高等数学线性代数知识点课堂笔记
2022-11-01 11:41:15 0 举报AI智能生成
高等数学线性代数知识点课堂笔记
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大纲/内容
行列式
二三阶行列式
一般阶行列式的定义
行列式的性质
转置行列式与原来相等
行列式可按任意行展开
按行提取公因子
拆行相加性
两行相等值为零
两行对应成比例值为零
克罗内尔符号（对应行展开和为值，非对应行展开值为零）
行列式某行若干倍加与另一行值不变
两行互换值相反
Laplace展开定理（多行展开）
行列式的计算
范德蒙德行列式
Cramer法则
行列式应用法则
矩阵
矩阵的概念及其基本运算
概念
实矩阵，复矩阵，行矩阵（行向量），列矩阵（列向量），同型矩阵，零矩阵单位矩阵
性质
相等
加法
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
A+0=A
A+(-A)=0
数乘法
1A=A
(kl）A=k（lA）
（k+l）A=kA+lA
k（A+B)=kA+kB
乘法
(AB)C=A(BC)
A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
k（AB)=(kA)B=A(kB)
AE=A,EA-A
A^kA^l=A^(k+l)
(A^k)^l=A^kl
若AB=BA,(AB)^k=B^kA^k
转置
转置的转置为原矩阵
和的转置等于转置和
数乘的转置等于转置再数乘
积的转置等于反序转置的积
行列式
转置行列式与原行列式相等
数乘后行列式等于行列式数乘n次
积的行列式等于行列式积
逆矩阵
性质P39
分块矩阵
矩阵的初等变换
系数矩阵，增广矩阵，初等变换，
等价矩阵（反身性，对称性，传递性）
行阶梯矩阵
行最简矩阵
等价标准型
初等矩阵
A,B等价的充要条件为存在P,Q使得PAQ=B
分块矩阵同理
矩阵应用实例
向量组的线性相关性
n维向量及其运算
行向量，列向量，向量的分量，
内积，施瓦兹不等式，长度（范数），夹角
向量组的线性相关性
行向量组，列向量组
线性相关，线性无关的充要条件
一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关
正交向量组（线性无关），规范正交向量组
部分相关则整体相关
含零必相关
整体无关则部分无关
线性相关的充要条件为至少有一个可由其余表示
无关向量组加一向量后相关，则该向量可由其余表示
无关向量组的加长向量组也无关
向量组的秩
向量组等价，系数矩阵
施密特正交化过程
正交矩阵（充要条件：行或列向量组是一组规范正交向量组）
极大线性无关组（不唯一）
极大无关组与原向量组等价
任意两个极大无关组等价（且有相同且唯一个数的向量）
秩
A被B表示，则R(A)<=R(B)
等价向量组秩相等
A无关且可被B表示，则A向量个数小于等于B
A被B表示，且A的数量大于B，则A相关
任意n+1个n维向量线性相关
矩阵的秩
k阶子式
最高阶非零子式
转置的秩不变
满秩矩阵
降秩矩阵
初等变换不改变秩
矩阵的秩等于对应向量组的秩
向量应用实例
线性方程组
线性方程组解的判定
有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等
R=n唯一解，R<n无穷解（解向量个数n-r）
线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构
k1a1+k2a2+......+ksas
非齐次线性方程组解的结构
b+c1a1+c2a2+......+csas
向量空间
对加法和数乘封闭
子空间
维数
基
过渡矩阵C，基变换公式b=aC，坐标关系x=Cy（a-x，b-y）
线性方程组应用实例
矩阵相似对角化
矩阵的特征值与特征向量
概念
特征值
特征向量
特征多项式
特征方程
性质
所有特征值的和等于矩阵的迹（对角线元素和）
矩阵可逆的充分必要条件为n个特征值均不为零
a为矩阵A的一个特征值，r为对应特征向量，p（a）是多项式则p（a）是p（A）的特征值，r为对应特征向量 （p（A）=A^k，k是正整数成立， A可逆时，k取负整数也成立）
互异特征值对应特征向量间线性无关（每个特征值的多个特征向量要线性无关）
矩阵相似对角化
P^-1AP=B，相似矩阵，相似变换，相似变换矩阵
相似矩阵具有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
有n个互异特征值必与对角矩阵相似
设a是n阶矩阵A的k重特征值，则属于a的线性无关的特征向量的个数不大于k
单根特征值有且仅有一个线性无关的特征向量
实对称矩阵的相似对角化
复矩阵
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交
必有正交矩阵Q使实对称矩阵A经过Q^-1AQ为对角矩阵
实对称矩阵的k重特征值对应的线性无关的特征向量恰有k个
矩阵相似对角化应用实例
二次型
二次型的基本概念
二次型，标准型，规范型
f（x）=xTAx
对二次型做线性变换仍为二次型，如果线性变换可逆，则二次型的秩不变
B=CTAC，同阶方阵，合同，合同矩阵，合同变换，合同变换矩阵
合同必等价，等价不一定合同
用正交变换化二次型行为标准型
任意n元二次型都可经正交变换x=Qy化为标准型
x=Qy具有保范性
相似的实对称矩阵合同
任意实二次型都可经过可逆变换x=Cz化为规范型
用配方法化二次型为标准型
正定二次型
惯性定律：实二次型在不同的可逆变换后系数中正数个数相同（惯性指数不变）
正惯性指数，负惯性指数
实对称矩阵合同的充分必要条件是两者大于0和小于0的特征值个数相同
正定二次型，正定矩阵，负定二次型，负定矩阵
半正定二次型，半正定矩阵，半负定二次型，半负定矩阵
二次型正定的充要条件为正惯性指数等于n
半正定二次型的充要条件为负惯性指数为0
赫尔维兹定理：正定的充要条件为各阶顺序主子式都大于0，负定的充要条件是奇数阶小于0偶数阶大于0
二次型应用实例
线性空间与线性变换
线性空间的概念和性质
加法和数乘运算，八条规则，线性空间（向量空间）
性质
零向量唯一
负向量唯一
0a=0，（-1）a=-a，k0=0，任意k属于R
若ka=0，则k=0或a=0
线性子空间
平凡子空间（零子空间，自身）
非平凡子空间
U为V的子空间的充要条件是对V的加法和数乘运算封闭
维数，基与坐标
基
维数
含有非零向量的有限线性空间一定存在基
U为V的子空间，U的维数与V的维数相等时，U=V
坐标
同构（反身性，对称性，传递性）
有限线性空间同构当且仅当维数相等
基变换与坐标变换
可逆矩阵C为过渡矩阵
b=aC（基变换）
x=Cy（坐标变换）
线性变换及其矩阵表示
T（a+b）=T（a）+T（b），T（ka）=kT（a）
恒等变换和零变换
性质
T(0)=0
T(-a）=-T（a）
T（k1a1+k2a2+......+kmam)=k1T(a1)+k2T(a2)+......+kmT(am）
线性变换在基下的矩阵
T在两个基a，b下的矩阵A，B满足B=C^-1AC,其中b=aC
欧几里得空间
定义了内积的实线性空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间
[a,b]=[b,a]（对称性）
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
[ka,b]=k[a,b]（线性性）
[a,a]>=0,且仅当a=0时，[a,a]=0（正定性）
内积定义不唯一
长（范数）
夹角
正交向量组，规范正交向量组
正交向量组必线性无关
欧式空间中，无关向量组必有规范正交向量组与之等价
任意非零欧式空间都存在规范正交基
线性空间应用实例
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