凑微分
积分内带导数
积分内带变限积分
降阶
升阶
分部积分法
复杂部分代换
三角代换
万能代换
x=区间-t
区间再现
∫(0→Π)xf(sinx)dx=(Π/2)∫(0→Π)f(sinx)dx
用好诱导公式
区间有无穷，有1/x
分母次方明显高于分子
积分内带导数的换元小心！
换原法
注意分子的恒等变换
有理函数积分
特征：含e^x且不好积分
分成两个式子，一个可以由另一个分部积分抵消
最后记得 +C !
不可求积可抵消
积分计算
直接求导
换元后再求导
带绝对值，根据区间先拆分
拆分后再求导
变限积分
无穷大于一艘
抓大头
找瑕点
不能在同一积分内判断区间趋于无穷和分母为零的情况
确定参数
大的收敛小的必收敛
小的发散大的必发散
判别
当作定积分计算，最后带上下限用极限做
反常积分收敛与计算
绕Y轴转是怎么的？
绕X轴转是怎么的？
左右型按dy算
求旋转体体积
先确定定义域，再确定值域，画草图，注意对称性
看作一元函数的换元，紧抓∫(a->b) ydx
参数方程
公式还记得？
极坐标
求所围图形面积
直角坐标系下？
参数方程下？
r=r(θ)
换成参数方程做
θ=f(r)
极坐标下？
弧长公式
r=2sinθ
圆
摆线
r=aθ
阿基米德螺旋线
全长6
星型线
r^2=cos2θ
伯努利双扭线
全长8a
r=a(1+cosθ)
心型线
常见曲线
曲面曲线的弧长
分支主题
质心（形心）
一元积分的几何应用
建立坐标系，微元法列方程
变力沿直线做功
抽水做功
水压力
一元积分的物理应用
平均值
变上(下)限积分
高阶导多泰勒
一阶导，f(a)=0，多拉格朗日
泰勒公式，拉格朗日
推广的积分中值定理
∫ < f(x) < ∫
一元积分不等式
一元函数积分学
上册
子主题
二元函数求极限
定义法
某点偏导数
常从x=y方向否定可微
可微
凑定义
△z=A△x+B△y+o(ρ)
概念
链式求导法则
显式
隐式
求偏导数
令u=f(t)
u=f内没逗号
根据题设求偏导数
偏微分方程变换
多元微分法
判别存在
△判别法几种情况，选择题怎么做？
解题步骤还记得？
无条件极值
条件最值
带入法，转化成一元函数
边界上条件最值
不必算出是极大还是极小
区域内无条件极值
所有参考点，取最大为最大值，最小为最小值
闭区间内最值问题
多元函数的极值，最值问题
多元函数微分学
积分内函数比较
奇偶性
特值法
积分比大小
画图
X轴，Y轴对称，
x=y对称，轮换对称性
判断对称性
“偶倍奇零“
判断区间上函数奇偶性
考虑换积分次序
考虑换极坐标
步骤
形心
∫∫ydσ ∫∫xdσ
画图，分区域积分
绝对值函数
分段函数
最值函数
被积函数花样
区域趋于零点
广义圆，换极坐标
区域趋于无穷
区间花样
计算
二重积分
缺x怎么换元？
缺y怎么换元？
1. 缺x或缺y
2.变量可分离
3. y/x 或 x/y 型
dy/dx
dx/dy
4. 一阶线性型（公式法）
计算过程中及时带入，方便化简
变限积分自带初始条件
注意！对不同字母积分时，常数C为另以字母的函数
5. 确定常数C
判断顺序
解题步骤是怎么的？
解的形式有哪三种？
二阶常系数齐次微分方程
解题步骤是怎样的？
选择题确定特解的形式？
特解是怎么确定的？
确定解的过程？
自由项带三角函数
自由项不带三角函数
二阶常系数非齐次微分方程
解的形式是怎么的？和二阶有什么相同点？
n阶常系数非齐次微分方程
齐次系数相加为 0
非齐次系数相加为 1
线性方程解的结构
由特解确定特征方程的解，再确定特征方程，再将特征方程写回微分方程
已知特解，反求方程
根据实际问题挖掘初始条件，确定常数C
注意！比例常数k前的+-号，根据实际问题而定
微分方程的应用
常微分方程
下册
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