集合与函数应用
2023-01-16 15:13:44 4 举报AI智能生成
高考对集合的考查有两种主要形式：一是直接考查集合的概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用。从涉及的知识上讲，常与映射、函数、方程、不等式等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势。
作者其他创作
大纲/内容
函数的概念
函数
设A、B是非空的实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
区间
设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]
设a，b是两个实数，a＜b，满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）
设a，b是两个实数，a＜b，满足a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
构成函数的三要素
定义域
值域
对应关系
函数的基本性质
奇偶性
奇函数
任意x，f（-x）=-f（x）
函数图像关于原点对称
奇函数±奇函数
偶函数
任意x，f（-x）=f（x）
函数图像关于y轴对称
偶函数±偶函数
非奇非偶函数
奇函数±偶函数
既奇又偶函数
f（x）=0，定义域关于原点对称
判定方法
公式法
1.判断f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）
2.函数的定义域关于原点的对称区间
若出现定义域为[a，b）等同类型的定义域，则直接判定为非奇非偶函数
图像法
判断函数关于y轴或原点对称
次方判断
f（x）=xⁿ
n为偶数，则为偶函数
n为奇数，则为奇函数
单调性
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂：
当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；
当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数；
判断函数单调性的方法
根据函数的解析式判断根据函数的解析式，利用定义证明函数f在给定的区间D上的单调性的一般步骤
①任取x₁，x₂∈D，且x₁<x
②作差：f(x₁)-f(x₂)
③变形：通常是因式分解和配方
④定号，即判断差f(x₁)-f(x₂)的正、负
⑤下结论，即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性
根据图象判断函数的单调性
根据函数y=f(x)的图象，可判断f(x)在区间D上的单调性.如果由图象看出函数y=f(x)在区间D上，x增大时y就增大，那么y=f(x)在区间D上是增函数；如果由图象看出函数y=f(x)在区间D上，x增大时y就减小，那么y=f(x)在区间D上是减函数.
集合的概念及表示方法
集合的概念与符号表示
集合的概念与符号表示
概念：一般地，我们把某些研究对象称为元素，把指定的元素集在一起就成为一个集合，简称为集集合用大括号“{ }”表示
符号表示：集合一般用大括号“{ }”表示
元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于，记作 a∈A，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∉ A
集合中元素的三个性质
确定性：对于一个给定的集合，任何个体，要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一
互异性：一个给定的集合，元素是互不相同的
无序性：一个给定的集合，其中的元素可以任意顺序排列
集合的表示方法
列举法：就是把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法
举例：中国古代四大发明组成的集合可以用列举法表示为{造纸术，火药，指南针，活字印刷术}
描述法：就是用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法
举例：不大于10的正自然数的集合可以用描述法表示为{x|0<x<10}
图示法（韦恩图）：就是把集合中的元素放在一条闭曲线内来表示集合的方法
常用数集的符号
N：自然数集；N+：正整数集；Z：整数集；Q：有理数集；R：实数集
集合的分类
有限集：元素个数有限的集合
无限集：元素个数无限的集合
集合间的关系及运算
集合间的关系
集合与集合
如果集合A与集合B的元素完全一样，则集合A与集合B相等，即A=B
举例：{-1,1}={x|x²-1=0}
集合与集合的子集
集合A={1,2} 集合B={1,2,3,4}，集合A的元素都是集合B的元素，集合A和集合B的这种关系，叫做集合A是集合B的子集，记作：AB或BA，读作“A包含于B”或“B包含A”
真子集
若AB，且A≠B，则集合A是集合B的真子集
集合的运算
交集
由既属于A又属于B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由属于A或属于B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即A∪B={x|X∈A或x∈B}
补集
设U为全集，A是U的一个子集（AU），则U中所有不属于A的元素组成的集合读作A在U中的补集（余集），记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x ∉ A}
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