高数知识框架学习复习笔记
2022-10-31 13:59:52 0 举报AI智能生成
高数知识框架学习复习笔记
作者其他创作
大纲/内容
ε-N
定义
唯一性lt;brgt;
有界性
保号性
性质
数列极限
ε-δ
ε-X
唯一性
局部有界性
函数极限
函数
极限为0
0±0=0
K×0=0(k为常数)
f(x)=A(x→x0) ⇔ f(x)=A+α
α→0，|β|lt;M，则αβ→0
无穷小
1/∞=0
无穷大
无穷小与无穷大
求导法则
分支主题
四则运算
复合函数求导法则
极限的运算法则
迫敛定理（夹逼定理）
单调有界数列必有极限
极限存在准则
lt;brgt;
两个重要极限
极限存在准则及两个重要极限
高阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
比较
常见等价无穷小(三类)lt;brgt;
无穷小的比较
左连续
右连续
f(x)在某点连续
连续
可去间断点lt;brgt;f(a+0)=f(a-0)≠f(a)lt;brgt;
跳跃间断点lt;brgt;f(a+0)≠f(a-0)lt;brgt;
分类
间断点及其分类
函数的连续性与间断点
复合运算
连续函数运算
初等函数在其定义域内是连续的
结论
最值定理
有界定理
零点定理
介值定理
闭区间连续函数性质
初等函数连续性
连续函数运算及初等函数连续性
极限与连续
等价定义
可导lt;font face=quot;楷体quot;gt;=gt;lt;/fontgt;连续
可导 lt;font face=quot;楷体quot;gt;lt;=gt;lt;/fontgt;左导数=右导数
求导公式
四则法则
反函数求导法则
二阶导数
n阶
归纳法
“此消彼长”
公式法
求解方法
高阶导数
方法：求dy/dx，将y看成关于x的函数即可，即y=φ(x)
隐函数
方法：利用中间变量转化即可
注意认清谁对谁求导
参数方程确定的函数求导
隐函数及由参数方程确定的函数求导
导数
其中A=fapos;( x。)
其中f(x)可导，不限制在x。处
公式(基本初等函数微分公式)
四则
lt;bgt;一阶微分形式不变性lt;/bgt;
复合
工具
前提：x=x。处可微
近似计算
微分
导数与微分
罗尔(Rolle)中值定理(R)
f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)
拉格朗日(Lagrange)中值定理(L)
柯西(Cauchy)中值定理(C)
lt;bgt;微分中值定理lt;/bgt;
若fapos;(x) / Fapos;(x) = A（x-gt;a）不存在，lt;brgt;只能说明洛必达法则用不了，不能说lt;brgt;明极限不存在
0/0
∞/∞
lt;bgt;0/0 或 ∞/∞型极限求解lt;/bgt;
洛必达法则
拉格朗日型余项
皮亚诺型余项
麦克劳林公式
公式(xlt;font face=quot;宋体quot;gt;lt;bgt;-lt;/bgt;lt;/fontgt;gt;0时做替换)
泰勒(Taylor)公式
单调性
凹凸性
函数单调性与曲线凹凸性
x=a为f(x)极值点 =gt; fapos;(a)=0lt;bgt;或不存在lt;/bgt;
x=a为f(x)极值点且f(a)可导 =gt; fapos;(a)=0
函数极大值与极小值
找出x∈D
fapos;(x)=0/不存在lt;bgt;lt;font face=quot;黑体quot;gt;＝gt;lt;/fontgt;lt;/bgt; x=?
x=a为极小点
xgt;a时fapos;(x)gt;0lt;brgt;xlt;a时fapos;(x)lt;0
x=a为极大点
xgt;a时fapos;(x)lt;0lt;brgt;xlt;a时fapos;(x)gt;0
方法一（第一充分条件）
fapos;apos;(a)gt;0
fapos;apos;(x)lt;0
方法二（第二充分条件）
判别法
极值求解步骤
函数最大值与最小值
极值和最值
水平
铅直
斜
渐近线
函数图像描绘
y=f(x)
参数方程
弧微分
...
