高数知识框架学习复习笔记

ε-N

唯一性lt;brgt;

有界性

保号性

唯一性

局部有界性

保号性

定义

性质

定义

性质

求导法则

分支主题

迫敛定理（夹逼定理）

单调有界数列必有极限

lt;brgt;

高阶无穷小

同阶无穷小

等价无穷小

f(x)在某点连续

f(x)在某闭区间连续[a, b]

定义

分类

四则运算

复合运算

结论

闭区间连续函数性质

等价定义

可导lt;font face=quot;楷体quot;gt;=gt;lt;/fontgt;连续

可导 lt;font face=quot;楷体quot;gt;lt;=gt;lt;/fontgt;左导数=右导数

lt;brgt;

分支主题

分支主题

分支主题

分支主题

分支主题

四则法则

反函数求导法则

复合函数求导法则

定义

求解方法

隐函数

参数方程确定的函数求导

其中A=fapos;( x。)

其中f(x)可导，不限制在x。处

公式(基本初等函数微分公式)

四则

复合

前提：x=x。处可微

分支主题

① f(x)∈C[a,b]lt;brgt;② f(x)在(a,b)可导lt;brgt;③ f(a)=f(b)

分支主题

分支主题

① f(x)∈C[a,b]lt;brgt;② f(x)在(a,b)可导lt;brgt;

分支主题

分支主题

① f(x), g(x)∈C[a,b]lt;brgt;② f(x), g(x)在(a,b)可导lt;brgt;③ gapos;(x)≠0

分支主题

分支主题

0/0

∞/∞

设f(x)在x=x。的邻域内lt;b style=quot;color: rgb(196, 18, 48);quot;gt;n+1阶可导，lt;/bgt;lt;font color=quot;#000000quot;gt;则lt;bgt;f(x)=Pn(x)+Rn(x)lt;/bgt;lt;/fontgt;

分支主题

分支主题

f(x)∈C [a,b]，(a,b)可导

x=a为f(x)极值点 =gt; fapos;(a)=0lt;bgt;或不存在lt;/bgt;

x=a为f(x)极值点且f(a)可导 =gt; fapos;(a)=0

找出x∈D

fapos;(x)=0/不存在lt;bgt;lt;font face=quot;黑体quot;gt;＝gt;lt;/fontgt;lt;/bgt; x=?

判别法

水平

铅直

斜

y=f(x)

参数方程

...

设f(x),F(x)(x∈I)，对任意的x∈I，有lt;bgt;Fapos;(x)=f(x)lt;/bgt;，则F(x)为f(x)lt;bgt;原函数lt;/bgt;

设F(x)为f(x)的一个原函数，F(x)+C为f(x)一切原函数，lt;brgt;则F(x)+C为f(x)的lt;bgt;不定积分lt;/bgt;，记lt;bgt;∫f(x)dxlt;/bgt;

分支主题

分支主题

分支主题

第一类换元积分法

第二类换元积分法

分部积分法

有理函数不定积分

lt;brgt;f(x)在[a,b]有界lt;brgt;

和的微积分等于微积分的和

常数k可以提出来

积分区间可分段计算

保号性

积分中值定理

变限积分的函数

牛顿-莱布尼茨公式

lt;bgt;积分中值定理推广lt;/bgt;

换元积分

分部积分lt;brgt;

正常积分？

两类反常积分

面积

体积

弧长

功

力

含有导数或者微分的方程。lt;brgt;若微分方程中只含有一个自变量，一个函数关系称为lt;bgt;常微分方程lt;/bgt;

设y为x的函数，则x，y的微分方程中，导数或微分的最高阶称为微分方程的阶

y关于x的微分方程F(...yapos;apos;, yapos;, y, x) = 0,若函数y=φ(x)满足F，则称y=φ(x)为微分方程的解

定义

解法

定义

解法

一阶齐次线性微分方程

一阶非齐线性微分方程

降阶还原为一阶即可

分支主题

分支主题

lt;bgt;n阶齐次lt;/bgt;线性微分方程lt;brgt;lt;bgt;n阶非齐lt;/bgt;线性微分方程

lt;bgt;线性有关lt;/bgt;:若φ(x)与g(x)之比为常数，则~lt;brgt;lt;bgt;线性无关lt;/bgt;:~

yapos;apos;+a(x)yapos;+b(x)y=0 (1)lt;brgt;yapos;apos;+a(x)yapos;+b(x)y=c(x) (2)lt;brgt;

形式

通解

yapos;apos;+pyapos;+qy=f(x)

对于一个非齐线性方程，其lt;font color=quot;#c41230quot; style=quot;font-weight: bold;quot;gt;通解=齐的通解+本身的一个特解lt;/fontgt;lt;brgt;lt;font color=quot;#000000quot; style=quot;quot;gt;所以关键是lt;/fontgt;lt;font color=quot;#c41230quot; style=quot;font-weight: bold;quot;gt;lt;ugt;找出本身的一个特解lt;/ugt;lt;/fontgt;lt;brgt;

向量

向量相等

向量的模，向量夹角

加法

减法

与常数相乘

xyz轴必须逆时针

模

方向角，方向余弦

投影

定义

性质

代数描述

定义

三角形面积

S: F(x, y ,z)=0

点法式：A( x - x。)+B( y - y。)+C( z - z。)

截距式：

一般式：Ax+By+Cz+D=0

分支主题

点向式（对称式）：

参数式：

一般式：lt;bgt;两平面公共线lt;/bgt;

夹角

距离

平面束

定义：F(x , y)=0为某曲线平行于z轴的柱面

投影曲线：柱面在xoy内的投影

曲线L

一般形式

参数式

平面点集

多元函数概念

多元函数极限

连续性与性质

定义

高阶偏导数

二元函数全微分定义

结论

z=f(u,v)lt;brgt;u=φ(t), v=ψ(t)

z=f(u,v)lt;brgt;u=u(x, y), v=v(x, y)

一个约束条件

两个约束条件

空间曲线lt;brgt;lt;bgt;切线lt;/bgt; 法平面

空间曲面lt;brgt;切平面 法线

方向导数

梯度

定义

计算

和的积分=积分的和，系数可提取

区间可分段计算

1的重积分等于积分区域面积

函数大，重积分大

积分中值定理

x型区域

y型区域

特征

方法

直角坐标法

柱面坐标法

球面坐标法

定义

性质

计算方法

定义

性质

计算

①D为连通区域（单/多），L为D的正向边界lt;brgt;②P,Q在D上lt;bgt;连续可偏导lt;/bgt;

注意点(关于两个前提条件)

定义

计算方法（二重积分法）

P在lt;bgt;有侧曲面Σlt;/bgt;上对坐标y，z的曲面积分

计算方法——二重积分法

Ω是几何区域，Σ为Ω的lt;bgt;外表面lt;/bgt;lt;brgt;P，Q，R在Ω上连续可偏导

分支主题

分支主题

说明

分支主题

几何级数

p-级数

和的级数=级数的和，常数可提取

级数中增加，删除，修改有限次，级数lt;bgt;敛散性不变lt;/bgt;，但lt;bgt;结果不一样lt;/bgt;

添加括号，级数收敛性不降低(发散变收敛，收敛变更收敛...)

若[常数级数]收敛，则an=0(n-gt;∞)，反之则不成立

正向级数

交错级数

绝对收敛与条件收敛

函数项级数

收敛点

收敛域

和函数lt;brgt;

分支主题

分支主题