高等数学上下册知识点框架笔记
2022-10-31 13:55:55 0 举报AI智能生成
高等数学上下册知识点框架笔记
作者其他创作
大纲/内容
上册
极限、连续
函数求极限
七种未定式
0/0，无穷/无穷，0*无穷
<span style="font-size: inherit;">无穷^0，0^0，1^无穷</span><br>
无穷—无穷
重要技巧
加减中
极限存在（不管是否为0）的部分拆项先算出来
乘除中
极限存在（不为0）的部分先分离出来算
抓大头、有理化、通分
化简先行
见趋于无穷，正三角
倒代换
幂指函数怎么处理？
根号差
注意（1+x)^a
等价无穷小替换
常见替换（注意狗）
泰勒公式
sin,arcsin,tan,arctan
cos
ln(1+x),e^x
1/(1-x),(1+x)^a
洛必达
能不能用，用了再说
对付变限积分
极限是个数！
无穷小比阶
等价替换
泰勒公式
找大哥
求两者商的极限
无穷小运算规则
数列极限
易于连续化
归结定理
换成函数极限，最后加句什么话？
拉格朗日
特征是什么？
不易于连续化
极限的保号性
两项比值和（？）的大小关系是关键？
递推型
用好第一问提示
题设条件的恒等变形
夹逼定理
放缩夹逼
最大值最小值夹逼
n次根号下n次方和
抓哪个？
基本不等式
有哪些？
先斩后奏
特征？
注意A带入递推式可以得一个式子
建立Xn-A的递推式
单调有界
给X1的区间
数归法证有界
含有Fn函数型
Fn(Xn+1)<Fn+1(Xn+1)=Fn(Xn ）得单调性
连续与间断
连续的定义
左极限等于右极限
间断点类型
四种间断点是怎样的？
不定积分存在定理哪两个？
定积分存在定理哪两个？
找哪些点？
分段函数分段点点
无定义点
带极限的函数讨论间断点
先写分段表达式，再讨论
n趋于无穷，X^n的分段函数怎么写？
n趋于无穷，e^nx分段函数怎么写？
n趋于无穷，e^1/x分段函数怎么写？
一元函数微分学
一点的导数问题
导数的定义
某点处导数
分段函数分段点的导数
左右有别
导数连续
定义法求X0点导数
公式法求导数
做极限，左导数=右导数=导函数值
可微的定义
怎么证可微？
导数计算
行列式函数求导
按行求导
按列求导
复合函数求导
分段函数求导
分段点用定义求导
分段区域用公式法
参数方程求导
参数方程二阶导还记得嘛？
反函数求导
一阶导是什么？
二阶导是什么？
对数求导法
什么时候用？
高阶导
函数的高阶导
莱布尼兹高阶求导公式
找规律递推
某点的高阶导
有泰勒公式
比较同阶系数
没有泰勒公式
求一次导，移项，莱布尼兹高阶导公式，注意讨论n的奇偶
导数应用
切线问题
曲线的构造（显示、隐式、参数、极坐标（可以转化为参数方程））
性态问题
函数的构造（显、隐、参、极、分段、变限（题中给f(0)=0时可以转化为变限）
最值问题
f`(x)=0的点
不可导点
区间端点
图像问题
f(x)
极值点什么样？
拐点什么样？
f`(x)
极值点什么样？
拐点什么样？
渐近线
水平怎么求？
铅锤怎求？
斜渐近线怎么求？
曲率
k=112232
变化率问题
抓好dt
中值定理
辅助函数
注意题设提示！！
乘法求导公式逆用
减法多是由分式求导
f``(x)-f(x)=0
e^-x[f`(x)+f(x)]
e^x f(x)
f(x)f``(x)-[f`(x)]^2