曲率与曲率半径
弧微分与曲率
微分中值定理与导数应用
一个函数有原函数，则一定有无数个原函数
一个函数任意两个原函数之间相差常数
原函数
∫f(x)dx=F(x)+C
设F(x)为f(x)的一个原函数，F(x)+C为f(x)一切原函数，lt;brgt;则F(x)+C为f(x)的lt;bgt;不定积分lt;/bgt;，记lt;bgt;∫f(x)dxlt;/bgt;
不定积分
不定积分基本公式
不定积分的性质
公式
第一类换元积分法
出现lt;bgt;√￣，第一类换元无法解决lt;/bgt;
平方和差的形式，第一类换元无法解决
使用场景
第二类换元积分法
分部积分法
真分式与假分式
R(x)为假分式=gt;R(x)=多项式+真分式
R(x)为真分式=gt;分子不变，分母因式分解=gt;拆成部分和
步骤——∫R(x)dx
特殊类型
有理函数不定积分
积分方法
和的微积分等于微积分的和
常数k可以提出来
积分区间可分段计算
积分中值定理
变限积分的函数
牛顿-莱布尼茨公式
lt;bgt;积分中值定理推广lt;/bgt;
积分基本公式lt;brgt;
lt;bgt;注意积分上下限也随之变化lt;/bgt;
换元积分
分部积分lt;brgt;
换元积分与分部积分
①积分区间有限lt;brgt;②f(x)在积分区间内连续或有有限个第一类间断点
正常积分？
收敛
发散
取区间一点分段计算
(-∞，+∞)
形式
Γ(α+1) =αΓ(α)
Γ(n+1)=n!
Γ(½) =√π
Γ-函数
积分区间无限
a为瑕点
b为瑕点
瑕点在ab之间
无界函数反常积分
两类反常积分
反常积分(广义积分)
定积分
元素法思想
面积
旋转体
截口面积已知的几何体
体积
弧长
几何应用
功
力
物理应用
应用
定积分及其应用
含有导数或者微分的方程。lt;brgt;若微分方程中只含有一个自变量，一个函数关系称为lt;bgt;常微分方程lt;/bgt;
lt;bgt;微分方程lt;/bgt;
设y为x的函数，则x，y的微分方程中，导数或微分的最高阶称为微分方程的阶
微分方程的阶
解中含有n个相互独立的任意常数
通解
解中不含常数
特解
微分方程的解
一些基本概念
解法
可分离变量的微分方程
齐次微分方程
一阶齐次线性微分方程
通解（常数变易法）lt;brgt;
一阶非齐线性微分方程
一阶线性微分方程
一阶微分方程
降阶还原为一阶即可
可降阶的高阶微分方程
lt;bgt;n阶齐次lt;/bgt;线性微分方程lt;brgt;lt;bgt;n阶非齐lt;/bgt;线性微分方程
lt;bgt;线性有关lt;/bgt;:若φ(x)与g(x)之比为常数，则~lt;brgt;lt;bgt;线性无关lt;/bgt;:~
基本概念
yapos;apos;+a(x)yapos;+b(x)y=0 (1)lt;brgt;yapos;apos;+a(x)yapos;+b(x)y=c(x) (2)lt;brgt;
结构
高阶线性微分方程
yapos;apos;+pyapos;+qy=0
△gt;0
△=0
△lt;0
特征方程lt;font color=quot;#c41230quot;gt;λ²+pλ+q=0lt;/fontgt;
二阶
高阶
常系数lt;bgt;齐次lt;/bgt;线性微分方程
yapos;apos;+pyapos;+qy=f(x)
P1，P2为多项式
对于一个非齐线性方程，其lt;font color=quot;#c41230quot; style=quot;font-weight: bold;quot;gt;通解=齐的通解+本身的一个特解lt;/fontgt;lt;brgt;lt;font color=quot;#000000quot; style=quot;quot;gt;所以关键是lt;/fontgt;lt;font color=quot;#c41230quot; style=quot;font-weight: bold;quot;gt;lt;ugt;找出本身的一个特解lt;/ugt;lt;/fontgt;lt;brgt;
常系数非齐线性方程
微分方程
向量
向量相等
向量的模，向量夹角
平行四边形法则
三角形法则
加法
从被减向量指向减向量
减法
与常数相乘
向量的线性运算
xyz轴必须逆时针
空间直角坐标系
向量线性运算的代数表示
模
与a方向相同，长度为1的向量，记lt;bgt;lt;font face=quot;宋体quot;gt;ālt;/fontgt;°lt;/bgt;
单位向量
方向角
cosα，cosβ，cosγ
方向余弦
方向角，方向余弦
