集合与常用逻辑用语
2023-01-16 15:11:46 7 举报AI智能生成
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
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大纲/内容
常用逻辑用语
命题与量词
命题
能够判断真假的陈述句
真命题：T
假命题：F
假命题：F
量词
全称量词（∀）
表示所述事物全体
全称命题
含有全称量词的命题
存在量词（∃）
表示所述事物的个体或部分
存在命题
含有存在量词的命题
全称量词命题与存在量词命题的否定
命题的否定
对命题P加以否定，得到一个新的命题记作⁻⁻p，读作"非P"或"P的否定"
存在性命题的否定
P：∃x∈M，P(X)
⁻⁻p：∀x∈M，⁻⁻p（x）
⁻⁻p：∀x∈M，⁻⁻p（x）
全称性命题的否定
p:∀x∈N，P(x)
⁻⁻p:∃x∈N，⁻P(x）
⁻⁻p:∃x∈N，⁻P(x）
充分条件必要条件
若P则q为真 记作p=＞q
若P则q为假 记作p=/=＞q
若P则q为假 记作p=/=＞q
充分条件
若p=＞q，称P是q的充分条件
必要条件
若p=＞q，称q是P的必要条件
充分不必要条件
p能推出q，q推不出p
必要不充分条件
p推不出q，q能推出p
集合
集合及其表示方法
集合
把一些能够确定的、不同的对象汇集在-起，就说由这些对象组成一个集合 (有时简称为集)，组成一个集合的每个对象都是这个集合的元素。
把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø
特点
确定性--集合的元素必须是确定的
互异性--对于一个给定的集合，集合中一定是不同的
无序性--集合中的元素可以任意排列
含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限元素的集合称为无限集
（非负整数）自然数集，记作N
正整数集，记作N+、N*
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
正整数集，记作N+、N*
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
集合的表示方法
列举法：{a，b，c，……}
描述法（特征性质描述法）：{x|P（x）}
韦恩图法
区间：注意括号
集合的基本关系
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就说集合A是集合B的子集记作：A ⊆ B (A包含于B) 或B⊇A (B包含A)
性质
A⊆A
Ø⊆A
若A⊆B且B⊆C 则A⊆C
真子集
如果集合A是集合B的子集且B中至少有一个元素不属于A，就说A是B的真子集记作：A ⫋B，读作A真包含于B
性质
Ø⫋A(A≠Ø)
若A⫋B且B⫋C,则A⫋C
集合相等：若A⊆ B且B⊆ A 则A⊆ B
如果-个集合中有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个。
集合的基本运算
交集
给两个集合A B{}xlx∈A且x∈B}=A∩B
性质
A∩B=B∩A
A∩A=A
A∩∅=∅
A∩B⊆A，则A∩B⊆B
A∩B=B，则A⊆B，B⊇A
并集
给两个集合AB{}xlx∈A或x∈B}=A∪B
性质
A∪B=B∪A
AUA=A
A∪∅=A
A∪B⊇A，则A∪B⊇B
A∪B=B，则A⊆B，B⊇A
全集（U,S,R）
所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集
补集
集合A是全集U的一个子集，CuA={x|x∈U且x∉A}
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