f`(x)/f(x)
lnf(x)
f(x)f`(x)
[f(x)]^2
用好区间
区间端点和中点
多点就画图
存在 ξ，η∈（a,b)
柯西、拉格朗日
两个的是柯西，一个的拉，凑出来
存在不同ξ，η∈（a,b)
人以类聚，物以群分
注意分小区间，一般为题设已知信息点，或区间中点
高阶用泰勒
X0：已知导数值的点
X:已知函数值的点
注意有时X取区间中点
常数k值法
特征
证明(a,b)内至少存在一点ξ，使式子成立
一端为含f(a),f(b)的式子，一端为ξ的式子
方法
设k=左端
化成对称形式，并令成F(x)
验证F(a)=F(b),罗尔定理即证
积分还原法
将预证结论中的ξ令成x
积分(c=0)
移项，使一段为0，令成F(x)
检查区间端点函数值
拉格朗日
给出高阶关系，证低阶不等式
给出低阶关系，证高阶不等式
题中有f(0)=0
f(x)=f(x)-f(0)=f`(ξ)x
计算中，二阶导大小已知，一阶减0阶，将0阶化成一阶
式子里有积分，小心
积分中值定理
见积分用了再说
方程的根
带参数讨论根的个数
分离变量法
将参数转至等到一边，研究另一边的一元函数性态
画图，讨论参数
有且仅有一个根
零点定理，单调
不等式证明
导数
泰勒公式
拉格朗日
凹凸性几何意义
凹函数：切线在函数下方（小于）
凸函数：切线在函数上方（大于）
一元函数积分学
概念与性质
定积分是个数！
周期函数一个周期上的积分与起点无关
∫(0→x)f(t)dt的奇偶性和f(x)相反
f(x)以T为周期，∫(0→x)f(t)dt以T为周期 等价 ∫(0→T)f(t)dt=0
∫(-a→a)f(x)dx=∫(0→a)[f(x)-f(-x)]dx
对称区间的定积分计算经常可以用到
若f(x)以T为周期，则lim(x->＋无穷)1/x∫(0->x)f(t)dt=1/T∫(0->T)f(x)dx
点火公式
0->Π/2是怎样的？
0->Π是怎样的？
0->2Π是怎么的？
一元积分比大小
奇偶性、和零的大小关系
几何法
区间上换号
做差和零比大小
将换号区间拆分，让一个换元回另一个
定积分的定义
小心等价代换
夹逼
左右端点作高
左端点：i 0->n-1
右端点： i 1->n
n趋于无穷,(1/n)*(n/n+1)=1/n
函数最值夹逼
积分计算
特殊区间
对称区间
小心奇偶性
∫(-a→a)f(x)dx=∫(0→a)[f(x)-f(-x)]dx
x=-u换元，积分区间不变
含无穷大
倒代换
tan代换
凑微分
复合函数凑微分，分两步！
式子中多个e^x，小心奇偶和凑微分
分部积分法
降阶
积分内带导数
积分内带变限积分
升阶
y(0)=0,牛莱公式
小技巧 dx=d(x+1),dx^2=d(x^2+1)
换原法
复杂部分代换
三角代换
万能代换
u=tan(x/2),sinx=2u/(1+u^2),cosx=(1-u^2)/(1+u^2)
区间再现
x=区间-t
用好诱导公式
∫(0→Π)xf(sinx)dx=(Π/2)∫(0→Π)f(sinx)dx
即有sin又有cos,式子比较对称
倒代换
区间有无穷，有1/x
分母次方明显高于分子
积分内带导数的换元小心！
有理函数积分
注意分子的恒等变换
不可求积可抵消
特征：含e^x且不好积分
分成两个式子，一个可以由另一个分部积分抵消
最后记得 +C !