表示AB在u轴上的投影
投影
向量的模，方向角与方向余弦，投影
向量及线性运算
交换律
数量积(点乘)为0，向量垂直
代数描述
数量积（向量参与运算，结果为数）
方向：右手准则
大小：
几何
代数
三角形面积
向量积（向量参与运算，结果还是向量）
向量数量积与向量积
空间曲面
点法式：A( x - x。)+B( y - y。)+C( z - z。)
截距式：
一般式：Ax+By+Cz+D=0
特殊情形——平面
平面夹角（不超过90°）
向量应用（一）——平面及方程
点向式（对称式）：
参数式：
L方向向量s：lt;bgt;两平面法向量向量积lt;/bgt;（两法向量均与s垂直）
一般式：lt;bgt;两平面公共线lt;/bgt;
直线方程
两向量
两平面
两直线
直线与平面
夹角
两点之距
点到平面之距
距离
定义：经过直线L的所有平面称L的平面束
平面束方程
平面束
其他
向量应用（二）——空间直线
投影曲线：柱面在xoy内的投影
柱面
绕x轴旋转
绕y轴旋转
曲线L
旋转曲面
空间曲面及方程
一般形式
参数式
空间曲线形成
曲线特殊形式——直线
投影曲线
空间曲线及方程
向量代数与空间解析几何
去心邻域
领域
开集
连通
区域
平面点集
多元函数概念
多元函数极限
连续性
连续性与性质
多元函数基本概念
偏增量
全增量
计算时将另一个变量lt;bgt;看做常数lt;/bgt;即可
偏导数
若lt;bgt;fapos;(x)对x可偏导lt;/bgt;
二阶偏导数
若lt;bgt;fapos;(x)对y可偏导lt;/bgt;
若两个二阶混合偏导数皆连续，则两者相等
二阶混合偏导数
高阶偏导数
dz=Adx+Bdylt;brgt;A=fapos;xlt;brgt;B=fapos;y
二元函数全微分定义
全微分
多元复合函数求导法则
做法
一个一元函数
一个二元函数
一个约束条件
两个约束条件
隐函数求导
理论
一般式
空间曲线lt;brgt;lt;bgt;切线lt;/bgt; 法平面
空间曲面lt;brgt;切平面 法线
二元
三元
计算方法
方向导数
梯度的方向是函数增长速度最快的方向
梯度的方向是方向导数取得最大值的方向
梯度
方向导数与梯度
（参考函数极值定义）
无条件极值
条件极值
计算
代数——多元函数极值
多元微分学及应用
和的积分=积分的和，系数可提取
区间可分段计算
1的重积分等于积分区域面积
函数大，重积分大
二重积分定义与性质
x型区域
y型区域
直角坐标法
特征
方法
极坐标法
二重积分计算
铅直投影法
切片法
柱面坐标法
球面坐标法
三重积分
重积分应用
重积分
和的积分=积分的和，常数可提取
1的积分等于弧长L
函数大，积分大
L为直角坐标形式
L为参数式形式
对弧长的曲线积分
2-dim
3-dim
.......
直角坐标
对坐标的曲线积分
格林公式为闭区域，若不是……
若在D内不连续，则选择挖去包含间断点在内的小区域Dapos;，再进行计算
注意点(关于两个前提条件)
格林公式
曲线积分
计算方法（二重积分法）
对面积的曲面积分
P在lt;bgt;有侧曲面Σlt;/bgt;上对坐标y，z的曲面积分
计算方法——二重积分法
对坐标的曲面积分
Ω是几何区域，Σ为Ω的lt;bgt;外表面lt;/bgt;lt;brgt;P，Q，R在Ω上连续可偏导
高斯公式
曲面积分
基本计算方法——定积分法
dydz=cosαds，dzdx=cosβds，dxdy=cosγds
Σ的界与Γ的方向按右手法则确定
说明
斯托克斯公式
三维空间对坐标的曲面积分
散度
旋度
流量
环流量
场论的几个概念
⑩ 曲线与曲面积分
积分的核心问题：关于域与界的关系
几何级数
p-级数中p=1时
调和级数
p-级数
和的级数=级数的和，常数可提取
级数中增加，删除，修改有限次，级数lt;bgt;敛散性不变lt;/bgt;，但lt;bgt;结果不一样lt;/bgt;
添加括号，级数收敛性不降低(发散变收敛，收敛变更收敛...)
若[常数级数]收敛，则an=0(n-gt;∞)，反之则不成立
比较法极限形式
比较法
比值法lt;brgt;
根值法
正向级数
定义：交错级数是正项和负项交替出现的级数
审敛法——lt;bgt;莱布尼茨审敛法lt;/bgt;
交错级数
绝对收敛与条件收敛
审敛法
常数项级数
函数项级数
收敛点
收敛域
和函数lt;brgt;
函数项级数lt;brgt;
基本定理(Abel)
幂级数
傅里叶级数
⑪ 级数
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