多元函数微分学知识点学习笔记
2022-10-31 14:29:35 0 举报AI智能生成
多元函数微分学知识点学习笔记
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大纲/内容
6nbsp; 方向导数
分片函数在孤立点处的方向导数的计算——定义
分支主题
分支主题
注意是单位向量
具体初等函数方向导数的计算——定理
方向导数存在的充分条件
可微
计算公式
分支主题
梯度
梯度是由偏导数组成的向量
其方向是方向导数最大的方向，其模是方向导数的最大值
梯度的反方向是方向导数最小的方向
7nbsp; nbsp;多元微分学在几何中的应用
8.7.1nbsp; nbsp;空间曲线的切线及法平面
点向式/点法式
法一：参数化
曲线在一点处的切线方程
分支主题
曲线在一点的法平面方程
分支主题
法二：求微分
适用于具体表达式的平面交线
微分表示的切向量
lt;brgt;
两个曲面的法向量叉积得到曲线的切向量
适用于抽象表达式的平面交线
8.7.2nbsp; nbsp;曲面的法线和切平面
点法式/点法式
法一：F(x,y,z) = 0
曲面方程整理成标准形式（右端为0），然后求三个偏导lt;brgt;
特别地，如果是二元函数形式，则法向量是（Zx，Zy，-1）
参数化为三个方程的形式
分支主题
8.8.2nbsp; nbsp;二元函数的极值
极值的定义
极大值、极小值、极大值点、极小值点
由定义知，极值点一定在区域内部
取到极值的必要条件
条件：可微，在某点处取极值lt;brgt;
结论：两个偏导数存在且均为0
驻点
两个偏导数为 0 的点
取到极值的充分条件
条件lt;brgt;
一阶偏导均为 0lt;brgt;
在邻域内具有连续二阶偏导数
结论
如果 B^2 -AC lt; 0，则极值
若再有 Agt;0，则极小值
若再有 Alt;0，则极大值
如果 B^2-AC gt; 0，则不是极值
如果 B^2 - AC = 0，则不确定
求极值
第一步，化简
取对数等
第二步，找驻点
令 fx，fy=0，解出驻点
第三步，判断
求fxx，fxy，fyy，求nbsp; B^2 - AC
最值
实际问题中，若最值必在内部驻点取得，且驻点唯一，则该点就是最值点
即解出驻点就行，不用管二阶导
多元函数中，即使取到唯一极值，也不一定是最值！！！
9nbsp; nbsp;多元函数的条件极值——拉格朗日乘数法
条件极值问题lt;brgt;
拉格朗日乘数法
拉格朗日函数组成
目标函数
约束条件
拉格朗日乘子lt;brgt;
解题关键
简化目标函数
用已知方程，把一串直接代成常数
取对数等简化
解方程的巧妙方法
一定简单可解，如果太难，反思题目有巧妙
如果求最值有两组解，学会利用 z 是平方和一定大于零等直接排除
实际问题中，应该有解，故不必求二阶偏导，直接说最值即可lt;brgt;
1nbsp; nbsp;多元函数的基本概念
8.1.1nbsp; nbsp;n 维点集
n 维线性空间（R^n）
n 元向量（x1，x2，...，xn）的集合
赋予了加法和数乘运算
向量的分量
x1，x2 等
向量的模
向量所有分量的平方平均值
n 维线性空间中的两点间距离
两点间向量的模
8.1.2nbsp; nbsp; 多元函数的定义
n 元函数
从 n 维线性空间的非空子集到实数集的映射
二元函数
从二维点集到实数集的映射
多元初等函数
由不同变量的一元基本函数经过有限次四则运算和复合得到的函数
8.2nbsp; nbsp;多元函数的极限与连续性
8.2.1nbsp; nbsp;二元函数的极限
1、定义（也叫二重极限）
分支主题
2、判断二重极限是否存在
存在时求二元函数极限
二元变一元
夹逼定理
利用连续定义
分子有理化
不存在时证明二重极限不存在
平衡分母
用 x 的含 k 的多项式表示 y，或用 y 表示 x