变限积分
直接求导
换元后再求导
拆分后再求导
带绝对值，根据区间先拆分
反常积分收敛与计算
确定参数
无穷大于一艘
等价替换
抓大头
找瑕点
不能在同一积分内判断区间趋于无穷和分母为零的情况
判别
大的收敛小的必收敛
小的发散大的必发散
当作定积分计算，最后带上下限用极限做
一元积分的几何应用
求旋转体体积
绕Y轴转是怎么的？
绕X轴转是怎么的？
左右型按dy算
求所围图形面积
先确定定义域，再确定值域，画草图，注意对称性
参数方程
看作一元函数的换元，紧抓∫(a->b) ydx
极坐标
公式还记得？
曲面曲线的弧长
弧长公式
直角坐标系下？
参数方程下？
极坐标下？
r=r(θ)
θ=f(r)
换成参数方程做
常见曲线
圆
r=2sinθ
摆线
x=t-sint , y=1-cost
阿基米德螺旋线
r=aθ
星型线
x=(cost)^3,y=(sint)^3
全长6
伯努利双扭线
r^2=cos2θ
心型线
r=a(1+cosθ)
全长8a
质心（形心）
公式还记得？
分支主题
一元积分的物理应用
建立坐标系，微元法列方程
变力沿直线做功
抽水做功
水压力
平均值
公式还记得？
一元积分不等式
变上(下)限积分
泰勒公式，拉格朗日
高阶导多泰勒
一阶导，f(a)=0，多拉格朗日
推广的积分中值定理
分支主题
∫ < f(x) < ∫
分支主题
分支主题
下册
多元函数微分学
概念
二元函数求极限
子主题
某点偏导数
定义法
左右有别
可微
公式还记得？
分支主题
常从x=y方向否定可微
△z=A△x+B△y+o(ρ)
凑定义
多元微分法
求偏导数
链式求导法则
显式
隐式
偏微分方程变换
u=f内没逗号
令u=f(t)
分支主题
z=f[p(x,y),q(x,y)]有逗号
令u=p(x,y),v=q(x,y)
根据题设求偏导数
多元函数的极值，最值问题
判别存在
分支主题
无条件极值
△判别法几种情况，选择题怎么做？
解题步骤还记得？
条件最值
解题步骤还记得？
解方程常用前x,y,z的方程凑λ的方程
闭区间内最值问题
边界上条件最值
带入法，转化成一元函数
区域内无条件极值
不必算出是极大还是极小
所有参考点，取最大为最大值，最小为最小值
二重积分
积分比大小
积分内函数比较
奇偶性
特值法
计算
步骤
画图
判断对称性
X轴，Y轴对称，
x=y对称，轮换对称性
判断区间上函数奇偶性
“偶倍奇零“
考虑换积分次序
考虑换极坐标
见x^2+y^2 , y/(x+y)
∫∫ydσ ∫∫xdσ
形心
被积函数花样
绝对值函数
画图，分区域积分
分段函数
画图，分区域积分
最值函数
min/max{a,b}，找a=y的图像
区间花样
区域趋于零点
积分中值定理
区域趋于无穷
广义圆，换极坐标
常微分方程
判断顺序
1. 缺x或缺y
缺x怎么换元？
缺y怎么换元？
2.变量可分离
3. y/x 或 x/y 型
4. 一阶线性型（公式法）
公式还记得？
dy/dx
dx/dy
5. 确定常数C
计算过程中及时带入，方便化简
变限积分自带初始条件
注意！对不同字母积分时，常数C为另以字母的函数
二阶常系数齐次微分方程
解题步骤是怎么的？
解的形式有哪三种？
二阶常系数非齐次微分方程
解题步骤是怎样的？
特解是怎么确定的？
选择题确定特解的形式？
自由项带三角函数
确定解的过程？
自由项不带三角函数
确定解的过程？
n阶常系数非齐次微分方程
解的形式是怎么的？和二阶有什么相同点？
线性方程解的结构
齐次系数相加为 0
非齐次系数相加为 1
已知特解，反求方程
由特解确定特征方程的解，再确定特征方程，再将特征方程写回微分方程
微分方程的应用
根据实际问题挖掘初始条件，确定常数C
注意！比例常数k前的+-号，根据实际问题而定
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