8.2.2nbsp; nbsp;二元函数的连续性
1、二元函数连续的定义
1）极限值等于函数值
2）自变量增量都趋于 0 时，函数值增量也为 0
连续点、间断、间断点、全增量、连续函数、间断曲线
边界点的连续性
仅考虑定义域内
2、二元初等函数在其定义域内都是连续的
一个表达式的函数都是连续的
3、有界闭区域上二元连续函数的性质
1）有界性定理
存在 M，使得 D 上函数值绝对值恒小于 M
2）最值定理
D 中存在取到最值的点
3）零点存在定理
若 D 中有两函数值之积小于 0，则 D 中存在一点使得函数值为 0
4）介值定理
介于最值之间的任意数，D 中都存在一点，使得其函数值等于它
8.3 偏导数
8.3.1nbsp; nbsp;偏导数的概念
1、偏导数的定义式
简洁，抽象，适用于涉及偏导数lt;brgt;（条件或结论）的抽象函数的证明
清楚，用定义推导偏导函数的时候
自变量偏增量也写开，x趋于x0
适用于具体分片函数的孤立点，用定义来判断在一点处偏导数是否存在
偏导数、偏增量、可偏导、偏导函数
2、求某点处的一阶偏导数
先将另一变量的值代入，再求偏导数并代入值
求出偏导函数，再代入点
用偏导数的定义第三种形式，求孤立点处偏导数
3、可偏导与连续互相不可推出
可偏导说明x、y方向上平滑，而连续说明任意方向上连续
4、要证明偏导数不存在
严格的要用定义验证其极限不存在
但一般情况（没见过不是的），偏导数求出来，把这个点带进去没有意义，就是偏导数不存在
8.3.2nbsp; nbsp;二元函数偏导数的几何意义
Zx 就是 y 平面和曲面交线的切线，关于 x 坐标轴的斜率
8.3.3nbsp; nbsp;高阶偏导数
二阶混合偏导相等的充分条件
两个二阶混合偏导数连续
单个表达式的函数的混合偏导均相等
8.4nbsp; nbsp;全微分及其应用
8.4.1nbsp; nbsp;全微分的概念
证明是否可微
法一：定义证明
分支主题
法二：偏导数连续说明
一个表达式的函数必可微
一个表达式的函数（见到的肯定是初等多元函数），只要在这个点有定义，lt;brgt;其偏导函数就存在，进而偏导函数就连续，所以就可微
法三：举反例说明不正确
8.4.2nbsp; nbsp;可微与可偏导的关系
偏导数连续 =gt; 可微 =gt; 连续、可偏导、方向导数存在
8.4.3nbsp; nbsp;全微分的几何意义及应用
1、全微分近似计算式
2、几何意义：在可微点附近函数可用切平面近似
5nbsp; nbsp;多元复合函数的微分法
8.5.1nbsp; nbsp;多元复合函数的偏导数
1）多元复合函数求内层偏导的链式法则
条件：外层可微，内层可偏导lt;brgt;
结论：复合函数可偏导，结果可由链式法则求出
2）全导数
3）复合函数的高阶偏导数
4）偏微分方程的转换
看法很重要
x，y与u，v有关（没直接给出反函数）
那么可以反过来看：u，v也与x，y有关
直接明确给出反函数的
可以“套娃”着看
x 对 x 偏导为0
8.5.2nbsp; nbsp;一阶全微分形式的不变性
1、不管x，y是自变量还是中间变量都有全微分式成立
2、根据两种形式相等，可直接对应相等求出偏导数
3、全微分运算法则
1）线性
2）乘积微分
3）分式微分
分支主题
8.5.3nbsp; nbsp;隐函数的偏导数
1、隐函数存在定理
一元隐函数的存在定理
分支主题
某点处存在隐函数的条件
邻域内有连续偏导数lt;brgt;
nbsp;该点处函数值为0nbsp;
该点处对y偏导不为0
二元隐函数的存在定理
分支主题
2、隐函数求偏导数的方法
法一：套公式（所有自变量是独立的）
法二：把 z 看成 x 和 y 的函数，方程两边对 x 求导
法三：把z看成x和y的函数，方程两边取全微分
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